复变函数第5章 (3)

第8章傅里叶变换§8.1傅里叶积分§8.2傅里叶变换函数§8.3频谱§8.4傅里叶变换的性质§8.5卷积本章大纲要求了解傅氏积分的概念，理解傅氏变换的概念，会求指数衰减函数、单位阶跃函数、正弦、余弦函数等的傅氏变换。了解单位脉冲函数（δ函数）及其傅氏变换，会求非周期函数的频谱。熟练掌握傅氏变换的线性性质、位移性质、微分性质和积分性质。理解卷积的概念，会用卷积定理求傅氏变换及傅氏逆变换。会用傅氏变换求某些积分。

§8.1傅里叶积分定理设是T以为周期的实值函数，且在上满足狄利克雷条件(简称狄氏条件)，即（1）连续或只有有限个第一类间断点。（2）只有有限个极值点。（8.1）一、傅里叶级数

在间断点t0处，(8.1)式左端为：由于：其中令：可得：（8.2）(8.3)称(8.1)式为傅里叶级数的三角形式，称(8.2)式为傅里叶级数的复指数形式。代入（8.1）式得：二、傅氏积分

对任何一个非周期函数f(t)都可以看成是由某个周期函数fT(t)当T

时转化而来的.作周期为T的函数fT(t),使其在[-T/2,T/2]之内等于f(t),在[-T/2,T/2]之外按周期T延拓到整个数轴上,则T越大,fT(t)与f(t)相等的范围也越大,这就说明当T

时,周期函数fT(t)便可转化为f(t),

即有定理8.1.1(傅里叶积分定理)若在内满足：1、在任一有限区间上满足狄利克雷条件；2、在无限区间内绝对可积，即收敛，则有成立，而左端的在它的间断点t处，应以来代替。傅里叶积分公式式也可以转化为三角形式：又考虑到积分是的偶函数，

类似于傅里叶级数形式若是上的偶函数，则有

若是上的奇函数，则有例8.1.1设试证§8.2傅里叶变换函数一、傅里叶变换的定义=[f(t)]=-1[F(w)]例8.2.1求函数的傅里叶变换及傅里叶积分表达式。例8.2.2求单边指数衰减函数的傅里叶变换及其傅里叶积分表达式。二、单位脉冲函数及其性质1、单位脉冲函数在物理和工程技术中,常常会碰到单位脉冲函数.因为有许多物理现象具有脉冲性质,他们仅在某一瞬间或某一点出现，如瞬时冲击力、脉冲电流、质点的质量等，这些量都不能用通常的函数形式去描述。研究此类问题就会产生我们要介绍的单位脉冲函数。如果有一个质量为的质点放置在坐标原点，则可以认为它相当于上面的细杆取的结果，则质点的密度函数为：引例1：设有长度为的均匀细杆放在轴的上，其质量为，用表示它的线密度，则有引例2在原来电流为零的电路中，某一瞬间（设为）进入以单位电量的脉冲，现在要确定电路上的电流以表示上述电路中的电荷函数，则：这表明在通常意义下的函数类中找不到一个函数能够表示这样的电流强度.为了确定这样的电流强度,引进一称为狄拉克(Dirac)的函数,简单记成d-函数.有了这种函数,对于许多集中于一点或一瞬时的量,例如点电荷,点热源,集中于一点的质量及脉冲技术中的非常窄的脉冲等,就能够象处理连续分布的量那样,以统一的方式加以解决.这种函数的特点是：在某一点或某一瞬时，函数值为，而在其它点处函数值为0，且将函数从到积分得单位1。定义：狄拉克(Dirac

)函数且函数图形：d函数的另一种定义是作为函数序列的极限注：对于任意一个无穷次可微函数有2、函数的筛选性质设是任意良函数，即：（1）在所有点处有任意阶导数；（2）当时，下降得足够快，使得当大于某一值时，和它的一切导数都等于零，或至少比收敛得快，为任意大的正数。则有一般地：利用d函数的筛选性质可以实现对函数f(t)的任一抽样。例如：记Ⅲ(t)则：Ⅲ(t)f(t)3、函数的导数设是任意良函数，则一般地：例8.2.6设是赫维赛德单位阶跃函数，即试证：例8.2.7设是一连续函数，试证4、函数的傅氏变换

-1[1]=

-1三、广义傅里叶变换在物理和工程技术中，有许多重要函数不满足傅氏积分定理中的绝对可积条件，即不满足例如：常数函数，符号函数，单位阶跃函数，正弦函数，余弦函数等就是如此。利用傅氏变换的定义及函数的结果，我们也可以求出以上诸函数的傅氏变换，只是已不再是古典意义下的变换，而是广义傅氏变换。例8.2.8分别求函数与的傅氏变换。例8.2.9试证单位阶跃函数u(t)的傅氏变换为

-1

-1例8.2.10求的傅氏变换。例8.2.11求的傅氏变换§8.3频谱一、周期函数的频谱根据傅氏级数理论，周期为T的非正弦函数，f(t)只要满足一定的条件，就可以分解为无穷多谐波分量，而每一个谐波分量由其振幅与相位来表征。各次谐波可以按其频率高低依次排列起来城谱状，按这样排列的各次谐波的全体称为频谱。振幅频谱、相位频谱、能量频谱等若f(t)的傅氏级数展开式是三角形式，则它的第n次谐波为从而n次谐波的振幅为：若f(t)的傅氏级数展开式是复数形式，则它的第n次谐波为其中且离散频谱：其中反映了频率为的谐波在所占的份额，称为振幅。则反映了频率为的谐波沿时间轴移动的大小，称为相位。这两个指标完全刻画了信号的性态。2、非周期函数的频谱定义8.3.1设f(t)是满足傅氏积分定理条件的非周期函数，称其傅氏变换为f(t)的频谱函数，而称频谱函数的模为f(t)的振幅频谱，简称频谱。由于w是连续变化的,称之为连续频谱.称为的相角频谱。显然例8.3.2求图中所示的单个矩形脉冲的频谱例8.3.3作常数函数的频谱图。§8.4傅里叶变换的性质1、线性性质：设

，

，为常数则：

－12、位移性质：设

，为实常数，则：

－1例8.4.1设求求的傅氏变换。

-1[G(ω)]例8.4.2已知求3、相似性质：设

，为非零常数，则：

－1

特别的（翻转性质）

例8.4.3已知抽样信号的频谱函数为求信号的频谱函数。相似性质说明了时域和频域之间的联系：如函数（信号）在时域上被压缩，则其象在频域上被扩展，及频谱被扩展。反之，在时域上被扩展，则其象在频域上被压缩，及频谱被压缩。4、对称性质：设

，则

5、微分性质：若，则：

一般地，若，则：

象函数的导数公式：例8.4.5已知求

例8.4.6已知

求

6、积分性质：

，若，则：设

，如果则：

－17、帕塞瓦尔(Parserval)等式：设

，则：乘积定理：若

则：例8.4.7求§8.5卷积1、卷积定义：设与在内有定义，若广义积分对任何实数t收敛，则它定义了一个自变量为t的函数，此函数称为与的卷积，记作例1、设，求与的卷积。例2、设，求与的卷积。设F1(w)=[f1(t)],F