复变函数与积分变复习

44第一章复数与复平面第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章解析函数的级数表示法第五章留数理论及其应用复变函数与积分变换考试范围：课本第一章到第五章内容，其中第一章1.3节不考，凡是关于无穷远点的知识点均不考。以前题型：一、填空题(每题3分，共21分)二、单选题(每题3分，共18分)三、计算题(每题7分，共49分)四、证明题(7分)第一章复数与复平面第二章解析函数第三章复变函数的积分第四章解析函数的级数表示法第五章留数理论及其应用复变函数与积分变换考试题型：填空题6个，选择题5个，计算题6个，证明题1个不考内容：第一章第3节、第四章第5节中函数在无穷远点的性质、第五章第1节中无穷远点的留数。考试章节：第一章到第五章第一节具体考试复习要点见下：1.求一个复数的共轭复数、辐角；2.计算一复数的三次方根，计算对数函数及其主值，初等函数的相关性质；3.判断一不等式所确定的区域是否有界、单连通还是多连通；4.求复变函数的极限；5.求幂级数的收敛半径，判断级数的敛散性；6.判断一复变函数的可导性与解析性7.利用参数方程法、牛顿-莱布尼兹公式、柯西古莎定理、复合闭路原理、柯西积分公式计算一复变函数的积分；8.验证一个二元实变函数是调和函数，并求一共轭调和函数，从而构成一解析函数；9.将一个复变函数在某圆环域内展开成洛朗级数；10.计算一个复变函数在某点处的留数；11.判断孤立奇点的类型。一、复数的运算二、复数的几种表示方法三、平面点集的几个概念四、极限计算的定理五、连续、求导六、解析函数七、调和函数八、初等函数九、积分的计算法十、级数一、复数的运算1.四则运算定义

复数

的和、差、积和商分别为：2.运算规律复数的运算满足交换律、结合律、分配律。即此外，在复数域内与实数相关的一切代数恒等式仍成立（如完全平方公式，平方差公式等）。z1+z2=z2+z1；z1z2=z2z1；(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3)；z1(z2z3)=(z1z2)z3；z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.3.共轭复数共轭复数的性质：

向量的长度为复数的模或绝对值，记为或，则复数的模的性质：O定义以正实轴为始边,以向量为终边的夹角的弧度数称为复数

的辐角(Argument)。(1)当时辐角：点的极坐标：其中则辐角无穷多：主值：把满足条件的辐角

称为的主值，或称为的主辐角，记作(2)当时，辐角不确定。逆时针时k为正4.辐角(3)计算辐角主值的公式当z落于一,四象限时，不变。

当z落于第二象限时，加。

当z落于第三象限时，减。

z落于y轴正半轴。

z落于y轴负半轴。

z落于x轴负半轴。

二、复数的几种表示方法

1.点的表示2.向量表示法3.三角表示法4.指数表示法由极坐标3.三角表示法可得4.指数表示法由Euler公式可得注意.

其中为的模，为的辐角，当时为的辐角主值。复数的各种表示法可以相互转化,以适应不同问题的需要。复数的共轭复数、实部、虚部、三角形式、指数形式？1.结论两个复数乘积的模等于它们的模相乘，两个复数乘积的辐角等于它们的辐角相加。2.结论

两个复数的商的模等于它们的模的商，两个复数的商的辐角等于被除数与除数的辐角之差。3.复数的乘幂定义设是已知的复数，为正整数，称满足方程的所有的复数为的次方根，4.复数的方根（开方）——乘方的逆运算k=0,1,2,3,4,512k=0,1,2,3,4,5点的去心邻域。三.平面点集的几个概念(1)邻域高数中的定义：为实数且时，称为点的邻域。意义：表示一个以点为中心，长度为的开区间。复变中的定义：为复数且时，称集合为的邻域。的去心邻域。意义：表示复平面上以z0为中心，任意δ>0为半径的圆|z-z0|<δ内部的点的集合。(2)内点、开集内点

对任意

，若存在

，使得，则称为E的一个内点。开集

若点集E内的每一点都是内点，则称E是开集。E内点外点(3)边界点、边界边界

E的所有边界点组成的集合称为E的边界，记作。z边界点

若点的任何邻域内，既有属于E中的点，又有不属于E的点，则称是E的边界点。聚点

平面上点z的任意邻域内有E的无穷个点，称z为E的聚点。闭集

若点集E的每个聚点都属于E，则称E是闭集。闭区域

区域D与它的边界的并集称为闭区域,记为。D-区域(4)区域连通

若E内任两点可用包含在E内的折线连接，称集E为连通集。区域满足下列性质的非空点集E称为区域：(a)E是一个开集，(b)E是连通的。(5)有界区域有界区域若区域D有界，则称为有界区域；否则无界。有界集若存在M>0,使得对任意z∈E,均有，则称E是有界集。OM(6)简单曲线、光滑曲线点和分别称为曲线的起点和终点。令z(t)=x(t)+iy(t),;则这些点的集合称为复平面上的一条曲线。上述方程称为曲线的参数方程，且曲线方程可记为：z=z(t)，，分段光滑曲线有限条光滑曲线连接而成的连续曲线。则称该曲线为光滑曲线。光滑曲线z(a)=z(B)简单闭曲线重点

设连续曲线：z=z(t)，

，对于t1∈，t2∈，当t1≠t2时，若z(t1)=z(t2)，称z(t1)为曲线的重点。简单曲线称没有重点的连续曲线为简单曲线或Jardan曲线;简单闭曲线若简单曲线满足

，则称此曲线C是简单

闭曲线或Jordan闭曲线。

简单曲线不是简单闭曲线z(t1)=z(t2)是重点

约当定理一条简单闭曲线将复平面唯一地分成两个不相交区域，以曲线为公共边界。一个是有界区域，称为的内部；一个是无界区域，称为的外部；还有一个是它们的公共边界。z(a)=z(b)内部外部边界(7)单连通区域单连通区域

设D为复平面上的一个区域，如果D内的任何简单闭曲线的内部均在D内，就称D为单连通域；否则为多连通区域或复连通。例如

|z|<R（R>0）是单连通的；0≤r<|z|≤R是多连通的。单连通域多连通域多连通域单连通域CC四、极限计算的定理定理一定理二解B-11.函数的连续性五、连续、求导2.导数的定义:3、求导法则:求导公式与法则:六、解析函数1.解析函数的定义2.奇点的定义某点处连续可导解析某区域连续可导解析3.可导和解析的主要定理定理一C-R方程都在复平面上可微解:且在R上解析，所以必满足C-R方程即l=-3-34都在复平面上可微都在复平面上可微解析解析只在0处P25七、调和函数定义定理

任何在区域

D

内解析的函数,它的实部和虚部都是

D

内的调和函数.1.偏积分法

如果已知一个调和函数u,那末就可以利用柯西－黎曼方程求得它的共轭调和函数v,从而构成一个解析函数u+vi.这种方法称为偏积分法.2.线积分法由柯西-黎曼方程有而该积分与路径无关，因此可选取简单路径(如折线)进行计算，其中为区域D中的点。3.不定积分法22x2x偏积分法解法2取=(0,0),路径为从(0,0)到(x,0)的直线段，再从(x,0)到(x,y)的直线段。线积分法八、初等函数1.指数函数2.对数函数BA多值函数3.乘幂例解及实部和虚部的各个分支在除去原点和负实轴的复平面内是解析的。4.三角函数正弦函数和余弦函数在复平面内都是解析函数.在复平面内是无界函数BB九、积分的计算法2.参数方程法解(1)积分路径的参数方程为1.公式法定理3.类似于牛顿-莱布尼兹公式4.柯西－古萨基本定理此定理也称为柯西积分定理.那末5.复合闭路定理6.柯西积分公式定理称为柯西积分公式定理7.高阶导数公式重要公式因为被积函数在C内解析，由柯西古莎定理得0因为被积函数在C内解析，由柯西古莎定理得00（由复合闭路定理和柯西古莎定理）121212+8.留数算积分设为的一个孤立奇点;1).留数定理在区域

D内除有限个孤外处处解析,C是D内包围诸奇点的一条正向简单闭曲线,那么立奇点函数2).留数的计算方法(1)如果为的可去奇点,如果为的一级极点,那么规则1成洛朗级数求(2)如果为的本性奇点,(3)如果为的极点,则有如下计算规则展开则需将如果为的m级极点,规则2那末规则3

如果设及在都解析，那末为的一级极点,

且有十、级数定理重要结论:1.复数项级数非绝对收敛的收敛级数称为条件收敛级数.如果

收敛,那末称级数

为绝对收敛.定义如果

发散,收敛.收敛,收敛，所以条件收敛.B所以绝对收敛所以发散所以绝对收敛定理.比值审敛法(D’alembert判别法)设为正项级数,且则(1)当(2)当时,级数收敛

;或时,级数发散

.称为幂级数.收敛定理(阿贝尔Abel定理)如果级数在收敛,级数绝对收敛在级数发散,那末对满足的级数发散.那末对的满足2.幂级数.3.收敛半径的求法方法1:比值法:那么收敛半径方法2:根值法那么收敛半径如果解：1解：1定理四设幂级数的收敛半径为那末(2)在收敛圆内的导数可将其幂级数逐项求导得到,是收敛圆内的解析函数

.(1)4.复变幂级数在收敛圆内的性质(3)在收敛圆内可以逐项积分,5.泰勒定理其中泰勒级数泰勒展开式定理设在区域内解析,为

内的一为到的边界上各点的最短距离,那