计算机辅助设计-05-第四章

计算机辅助设计第四章图形的几何变换

对于一个绘图系统来说，不仅能用图形基本元素的集合构成复杂的二维静态图形．而且可以通过三维的几何体来定义零件的空间模型，还可以令该模型围绕任一指定的轴旋转，以利于从某一最有利的角度去观察它，对它进行修改。软件的这些功能是基于图形变换的原理实现的。图形变换是计算机绘图的基础内容之一。

引言图形分类：矢量图，像素图图形变换一般是指对图形的几何信息经过几何变换后产生新的图形图形变换既可以看做坐标系不动而图形变动，变动后的图形在坐标系中的坐标值发生变化，也可以看做图形不动二坐标系变动，变动后，该图形在新的坐标系下具有新的坐标值。这两种情况在本质上是一样的应用例：铰链四杆机构的运动描述第四章图形的几何变换第一节图形变换的方法第二节二维图形几何变换

第三节三维图形几何变换第四章图形变换

几何图形的矩阵表示二维图形的基本变换二维图形的组合变换

本章要点§4－1图形变换的方法

体是由若干面构成的，面是由线组成，点的运动轨迹是线。构成图形的基本要素是点。

一、构成图形的基本要素及其表示方法图形的表示方法：点：二维（x，y）三维（x，y，z）图形：用点的集合表示。二维三维二、点的变换

图形可用点集表示，点集可用矩阵表示。那么，二维图形的基本变换就可以通过点集的变换来实现。因此对点的变换可以通过相应的矩阵运算来实现。旧点（集）×变换矩阵新点（集）

在计算机图形处理中，经常需要对已生成的图形进行旋转、平移、放大或缩小等几何变换操作，以生成新的图形信息。由于点是构成几何形体的最基本元素，因此，通过对构成几何图形的特征点集的几何变换即可实现整个图形的几何变换。§4－2二维图形几何变换

点的变换可以通过矩阵运算来实现，令一、二维基本变换称为变换矩阵。二维基本变换矩阵包括：比例变换、对称变换、错切变换、旋转变换、平移变换、齐次坐标变换

比例变换变换矩阵为原点坐标变换后坐标讨论：恒等变换：，变换后点的坐标不变。等比变换：，当时，变换后图形等比例放大如图6-1所示。当时，变换后图形等比例缩小。O X

Y

图4-2不等比例变换O X

Y

图4-1比例变换（等比例变换）

若变换后图形产生畸变。如取变换矩阵为

镜射变换

镜射变换即产生图形的镜像，用来计算镜射图形，也称为对称变换。包括对于坐标轴、坐标原点、±45°直线和任意直线的镜射变换。1）对坐标轴的镜射变换(1)

对X轴的镜射变换变换矩阵为：Tmx=(2)

对Y轴的镜射变换变换矩阵为：úûùêëé-=1001Tmy2）对原点的镜射变换故，变换矩阵为：＝＝úûùêëé--=1001Tmo图4-3镜射变换O X Y 对Y轴镜射

原始位置

对原点镜射

对X轴镜射

3）对±45°线的镜射变换

（2）对-45°线的镜射变换由于故：则变换矩阵为:O X Y

图4-4

45°镜射变换原始位置

对-45°线镜射

对+45°线镜射

（1）对+45°线的镜射由于，对+45°线的镜射应有：

145sin45cos==ooxyyx==*,*则变换矩阵为:

错切用于描述受到扭曲、剪切后的几何体形状。在沿X轴的错切变换中，y坐标不变，x

坐标有一增量。变换后原来平行于Y轴的直线，向X轴方向错切成与X轴成一定的角度。在沿Y轴的错切变换中，x

坐标不变，y

坐标有一增量。变换后原来平行于X轴的直线，向Y轴方向错切成与Y轴成一定的角度。

错切===＝＝＝式中为错切变换矩阵，其中c和b不同时为0。（1）沿X轴向错切令错切变换矩阵中的b=0，且c≠0，其变换就是沿X轴方向的错切。即＝＝＝[]ycyx+úûùêëé11c0当c＞0时，错切沿着X轴的正向；当c＜0时，错切沿X轴负向。错切直线与X轴的夹角为例题：如果设c=2，对图4－5所示方形图框进行错切变换，有（2）沿Y轴向错切令错切变换矩阵中的c=0，且b≠0，其变换就是沿Y轴方向的错切。即＝＝＝[]y

＋

bxxúûùêëé110b当b＞0时，错切沿着Y轴的正向；当b＜0时，错切沿Y轴负向。错切直线与Y轴的夹角为例题：如果设b=2，对图4-5所示方形图框进行错切变换，有bbxxtg1==aa）原始图形b）沿X轴方向错切c）沿Y轴方向错切O X

Y

（30,10）（20,10）（0,10）（0,0）Y

（20,10）（30,10）X O

X

（10,0）O Y （10,10）（10,0）（0,10）

Y 图4-5错切变换注意:上面介绍的错切变换的错切方向是指第Ⅰ象限而言，其余象限的点的错切方向应作相应的改变。

旋转变换设点（x，y）绕坐标原点逆时针旋转θ角，则点的变换为式中，为旋转变换矩阵。注意:图形的旋转是绕坐标原点旋转θ角，且逆时针为正，顺时针为负。

对字母T进行旋转变换（旋转60°)平移变换

平移是指点从一个位置移动到另一个位置的直线移动，即点

令X、Y轴方向的平移量分别为Δx和Δy，则

îíì+=+Δx=Δyyyxx**问题：1.如何用矩阵来表示变换前后地点的坐标变换呢？原因：cy，bx均非常量原有图形能实现平移吗？O

X Y

图4-5平移变换

可以将二维基本变换矩阵的形式由2×2阶矩阵扩充成一个3×2阶矩阵，即又出现了一个新的问题，即二维图形的点集矩阵是n×2阶，而变换矩阵是3×2阶，二者无法相乘，不能进行图形变换运算。齐次坐标

在齐次坐标系中，n维空间的位置矢量，用n+1维矢量表示，即二维空间的位置矢量用三维矢量表示。h为附加坐标，是一个不为零的参数。例如：

的齐次坐标或…等无穷组齐次坐标。

二维点的齐次坐标表示：把二维图形的点集矩阵扩充为n×3阶矩阵。点集矩阵同变换矩阵进行乘法运算：＝所以得平移变换矩阵为：úúúûùêêêëé=ml1001Tt＝úúúûùêêêëéml1001[]mylx++对点进行平移变换为：

为了使二维变换矩阵具有更多的功能，可将3×2阶变换矩阵进一步扩充为3×3阶矩阵。各元素的功能和几何意义各不相同，可以分割成四块可以实现图形的比例、镜射、错切、旋转等变换。可以实现图形的平移变换。可以实现图形的透视变换。可以实现图形的全比例变换二、二维图形的组合变换二、二维图形的组合变换1.

绕任意点旋转变换平面图形绕任意点p（xp，yp）旋转角具体步骤：（1）将旋转中心平移到原点，变换矩阵为：úúúûùêêêëé--=1010001ppyxt1T（2）将图形绕坐标系原点旋转角，变换矩阵为：úúúûùêêêëé-=1000cossin0sincosaaaar2T（3）将旋转中心平移回到原来位置，变换矩阵为：úúúûùêêêëé=1010001ppt3yxT因此，绕任意点的旋转变换矩阵为：2.

对任意直线的镜射变换设任意直线的方程为：Ax+By+C=0，直线在x轴和y轴上的截距分别为-C/A和-C/B，直线与x轴的夹角为，θ=arctg（-A/B）。具体步骤：（1）平移直线，沿x向将直线平移，使其通过原点（也可以沿y向平移），其变换矩阵为：-C/A

Y XO

图4－6对任意直线的镜射变换-C/B＝（3）对于x轴进行镜射变换，其变换矩阵为：（4）绕原点旋转，使直线回到原来与x轴成角的位置，变换矩阵为：（2）绕原点旋转，使直线与x坐标轴重合（也可以与y轴重合），变换矩阵如下：（5）平移直线，使其回到原来位置，变换矩阵为：

通过以上五个步骤，即可实现图形对任意直线的镜射变换。其组合变换如下：注意事项：组合变换是通过基本变换的组合而成的，点或点集的多次变换可以一次完成，这要比逐次进行变换效率高。由于矩阵的乘法不符合交换律，即：[A][B]≠[B][A]，因此，组合的顺序一般是不能颠倒的。顺序不同，则变换的结果亦不同。

O

图4－7先平移后旋转

X

X

图4－8旋转后平移Y

Y

O

12三维图形的变换是二维图形变换的简单扩展，变换的原理还是把齐次坐标点(x,y,z,1)通过变换矩阵变换成新的齐次坐标点(x’,y’,z’,1)，即其中T为三维基本(齐次)变换矩阵：T＝§4－3三维图形几何变换齐次变换矩阵：平移缩放旋转错切透视变换整体缩放比例和对称变换一般情况，sx,sy,sz＞0，图形沿三个坐标轴方向作放缩变换；当sx=1,sy=sz=-1时，图形相对于x轴中心对称，其余类推;当sx＝-1,sy=sz=1时，图形相对于yOz平面对称，其余类推;当sx=sy=sz=-1时，图形相对于原点中心对称。整体缩放得到：左边同乘s平移变换平移变换矩阵旋转变换三维组合变换

与二维组合变换一样，通过对三维基本变换矩阵的组合，可以实现对三维物体的复杂变换。设坐标P经过n次变换T1,T2,…,Tn到P*，则变换结果为P*=PT1T2…Tn=PT

与二维相同，组合变换时，同样需要注意乘法的顺序绕任意轴旋转变换

绕任意轴旋转变换是组合变换，变换过程比较复杂。首先，对物体作平移和绕轴旋转变换，使得所绕之轴与某一根标准坐标轴重合。然后，绕该标准坐标轴作所需角度的旋转。最后，通过逆变换使所绕之轴恢复到原来位置。这个过程须由7个基本变换的级联才能完成。设旋转任意轴为p1（x1,y1,z1

）,p2（x2,y2,z2

）两点所定义的单位矢量(a,b,c)。旋转角度为（图(a))。这7个基本变换是：

1平移T(－x1,－y1,－z1)使p1点与原点重合(图(b))；

2Rx(α)，使得轴p1p2落入平面xoz内(图(c))；

3Ry(β)，使p1p2与z轴重合(图(d));4Rz(θ)，执行绕p1p2轴的θ角度旋转(图(e))；

5Ry(－β)，作3的逆变换T3-1；

6Rx(－α)，作2的逆变换T2-1；

7T(x1,y1,z1)作1的逆变换T1-1。注意：其组合变换矩阵为：

T＝T1

T2

T3

T4

T3-1

T2-1

T1-1例：简单几何体的图形变换式中：T为所要进行的图形变换矩阵

假定一六面体ABCDEFGH各点的坐标分别为（x1,y1,z1）,…..,(x8,y8,z8)，则经过图形变换后的坐标为：举例四、平移变换4.3图形绘制二、错切变换一、比例变换三、镜像变换

三维空间点的位置向量可以用四维齐次坐标表示：[xyz1]或[xyzH]。变换矩阵为：

五、旋转变换一、比例变换举例4.3图形绘制作用：改变图形的X方向比例、Y方向比例、Z方向比例。变换矩阵：二、错切变换举例4.3图形绘制作用：变换后的平面图形沿X轴、Y轴或Z轴方向倾斜。

变换矩阵：三、镜像变换举例4.3图形绘制作用：三维图形对坐标平面XOY、YOZ、ZOX进行镜像变换。变换矩阵：对XOY平面——三、镜像变换举例4.3图形绘制作用：三维图形对坐标平面XOY、YOZ、ZOX进行镜像变换。变换矩阵：对YOZ平面——三、镜像变换举例4.3图形绘制作用：三维图形对坐标平面XOY、YOZ、ZOX进行镜像变换。变换矩阵：对ZOX平面——四、平移变换举例4.3图形绘制作用：三维图形沿X、Y、Z轴方向移动一定的距离。变换矩阵：五、旋转变换举例4.3图形绘制作用：变换后的点或平面图形绕坐标轴旋转一定角度。变换矩阵：绕