2023届高考数学二轮复习微专题47等差数列的前n项和Sn的最值问题学案

微专题47等差数列的前n项和Sn的最值问题例题：设等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a3＝24，S11＝0.(1)求an；(2)求数列{an}的前n项和Sn；(3)当n为何值时，Sn最大，并求Sn的最大值．

变式1等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d<0，若S9＝S23，则数列{an}的前多少项的和最大？变式2等差数列{an}的前n项和为Sn，且公差d<0，若S10＝S23，则数列{an}的前多少项的和最大？串讲1已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(40－5n,7)，记Tn＝an＋an＋1＋…＋an＋6，当|Tn|取最小值时，n的值为多少？

串讲2已知数列{an}的通项公式an＝eq\f(40－5n,7)，记Tn＝an＋an＋1＋…＋an＋5，当|Tn|取最小值时，n的值为多少？(2018·全国Ⅱ卷改编)记Sn为等差数列{an}的前n项和，已知a1＝－7，S3＝－15.求Sn，并求Sn的最小值．(2018·苏州第一学期期初调研)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)．若对任意的n∈N*，总有Sn≤Sk，求正整数k的值．答案：k＝7.解法1因为an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－S2＝－13，,a3－S3＝－24，))也即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝13，,a1＋a2＝24，))解得a1＝13，a2＝11，所以d＝a2－a1＝－2，故an＝－2n＋15，5分令eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1<0，))得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－2n＋15≥0，,－2n＋13<0，))所以eq\f(13,2)<n≤eq\f(15,2)，9分又n∈N*，所以n＝7，即数列{an}的前7项和为S7最大，所以k＝7.14分解法2因为an－Sn＝n2－16n＋15(n≥2，n∈N*)，所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a2－S2＝13，,a3－S3＝－24，))也即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝13，,a1＋a2＝24，))解得a1＝13，a2＝11，7分所以d＝a2－a1＝－2，故an＝－2n＋15，9分Sn＝13n＋eq\f(n（n－1）,2)×(－2)＝－n2＋14n＝－(n－7)2＋49，12分所以数列{an}的前7项和为S7最大，故k＝7.14分微专题47例题答案：(1)an＝48－8n；(2)Sn＝－4n2＋44n；(3)n＝5或6时，Sn最大，Sn＝120.解析：(1)因为a3＝24，S11＝0.所以eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＋2d＝24，,11a1＋\f(11×10,2)d＝0，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝40，,d＝－8，))所以an＝48－8n.(2)由(1)知，a1＝40，an＝48－8n，所以Sn＝eq\f(（a1＋an）n,2)＝eq\f(（40＋48－8n）n,2)＝－4n2＋44n.(3)解法1：由(2)有，Sn＝－4n2＋44n＝－4(n－eq\f(11,2))2＋121，故当n＝5或n＝6时，Sn最大，且Sn的最大值为120.解法2：由an＝48－8n，eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1<0，))即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(48－8n≥0，,48－8（n＋1）<0，))得5<n≤6，又n∈N*，所以n＝6，即该数列前5项都是正数，第6项为0，所以前5项和、前6项的和同为最大值，最大值为120.说明：等差数列的前n项和Sn最值问题的研究有两种主要思路：其一，利用Sn＝an2＋bn具有的二次函数的性质，结合单调性或抛物线图象来研究；其二，是利用“邻项变号法”研究，即由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1<0，))求得Sn取得最大值时n的条件，同样由eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1>0，))求得Sn取得最小值时n的条件．变式联想变式1答案：16.解析：由S9＝S23，得a10＋a11＋…＋a23＝0，即a16＋a17＝0，又因为d<0，所以a16>0，a17<0，所以，数列{an}的前16项的和最大．变式2答案：16或17.解析：由S10＝S23，得a11＋a12＋…＋a23＝0，即a17＝0，又因为d<0，所以a16>0，a18<0，所以，数列{an}的前16项或17的和最大．说明：上述两个“变式”题的不同之处在于，“变式1”中不含为0的项，因此前n项和Sn取得最值时，n的值只有一解，“变式2”中含有数值为0的项，因此前n项和Sn取得最值时，n的值有两解！请同学们仔细体会其中的差别．串讲激活串讲1答案：n＝5.解析：由an＝eq\f(40－5n,7)，知{an}递减且a8＝0，又Tn＝an＋an＋1＋…＋an＋6＝7an＋3，考虑到|Tn|≥0，且由n＋3＝8，得n＝5，即满足|Tn|取得最小值的正整数n＝5.串讲2答案：n＝5或6.解析：由an＝eq\f(40－5n,7)，知{an}递减且a8＝0，又Tn＝an＋an＋1＋…＋an＋5，式子右边有6项，结合等差数列的对称性知，当下标n＋(n＋5)＝2×8±1，即就是n＝5或6时，|Tn|取