基于数字相关原理的相位差自动测量

基于数字相关原理的相位差自动测量

1利用数字相关原理进行的相关误差测量相位差的工作原理随着处理器和大规模集成电路的快速发展，传统的测量方法已经取代了数字测量方法。近年来,相关技术原理在数字信号处理中得到了广泛应用。本文提出了一种利用数字相关原理来测量相位差的方法。这种方法可以提高测试精度,减少硬件,充分利用测试系统中的数据采集系统和微型计算机,提高了测试系统的可靠性和可维护性,在相位差自动测量中具有良好的应用前景。2fpga采样采样设被测信号为v1(t)=V1sinωt(1)v2(t)=V2sin(ωt-φ)(2)其中,φ为相位差,ω=2πf,f为信号频率。显然,v1与v2是相关的,可以利用相关原理对v2进行采样测量,再通过相关计算求得相位差φ。将式(2)展开,得v2(t)=asinωt+bcosωt(3)其中,a=V2cosφ,b=-V2sinφ。则φ=tg-1-ba(4)φ=tg−1−ba(4)将式(3)两边同乘以cosωt后,进行积分,有∫t1+Τt1t1+Tt1cosωt·v2(t)dt=∫t1+Tt1asinωtcosωtdt+∫t1+Τt1t1+Tt1bcos2ωtdt(5)式中t1为任意值,T为信号周期。由三角函数性质,可推得a=2Τa=2T∫t1+Τt1t1+Tt1sinωt·v2(t)dt(6)同样可得b=2Τb=2T∫t1+Τt1t1+Tt1cosωt·v2(t)dt(7)设N=T/ΔT,将式(6)、(7)转换成离散函数得a=2Νa=2NΝ-1∑n=0∑n=0N−1sin(nωΔT)·v2(nΔT)(8)b=2Νb=2NΝ-1∑n=0∑n=0N−1cos(nωΔT)·v2(nΔT)(9)用A/D变换器对v2(t)进行采样得到v2(nΔt),经相关计算后,由式(4)就可以得出相位差φ。测量原理如图1所示,信号v1(t)经通道1后取出其正向过零脉冲信号,作为A/D变换器的触发启动信号;微处理器通过控制电路控制A/D变换器对v1(t)的采样,并在采样完成后,从RAM中读取采样数据,进行数据处理、计算,最后得到相位差φ,进行显示或打印输出。但这种方法必须预先知道v1(t)或v2(t)的频率,这可以通过A/D变换器采样数据的计算求得或者用其它办法测量。在多数应用中,v1(t)是已知的。例如测量线性系统的幅频和相频特性时,通常对被测系统加入设定的激励信号v1(t),并测量输出信号v2(t)。3差性噪声eln相关法测量相位差的误差来源很多,主要是由量化误差、噪声干扰所引起的。本文只讨论量化误差、噪声干扰所引起的误差。在式(8)、(9)中,v2(nΔT)是信号v2(t)的幅度采样值,而由A/D变换器所得到的实际采样值并不等于v2(nΔT)。由于A/D变换器的量化位数是有限的,所以存在量化误差;另外,由于信号在传输过程中有噪声叠加,引起随机误差。在数据采集系统中,量化噪声是一类重要的随机误差,这类误差是由于A/D变换器的非线性传输特性引起的。在分析量化噪声时,可把A/D变换器看作从连续幅度的输入到离散幅度输出的一种非线性映射,这种映射引起的误差,可以利用随机统计方法也可以利用非线性确定方法进行研究。但为了分析方便,目前多数文献采用的是随机统计方法。随机统计方法就是将A/D变换器的输出等效为被取样的连续幅度的输入与附加噪声之和。设A/D变换器的量化噪声为el(n)。另外,只考虑有高斯白噪声时的情况,设高斯白噪声为eg(n),于是用A/D变换器取样得到的采样值实际为vx(n)=v2(n)+eg(n)+el(n)(10)由式(8)可知,经A/D变换器取样,a的实际值为ax=2Νax=2NΝ-1∑n=0∑n=0N−1sin(nωΔT)·vx(nΔT)=a′+ag+al(11)其中a′=2Νa′=2NΝ-1∑n=0∑n=0N−1sin(nωΔT)·v2(nΔT)=a(12)ag=2Νag=2NΝ-1∑n=0sin(nωΔΤ)⋅eg(nΔΤ)=2ΝΝ-1∑n=0sin2πnΝ⋅eg(n)(13)al=2ΝΝ-1∑n=0sin(nωΔΤ)⋅el(nΔΤ)=2ΝΝ-1∑n=0sin2πnΝ⋅el(n)(14)因此,ax=a+ae(15)其中,误差项ae=ag+al,ag是由高斯白噪声引起的误差,al是由量化噪声引起的误差。设eg(t)的均值为0,方差为σ2g的高斯随机变量,则由式(13)可得σ2ag=σ2gΝ(16)设A/D变换器为舍入式的均匀量化器,量化间隔为Δ,则el(t)是以等概率落在(-Δ/2,Δ/2)内。因此,el(t)服从均匀分布,均值为0,方差为(Δ2/12)。由式(14)可得σ2al=Δ212Ν(17)考虑ag与al相互独立,有σ2ae=σ2ag+σ2al=σ2gΝ+Δ212Ν(18)同样,可得bx=b+be(19)其中,be=bg+bl为误差项,bg是由高斯白噪声引起的误差,bl是由量化噪声引起的误差,并且有bl=2ΝΝ-1∑n=0cos2πnΝ⋅el(n)(20)bg=2ΝΝ-1∑n=0cos2πnΝ⋅eg(n)(21)σ2be=σ2bg+σ2bl=σ2gΝ+Δ212Ν(22)由式(4),可得相位差φ的标准偏差为σ2φ=(∂φ∂a)2σ2ae+(∂φ∂b)2σ2be=b2(a2+b2)2σ2ae+a2(a2+b2)2σ2be=1a2+b2(σ2gΝ+Δ212Ν)=1ΝV22(σ2g+Δ212)(23)于是,得σφ=1√Ν√σ2gV22+(Δ/V2)212(24)如令SΝ=V22σ2g,为输入信号的信噪比;并设A/D变换器的位数为m,则有ΔV2=22m-1,代入式(24),得σφ=1√Ν√1SΝ+13(2m-1)2(25)由此可见,相关法相位差测量结果的标准偏差与取样点数的平方根成反比;同时,也与信噪比和A/D变换器的位数有关,信噪比越大,A/D变换器的位数越多,测量误差越小。在工程上,一般用极限误差来表征随机误差的大小,即Δmax=3σφ=3σφ=3√Ν√1SΝ+13(2m-1)2(26)4相关法测量相位差的确定原则为验证上述分析的正确性,我们在计算机上进行了模拟实验。设实验信号为v1(t)=sin2πt(27)v2(t)=sin(2πt+π/3)(28)则A/D变换器取样值及φx计算值为v′2(n)=sin(2πnΝ+π3)+eg(n)+el(n)(29)ax=2ΝΝ-1∑n=0sin2πnΝ⋅v′2(n)(30)bx=2ΝΝ-1∑n=0cos2πnΝ⋅v′2(n)(31)φx=360°2π⋅tg-1-bxax(32)其中,eg(n)是均值为零且方差为σ2g的高斯分布的随机变量,其信噪比为SN=v22/σ2g=1/σ2g。el(n)是均值为零且在(-Δ/2,Δ/2)上均匀分布的随机变量,若A/D变换器的位数为m,则有Δ=ΔV2=22m-1(33)改变变量N(取样点数)、SN(信噪比)、m(A/D变换器的位数)的值,计算φx,可以得到如图2～图7所示的结果。由此,可得到A/D变换器取样点数N及A/D变换器的位数m的确定原则和以下结论。相关法测量相位差的误差与取样点数N、信噪比SN和A/D变换器的位数m有关。其中,A/D变换器的位数m对误差影响较小,在实际应用中8位以上均可,当信噪比较高时(>50dB),可以考虑加大m,16位的A/D变换器可以满足SN<100dB情况的测量;取样点数N>64基本上可以满足要求,由式(25)可知,σφ与√Ν成反比,考虑到A/D变换器采样速度和计算机计算容量等问题,N取64～512较为合适;相对而言,信噪比SN对测量影响较大,但由式(3