自动控制系统 概述

自动控制系统：由系统要素按照一定规律组成，具有特定功能的整体，使控制系统输出取得预期响应(按照指定规律变化)。控制器：对受控对象起控制作用装置的总体.受控对象：要求实现自动控制的机器，设备或生产过程。控制器：对被控对象起控制作用装置的总体，称做控制装置或控制器。输出量：控制对象或系统输出端，并要求实现自动控制的物理量。输入量：作用于控制对象或系统输入端，并可使系统具有预定功能或预定输出的物理量。扰动：所有妨碍控制量对被控量按要求进行正常控制的因素。第一章自动控制系统概述复习控制系统的特典和主要要求开环：信号单向流动，简单、稳定、精度低。闭环：信号有反向作用，复杂、抗干扰能力强、精度高、有稳定性问题。第二章自动控制系统的数学模型

本章的主要内容

傅立叶变换与拉普拉斯变换控制系统的时域数学模型控制系统的复数域数学模型控制系统的结构图与信号流图数学模型的实验测定方法第一节Fourier级数有限区域上的Fourier展开或周期函数的Fourier展开有限区域上的函数周期化的处理方法处理1：将f(x)转化为(-l,l)内的函数设f(x)是定义在区域(a,b)内的函数，其中a和b是有限数处理2：周期化为整个实数轴上的以2l为周期的周期函数bal-ll-lFourier展开基本函数族函数f(x)的Fourier展开式L2[-l,l]空间的概念完备性的概念Dirichlet定理-Fourier展开收敛定理若f(x)满足：

(1)处处连续，或在每个周期内只有有限个第一类间断点；

(2)在每个周期内只有有限个极值点，则l-l正弦级数和余弦级数若函数f(x)是奇函数，则Fourier展开成正弦级数若函数f(x)是偶函数，则Fourier展开成余弦级数例1：设f(x)=x+1,x

(0,l),试将其展开成正弦级数．例子l-l例2：设f(x)=x,x

(0,l),试将其展开成余弦级数．例3：设f(x)=x,x

(0,l),试根据条件f’(0)=f(l)=0将其展开成Fourier级数．l-ll-l2l-2l复形式的Fourier级数基本函数族函数f(x)的Fourier展开式第二节Fourier积分与Fourier变换无限区域上的Fourier展开实形式的Fourier积分与Fourier变换其中函数f(x)的Fourier积分表达式A(

)被称为Fourier余弦变换B(

)被称为Fourier正弦变换实形式的Fourier变换Fourier积分定理若f(x)在R上满足：

(1)在任一有限区域上满足Dirichlet条件；

(2)在R上绝对可积，则其中复形式的Fourier积分与Fourier变换其中复形式的Fourier积分定理F(

)被称为Fourier变换Fourier积分定理被称为反演公式

-1=IFourier变换的性质性质1（导数性质）

性质2（积分性质）

性质4（延迟性质）

性质3（相似性质）

性质5（位移性质）

性质6（卷积性质）

性质1（导数性质）

性质2（积分性质）

性质4（延迟性质）

性质3（相似性质）

性质5（位移性质）

2.1傅立叶变换与拉氏变换

复习复数有关内容：1复数有关概念

（1）复数、复函数复数

复函数

例：（2）复数模、相角

（3）复数的共轭（4）解析：若F(s)在s点的各阶导数都存在，称F(s)在s点解析。①定义：如果有一个以时间t为自变量的函数f(t)，它的定义域t>0，那么下式即是拉氏变换式：

,式中s为复数。记作一个函数可以进行拉氏变换的充分条件是：⑴t<0时，f(t)=0；⑵t≥0时，f(t)分段连续；⑶。F(s)—象函数，f(t)—原函数。记为反拉氏变换。2.3拉氏变换2几种常见函数的拉氏变换单位阶跃：单位阶跃：指数函数：正弦函数：

③常用函数的拉氏变换：单位阶跃函数：单位脉冲函数：单位斜坡函数：单位抛物线函数：正弦函数：

⑴线性性质：3拉氏变换的几个重要定理：(2)微分定理：

零初始条件下有：⑶积分定理：（设初值为零）例3：求L[t]=?

例4：求

⑹终值定理：⑺卷积定理：⑷延时定理：⑸初值定理：5、线性方程的求解：研究控制系统在一定的输入作用下，输出量的变化情况。方法有经典法，拉氏变换法和数字求解。在自动系统理论中主要使用拉氏变换法。[拉氏变换求微分方程解的步骤]：①对微分方程两端进行拉氏变换，将时域方程转换为s域的代数方程。②求拉氏反变换，求得输出函数的时域解。5.拉氏反变换(1)反变换公式：(2)查表法——分解部分分式(留数法，待定系数法，试凑法)一般表达式为：

的根(特征根)，分两种情形讨论：无重根时：I：

II：有重根时： 设为m阶重根，为单根.则可表示为：其中单根的计算仍由(1)中公式(Ⅲ)(Ⅲ′)来计算.

重根项系数的计算公式：(说明原理)

例题：[例子]求速度控制系统微分方程的解。假设没有负载干扰，并且各项初值均为零。

（初条件为0）

微分方程的编写应根据组成系统各元件工作过程中所遵循的物理定理来进行。例如：电路中的基尔霍夫电路定理，力学中的牛顿定理，热力学中的热力学定理等。第二节控制系统的微分方程由②：，代入①得：这是一个线性定常二阶微分方程。①②[解]：据基尔霍夫电路定理：输入输出LRCi[例2-1]：写出RLC串联电路的微分方程。[例2-2]求弹簧-阻尼-质量的机械位移系统的微分方程。输入量为外力F，输出量为位移x。[解]：图1和图2分别为系统原理结构图和质量块受力分析图。图中，m为质量，f为粘性阻尼系数，k为弹性系数。mfmFiFi图2图1根据牛顿定理，[例2-3]电枢控制式直流电动机这里输入是电枢电压ua和等效到电机转轴上的负载转矩Mc，输出是转速w

电枢回路方程为

其中ea

为反电势此时激磁电流为常数，所以Ce称为电动机电势常数

Cm称为电动机转矩常数，再根据牛顿定律可得机械转动方程电机通电后产生转矩其中和分别称为电磁时间常数和机电时间常数整理得分别是转速与电压传递系数和转速与负载和传递系数。这里已略去摩擦力和扭转弹性力。[需要讨论的几个问题]：1、相似系统和相似量：我们注意到例2-1和例2-2的微分方程形式是完全一样的。这是因为：若令（电荷），则例2-1①式的结果变为：可见，同一物理系统有不同形式的数学模型，而不同类型的系统也可以有相同形式的数学模型。[定义]具有相同的数学模型的不同物理系统称为相似系统。例2-1和例2-2称为力-电荷相似系统，在此系统中分别与为相似量。[作用]利用相似系统的概念可以用一个易于实现的系统来模拟相对复杂的系统，实现仿真研究。2、非线性元件（环节）微分方程的线性化在经典控制领域，主要研究的是线性定常控制系统。如果描述系统的数学模型是线性常系数的微分方程，则称该系统为线性定常系统，其最重要的特性便是可以应用线性叠加原理，即系统的总输出可以由若干个输入引起的输出叠加得到。线性系统特性──满足齐次性、可加性线性系统便于分析研究。在实际工程问题中，应尽量将问题化到线性系统范围内研究。非线性元部件微分方程的线性化。

若描述系统的数学模型是非线性（微分）方程，则相应的系统称为非线性系统，这种系统不能用线性叠加原理。在经典控制领域对非线性环节的处理能力是很小的。但在工程应用中，除了含有强非线性环节或系统参数随时间变化较大的情况，一般采用近似的线性化方法。对于非线性方程，可在工作点附近用泰勒级数展开，取前面的线性项。可以得到等效的线性环节。

设具有连续变化的非线性函数为:y=f(x)，若取某一平衡状态为工作点，如下图中的。A点附近有点为，当很小时，AB段可近似看做线性的。AByx0AByx0设f(x)在点连续可微，则将函数在该点展开为泰勒级数，得：若很小，则，即式中，K为与工作点有关的常数，显然，上式是线性方程，是非线性方程的线性表示。为了保证近似的精度，只能在工作点附近展开。对于具有两个自变量的非线性方程，也可以在静态工作点附近展开。设双变量非线性方程为：，工作点为。则可近似为：式中：，。 为与工作点有关的常数。[注意]：⑴上述非线性环节不是指典型的非线性特性（如间隙、库仑干摩擦、饱和特性等），它是可以用泰勒级数展开的。⑵实际的工作情况在工作点附近。⑶变量的变化必须是小范围的。其近似程度与工作点附近的非线性情况及变量变化范围有关。3.线性系统微分方程的编写步骤：⑴确定系统和各元部件的输入量和输出量。⑵对系统中每一个元件列写出与其输入、输出量有关的物理的方程。⑶对上述方程进行适当的简化，比如略去一些对系统影响小的次要因素，对非线性元部件进行线性化等。⑷从系统的输入端开始，按照信号的传递顺序，在所有元部件的方程中消去中间变量，最后得到描述系统输入和输出关系的微分方程。[例2-6]：编写下图所示的速度控制系统的微分方程。负载-+-+

功率放大器测速发电机[解]：⑴该系统的组成和原理；⑵该系统的输出量是，输入量是，扰动量是⑸消去中间变量：推出之间的关系：显然，转速既与输入量有关，也与干扰有关。⑷各环节微分方程：运放Ⅰ：，运放Ⅱ：功率放大：，反馈环节：电动机环节：见例2-4测速-运放Ⅰ运放Ⅱ功放电动机⑶速度控制系统方块图：⑴对于恒值调速系统，=常