专题57锐角三角函数（2）-2020年全国中考数学真题分项汇编（第02期全国通用）【有答案】

专题56锐角三角函数（2）（全国一年）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________一、单选题1．（2020·浙江杭州?中考真题）如图，在中，∠C＝90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，则（）A．c＝bsinB B．b＝csinB C．a＝btanB D．b＝ctanB【答案】B【解析】【分析】根据三角函数的定义进行判断，即可解决问题．【详解】∵中，，、、所对的边分别为a、b、c∴，即，则A选项不成立，B选项成立，即，则C、D选项均不成立故选：B．【点睛】本题考查了三角函数的定义，熟记定义是解题关键．2．（2020·天津中考真题）2sin45°的值等于（）A．1 B． C． D．2【答案】B【解析】【分析】【详解】解：2sin45°=2×故选B3．（2020·江苏无锡?中考真题）下列选项错误的是（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】分别根据特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法法则，二次根式的除法法则以及去括号法则逐一判断即可．【详解】解：A．，本选项不合题意；B．，本选项不合题意；C．1，本选项不合题意；D．2（x−2y）＝2x−4y，故本选项符合题意；故选：D．【点睛】本题主要考查了特殊角的三角函数值，同底数幂的乘法，二次根式的除法以及去括号与添括号，熟记相关运算法则是解答本题的关键．4．（2020·安徽中考真题）如图，中，，点在上，．若，则的长度为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】【分析】先根据，求出AB=5，再根据勾股定理求出BC=3，然后根据，即可得cos∠DBC=cosA=，即可求出BD．【详解】∵∠C=90°，∴，∵，∴AB=5，根据勾股定理可得BC==3，∵，∴cos∠DBC=cosA=，∴cos∠DBC==，即=∴BD=，故选：C．【点睛】本题考查了解直角三角形和勾股定理，求出BC的长是解题关键．5．（2020·山东聊城?中考真题）如图，在的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，的顶点都在这些小正方形的顶点上，那么的值为（）．A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】过点A作于点D，在中，利用勾股定理求得线段AC的长，再按照正弦函数的定义计算即可．【详解】解：如图，过点A作于点D，则，∴，∴，故选：D．【点睛】本题考查了勾股定理的运用以及锐角三角函数，正确作出辅助线是解题的关键．6．（2020·河南中考真题）如图，在中，．边在轴上，顶点的坐标分别为和．将正方形沿轴向右平移当点落在边上时，点的坐标为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】先画出落在上的示意图，如图，根据锐角三角函数求解的长度，结合正方形的性质，从而可得答案．【详解】解：由题意知：四边形为正方形，如图，当落在上时，由故选【点睛】本题考查的是平移的性质的应用，同时考查了正方形的性质，图形与坐标，锐角三角函数，掌握以上知识是解题的关键．7．（2020·江苏无锡?中考真题）如图，在四边形中，，，，把沿着翻折得到，若，则线段的长度为（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】根据已知，易求得，延长交于，可得，则，再过点作，设，则，，，在中，根据，代入数值，即可求解．【详解】解：如图∵，，，∴，∴，∵，∴，∴，延长交于，∴，则，，过点作，设，则，，∴，∴在中，，即，解得：，∴．故选B．【点睛】本题目考查三角形的综合，涉及的知识点有锐角三角函数、折叠等，熟练掌握三角形的有关性质，正确设出未知数是顺利解题的关键．8．（2020·山东泰安?中考真题）如图，四边形是一张平行四边形纸片，其高，底边，，沿虚线将纸片剪成两个全等的梯形，若，则的长为（）A． B． C． D．【答案】D【解析】【分析】过点F作，AG=2，，可得BG=FM=2，令AF=x，根据，根据正切值可得EM的长，加起来等于BC即可得到结果．【详解】如图所示，过点F作交BC于点M，

∵，，AG=2，∴BG=FM=2，AF=GM，令AF=x，∵两个梯形全等，∴AF=GM=EC=x，又∵，∴，∴，又∵BC=6，∴，∴．故答案选D．【点睛】本题主要考查了利用特殊角的三角函数值及三角函数的意义进行求解，准确根据全等图形的性质判断边角是解题的关键．9．（2020·四川南充?中考真题）如图，点A，B，C在正方形网格的格点上，则sin∠BAC=（）A． B． C． D．【答案】B【解析】【分析】作BD⊥AC于D，根据勾股定理求出AB、AC，利用三角形的面积求出BD，最后在直角△ABD中根据三角函数的意义求解．【详解】解：如图，作BD⊥AC于D，

由勾股定理得，，

∵，

∴，

∴．

故选：B．【点睛】本题考查了勾股定理，解直角三角形，三角形的面积，三角函数的意义等知识，根据网格构造直角三角形和利用三角形的面积求出BD是解决问题的关键．10．（2020·江苏扬州?中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】【分析】首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．【详解】∵和∠ABC所对的弧长都是，∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，∴在Rt△ACB中，AB=根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，∴=，故选A．【点睛】本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．11．（2020·四川广元?中考真题）规定：给出以下四个结论：（1）；（2）；（3）；（4）其中正确的结论的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】C【解析】【分析】根据题目所规定的公式，化简三角函数，即可判断结论．【详解】解：（1），故此结论正确；（2），故此结论正确；（3）故此结论正确；（4）==，故此结论错误.故选：C．【点睛】本题属于新定义问题，主要考查了三角函数的知识，解题的关键是熟练掌握三角函数的基础知识，理解题中公式.12．（2020·江苏无锡?中考真题）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（）A．①④ B．②④ C．①③ D．②③【答案】D【解析】【分析】①通过分析图形，由线段在边上运动，可得出，即可判断出与不可能相等；②假设与相似，设，利用相似三角形的性质得出的值，再与的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；③过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，利用函数求四边形面积的最大值，设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值；④作点D关于直线的对称点D1，连接DD1，与相交于点Q，再将D1Q沿着向B端平移个单位长度，即平移个单位长度，得到D2P，与相交于点P，连接PC，此时四边形的周长为：，其值最小，再由D1Q=DQ=D2P，，且∠AD1D2=120°，可得的最小值，即可得解．【详解】解：①∵线段在边上运动，，∴,∴与不可能相等，则①错误；②设，∵，，∴，即，假设与相似，∵∠A=∠B=60°，∴，即，从而得到，解得或（经检验是原方程的根），又，∴解得的或符合题意，即与可能相似，则②正确；③如图，过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，设，由，，得，即，∴，∵∠B=60°，∴，∵，∠A=60°，∴,则，，∴四边形面积为：,又∵，∴当时，四边形面积最大，最大值为：，即四边形面积最大值为，则③正确；④如图，作点D关于直线的对称点D1，连接DD1，与相交于点Q，再将D1Q沿着向B端平移个单位长度，即平移个单位长度，得到D2P，与相交于点P，连接PC，∴D1Q=DQ=D2P，，且∠AD1D2=120°，此时四边形的周长为：，其值最小，∴∠D1AD2=30°，∠D2AD=90°，，∴根据股股定理可得，，∴四边形的周长为：,则④错误，所以可得②③正确，故选：D．【点睛】本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解．二、填空题13．（2020·四川攀枝花?中考真题）_______．【答案】【解析】.故答案为.14．（2020·湖南湘潭?中考真题）计算：________．【答案】【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值直接书写即可．【详解】故答案为：．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，牢固记忆是解题的关键．15．（2020·贵州黔东南?中考真题）=______.【答案】.【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值填空即可.【详解】由特殊角的三角函数值，能够确定=.故答案是【点睛】本题考查了特殊角的三角函数值，解决本题的关键是熟练掌握特殊角的三角函数值.16．（2020·贵州遵义?中考真题）如图，对折矩形纸片使与重合，得到折痕，再把纸片展平．是上一点，将沿折叠，使点的对应点落在上．若，则的长是_________．【答案】【解析】【分析】在Rt△A´BM中，解直角三角形求出∠BA′M＝30°，再证明∠ABE＝30°即可解决问题．【详解】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，

∴AB＝2BM，∠A′MB＝90°，MN∥BC．

∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．

∴A′B＝AB＝2BM．

在Rt△A′MB中，∵∠A′MB＝90°，

∴sin∠MA′B＝，

∴∠MA′B＝30°，

∵MN∥BC，

∴∠CBA′＝∠MA′B＝30°，

∵∠ABC＝90°，

∴∠ABA′＝60°，

∴∠ABE＝∠EBA′＝30°，

∴BE＝．

故答案为：．【点睛】本题考查了矩形与折叠，锐角三角函数的定义，平行线的性质，熟练掌握并灵活运用翻折变换的性质是解题的关键．17．（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）是的弦，，垂足为M，连接．若中有一个角是30°，，则弦的长为_________．【答案】12或4【解析】【分析】分∠OAM=30°，∠AOM=30°，两种情况分别利用正切的定义求解即可.【详解】解：∵OM⊥AB，∴AM=BM，若∠OAM=30°，则tan∠OAM=，∴AM=6，∴AB=2AM=12；若∠AOM=30°，则tan∠AOM=，∴AM=2，∴AB=2AM=4.故答案为：12或4.【点睛】本题考查了垂径定理，三角函数，解题时要根据题意分情况讨论.18．（2020·江苏南京?中考真题）如图，在边长为的正六边形中，点P在BC上，则的面积为__________．【答案】【解析】【分析】如图，连接过作于，利用正六边形的性质求解的长，利用与上的高相等，从而可得答案．【详解】解：如图，连接过作于，正六边形,故答案为：【点睛】本题考查的是正多边形的性质，同时考查了锐角三角函数的应用，等腰三角形的性质，平行线的判定，掌握以上知识是解题的关键．19．（2020·贵州遵义?中考真题）如图，对折矩形纸片ABCD使AD与BC重合，得到折痕MN，再把纸片展平．E是AD上一点，将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．若CD＝5，则BE的长是_____．【答案】【解析】【分析】在Rt△A'BM中，利用轴对称的性质与锐角三角函数求出∠BA′M=30°，再证明∠ABE=30°即可解决问题．【详解】解：∵将矩形纸片ABCD对折一次，使边AD与BC重合，得到折痕MN，∴AB=2BM，∠A′MB=90°，MN∥BC．∵将△ABE沿BE折叠，使点A的对应点A′落在MN上．∴A′B=AB=2BM．在Rt△A′MB中，∵∠A′MB=90°，∴sin∠MA′B=＝，∴∠MA′B=30°，∵MN∥BC，∴∠CBA′=∠MA′B=30°，∵∠ABC=90°，∴∠ABA′=60°，∴∠ABE=∠EBA′=30°，故答案为：．【点睛】本题考查了矩形的性质，翻折变换，锐角三角函数的定义，平行线的性质，熟练掌握并灵活运用翻折变换的性质是解题的关键．20．（2020·江苏苏州?中考真题）如图，已知是一个锐角，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交、于点、，再分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，画射线．过点作，交射线于点，过点作，交于点．设，，则________．【答案】【解析】【分析】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，根据等腰三角形的性质得OH⊥AB，AH=BH，从而得四边形ABED是平行四边形，利用勾股定理和三角形的面积法，求得AG的值，进而即可求解．【详解】连接AB交OD于点H，过点A作AG⊥ON于点G，由尺规作图步骤，可得：OD是∠MON的平分线，OA=OB，∴OH⊥AB，AH=BH，∵，∴DE∥AB，∵，∴四边形ABED是平行四边形，∴AB=DE=12，∴AH=6，∴OH=，∵OB∙AG=AB∙OH，∴AG===，∴=．故答案是：．

【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质，平行四边形的判定和性质定理，勾股定理，锐角三角函数的定义，添加合适的辅助线，构造直角三角形是解题的关键．21．（2020·山东菏泽?中考真题）如图，在中，，点为边的中点，连接，若，，则的值为______．【答案】【解析】【分析】根据直角三角形斜边上的中线是斜边的一半得到DC=DB，∠DCB=∠B，根据锐角三角函数的定义即可求解．【详解】∵∠ACB=90°，BC=4，CD=3，点D是AB边的中点，

∴DC=DB，

∴∠DCB=∠B，AB=2CD=6，

∴，

故答案为：．【点睛】本题考查了直角三角形的性质，等腰三角形的判定和性质，锐角三角函数的定义，掌握直角三角形斜边上的中线是斜边的一半和三角函数的定义是解题的关键．22．（2020·湖北襄阳?中考真题）在⊙O中，若弦垂直平分半径，则弦所对的圆周角等于_________°．【答案】120°或60°【解析】【分析】根据弦垂直平分半径及OB=OC证明四边形OBAC是矩形，再根据OB=OA，OE=求出∠BOE=60°，即可求出答案.【详解】设弦垂直平分半径于点E，连接OB、OC、AB、AC，且在优弧BC上取点F，连接BF、CF，∴OB=AB，OC=AC，∵OB=OC，∴四边形OBAC是菱形，∴∠BOC=2∠BOE，∵OB=OA，OE=,∴cos∠BOE=，∴∠BOE=60°，∴∠BOC=∠BAC=120°，∴∠BFC=∠BOC=60°，∴弦所对的圆周角为120°或60°，故答案为：120°或60°.【点睛】此题考查圆的基本知识点：圆的垂径定理，同圆的半径相等的性质，圆周角定理，菱形的判定定理及性质定理，锐角三角函数，熟练掌握圆的各性质定理是解题的关键.23．（2020·湖南湘西?中考真题）在平面直角坐标系中，O为原点，点，点B在y轴的正半轴上，．矩形的顶点D，E，C分别在上，．将矩形沿x轴向右平移，当矩形与重叠部分的面积为时，则矩形向右平移的距离为___________．【答案】2【解析】【分析】先求出点B的坐标（0，），得到直线AB的解析式为：，根据点D的坐标求出OC的长度，利用矩形与重叠部分的面积为列出关系式求出，再利用一次函数关系式求出=4，即可得到平移的距离.【详解】∵，∴OA=6，在Rt△AOB中，，∴，∴B（0，），∴直线AB的解析式为：，当x=2时，y=，∴E（2，），即DE=，∵四边形CODE是矩形，∴OC=DE=，设矩形沿x轴向右平移后得到矩形，交AB于点G，∴∥OB，∴△∽△AOB，∴∠=∠AOB=30°，∴∠=∠=30°，∴,∵平移后的矩形与重叠部分的面积为，∴五边形的面积为,∴,∴,∴,∴矩形向右平移的距离=，故答案为：2.【点睛】此题考查了锐角三角函数，求一次函数的解析式，矩形的性质，图形平移的性质，是一道综合多个知识点的综合题型，且较为基础的题型.24．（2020·山东潍坊?中考真题）如图，矩形中，点G，E分别在边上，连接，将和分别沿折叠，使点B，C恰好落在上的同一点，记为点F．若，则_______．

【答案】【解析】【分析】根据折叠的性质结合勾股定理求得GE，BC=AD=8，证得Rt△EGFRt△EAG，求得，再利用勾股定理得到DE的长，即可求解．【详解】矩形中，GC=4，CE=3，∠C=90，∴GE=，根据折叠的性质：BG=GF，GF=GC=4，CE=EF=3，∠AGB=∠AGF，∠EGC=∠EGF，∠GFE=∠C=90，∴BG=GF=GC=4，∴BC=AD=8，∵∠AGB+∠AGF+∠EGC+∠EGF=180，∴∠AGE=90，∴Rt△EGFRt△EAG，∴，即，∴，∴DE=，∴，故答案为：．【点睛】本考查了折叠的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，相似三角形的判定和性质，锐角三角形函数的知识等，利用勾股定理和相似三角形的性质求线段的长度是本题的关键．25．（2020·山东德州?中考真题）如图，在矩形ABCD中，，，把AD沿AE折叠，使点D恰好落在AB边上的处，再将绕点E顺时针旋转，得到，使得恰好经过的中点F．交AB于点G，连接有如下结论：①的长度是；②弧的长度是；③；④．上述结论中，所有正确的序号是________．【答案】①②④【解析】【分析】①先根据图形反折变换的性质以及勾股定理得出的长，再根据勾股定理求出EF的长，即可求解；②利用特殊角的三角函数求得，从而求得，根据弧长公式即可求解；③由于不是等边三角形，得出，从而说明和不是全等三角形；④先利用“HL”证得，求得，再求得，从而推出．【详解】①在矩形ABCD中，，∵△ADE翻折后与△AD′E重合，∴AD′=AD，D′E=DE，，∴四边形ADED′是正方形，

∴AD′=AD=D′E=DE=，∴AE=，将绕点E顺时针旋转，得到，∴，==，，∵点F是的中点，∴，∴，∴，故①正确；②由①得，在中，，，∴，∴，∴弧的长度是，故②正确；③在中，，，∴不是等边三角形，∴，∴和不是全等三角形，故③错误；④在和中，，公共，∴(HL)，∴，∴，在中，，，∴，∴，又，∴，故④正确；综上，①②④正确，故答案为：①②④．【点睛】本题考查了图形的翻折变换，特殊角的三角函数，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，弧长公式的应用，勾股定理的应用，熟知图形翻折不变性的性质是解答此题的关键．26．（2020·四川自贡?中考真题）如图，直线与轴交于点，与双曲线在第三象限交于两点，且；下列等边三角形，，，……的边，，，……在轴上，顶点……在该双曲线第一象限的分支上，则=____，前25个等边三角形的周长之和为_______．【答案】；60【解析】【分析】设，设直线与轴的交点为H，先求解的坐标，得到∠HAO=30°，用含的代数式表示，联立函数解析式利用根与系数的关系得到关于的方程，从而可得第一空的答案；过分别向轴作垂线，垂足分别为先根据等边三角形的性质与反比例函数的性质求解的边长，依次同法可得后面等边三角形的边长，发现规律，再前25个等边三角形的周长之和即可．【详解】解：设，设直线与轴的交点为H，令则令则∴H（），又A（0，b），∴tan∠HAO=，∴∠HAO=30°，过作轴于过作轴于，∴AB=2BM，AC=2CN，∵BM=，，∴AB=，AC=，∴，联立得到。∴，由已知可得，∴，∴反比例函数的解析式为，过分别向轴作垂线，垂足分别为设由等边三角形的性质得：得：（舍去）经检验：符合题意，可得的边长为4，同理设，解得：（舍去）经检验：符合题意，的边长为，同理可得：的边长为，的边长为．∴前25个等边三角形的周长之和为=故答案为：【点睛】本题考查的是反比例函数的性质，考查一元二次方程的根与系数的关系，等边三角形的性质的应用，锐角三角函数的应用，同时考查与反比例函数相关的规律题，掌握以上知识是解题的关键．27．（2020·湖北襄阳?中考真题）如图，矩形中，E为边上一点，将沿折叠，使点A的对应点F恰好落在边上，连接交于点N，连接．若，，则矩形的面积为________．【答案】【解析】【分析】根据折叠的性质以及矩形的性质推导出，故，在中应用勾股定理，得到，即可求解．【详解】解：由折叠可得：，，，∴∵，且易得，∴，∴，∵，，∴，∴，即，在中，，解得，∵，∴，故答案为：．【点睛】本题考查折叠的性质，矩形的性质，勾股定理等内容，解题的关键是不求出线段的具体长度，而是得到AB和BF的比例关系直接求解矩形的面积．28．（2020·湖北鄂州?中考真题）如图，已知直线与x、y轴交于A、B两点，的半径为1，P为上一动点，切于Q点．当线段长取最小值时，直线交y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点P到直线a的距离的最大值为______________．【答案】【解析】【分析】先找到长取最小值时P的位置即为OP⊥AB时，然后画出图形，由于PM即为P到直线a的距离的最大值，求出PM长即可．【详解】解：如图，在直线上，x=0时，y=4，y=0时，x=，∴OB=4，OA=，∴，∴∠OBA=30°，由切于Q点，可知OQ⊥PQ，∴，由于OQ=1，因此当OP最小时长取最小值，此时OP⊥AB，∴，此时，，∴，即∠OPQ=30°，若使P到直线a的距离最大，则最大值为PM，且M位于x轴下方，过P作PE⊥y轴于E，，，∴，∵，∴∠OPE=30°，∴∠EPM=30°+30°=60°，即∠EMP=30°，∴，故答案为：．【点睛】本题考查了圆和函数的综合问题，题解题中含义找到Ｐ点的位置是解题的关键．三、解答题29．（2020·江苏扬州?中考真题）计算或化简：（1）（2）【答案】（1）；（2）1【解析】【分析】（1）先根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算法则对各项进行化简计算，再进行加减计算即可；（2）先将除法变为乘法，根据分式的乘法运算法则进行计算即可．【详解】解：（1）（2）【点睛】本题考查特殊角的三角函数值、负整数指数幂、二次根式的运算和分式的混合运算，解题的关键是要熟练掌握运算法则．30．（2020·江苏扬州?中考真题）如图1，已知点O在四边形ABCD的边AB上，且，OC平分，与BD交于点G，AC分别与BD、OD交于点E、F．（1）求证：；（2）如图2，若，求的值；（3）当四边形ABCD的周长取最大值时，求的值．【答案】（1）见详解；（2）；（3）【解析】【分析】（1）先由三角形外角得出∠BOD=∠DAO+∠ODA，然后根据OA=OD，OC平分∠BOD得出∠DAO=∠ODA，∠COD=∠COB，可得∠COD=∠ODA，即可证明；（2）先证明△BOG≌△DOG，得出∠ADB=∠OGB=90°，然后证明△AFO∽△AED，得出∠AOD=∠ADB=90°，，根据勾股定理得出AD=2，即可求出答案；（3）先设AD=2x，OG=x，则CG=2-x，BG==，BC===CD，然后得出四边形ABCD的周长=4+2x+4，令=t≥0，即x=2-t2，可得四边形ABCD的周长=-2（t-1）2+10，得出x=2-t2=1，即AD=2，然后证明△ADF≌△COF，得出DF=OF=OD=1，根据△ADO是等边三角形，得出∠DAE=30°，可得，求出DE=，即可得出答案．【详解】（1）由三角形外角可得∠BOD=∠DAO+∠ODA，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∵OC平分∠BOD，∴∠COD=∠COB，∴∠COD=∠ODA，∴OC∥AD；（2）∵OC平分，∴∠COD=∠COB，在△BOG与△DOG中，∴△BOG≌△DOG，∴∠BGO=∠DGO=90°，∵AD∥OC，∴∠ADB=∠OGB=90°，∠DAC=∠OCA，∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA，∴∠DAC=∠OAC，∵DE=DF，∴∠DFE=∠DEF，∵∠DFE=∠AFO，∴∠AFO=∠DEF，∴△AFO∽△AED，∴∠AOD=∠ADB=90°，，∵OA=OD=2，∴根据勾股定理可得AD=2，∴=；（3）∵OA=OB，OC∥AD，∴根据三角形中位线可设AD=2x，OG=x，则CG=2-x，BG==，∴BC===CD，∴四边形ABCD的周长=AB+AD+DC+BC=4+2x+2=4+2x+4令=t≥0，即x=2-t2，∴四边形ABCD的周长=4+2x+4=4+2（2-t2）+4t=-2t2+4t+8=-2（t-1）2+10，当t=1时，四边形ABCD的周长取得最大值，最大值为10，此时x=2-t2=1，∴AD=2，∵OC∥AD，∴∠ADF=∠COF，∠DAF=∠OCF，∵AD=OC=2，∴△ADF≌△COF∴DF=OF=OD=1，∵AD=OC=OA=OD，∴△ADO是等边三角形，由（2）可知∠DAF=∠OAF，∠ADE=90°，∴在Rt△ADE中，∠DAE=30°，∴，∴DE=，∴=．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数，平行线的判定与性质，等腰三角形的性质，二次函数的性质，涉及的知识点比较复杂，综合性较强，灵活运用这些知识点是解题关键．31．（2020·山东潍坊?中考真题）某校“综合与实践”小组采用无人机辅助的方法测量一座桥的长度．如图，桥是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥的上方120米的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，求桥的长度．【答案】【解析】【分析】过C地点作交AB于D点，根据桥两端A，B两点的俯角分别为60°和45°，可得，，利用特殊角懂得三角函数求解即可．【详解】解：如图示：过C地点作交AB于D点，则有：，，∴，，∴．【点睛】本题考查了特殊角的三角函数的运算，熟悉特殊角的三角函数值是解题的关键．32．（2020·湖北鄂州?中考真题）如图所示：与的边相切于点C，与、分别交于点D、E，．是的直径．连接，过C作交于G，连接、，与交于点F．（1）求证：直线与相切；（2）求证：；（3）若时，过A作交于M、N两点（M在线段上），求的长．【答案】(1)详见解析;(2)详见解析;(3)10+．【解析】【分析】(1)由两组平行条件推出∠DEO=∠BOE,即可利用SAS证明△BOE≌△BOC,进而推出AB是圆的切线;(2)将DG与OE的交点作为H,根据直角的性质得出AE//DF,可得△AEC∽△DFC,得出,再根据圆周角定理求出∠ECD=∠EDF,再由一组公共角可得△FED∽△DEC,得出,进而推出,即;(3)先根据题意算出EC,再根据勾股定理得出直径CD,从而得出半径,再利用(2)中的比例条件将AC算出来,延长BO到I,连接ON,根据垂径定理可得OI垂直AN,即可利用勾股定理分别求出AI和IN,即可得出AN．【详解】(1)∵DE//OB，∴∠BOC=∠EDC，∵CG//OE，∴∠DEO=∠BOE，又∵∠DEO=∠EDC，∴∠DEO=∠BOE，由题意得：EO=CO，BO=BO，∴△BOE≌△BOC(SAS),∴∠BEO=∠BCO=90°,∴AB是⊙O的切线．(2)如图所示DG与OE交点作为H点,∵EO//GC,∴∠EHD=∠DGC=90°,又由(1)所知∠AEO=90°,∴AE//DF,∴△AEC∽△DFC,∴,由圆周角定理可知∠EDG=∠ECG,∠EOD=2∠ECD,∵DO//GC,∴∠EOD=∠GCD=∠GCE+∠ECD,∴∠ECD=∠GCE=∠EDF,又∵∠FED=∠DEC,∴△FED∽△DEC,∴,∴,即．(3)∵,与∠ACE相等角的tan值都相同．∴ED=6,则EC=12,根据勾股定理可得．∴EO=DO=CO=．由(2)可得,在Rt△AEO中,可得,即,∴,解得AE=,则AC=,AO=．连接ON,延长BO交MN于点I,根据垂径定理可知OI⊥MN,∵AN//CE,∴∠CAN=∠ACE．在Rt△AIO中,可得,即,解得OI=5,则AI=10,在Rt△OIN中,,即,解得IN=．∴AN=AI+IN=10+．【点睛】本题考查圆的综合知识及相似全等,关键在于根据条件结合知识点,特别是辅助线的做法要迎合题目给出的条件．33．（2020·黑龙江中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】,【解析】【分析】括号内先通分进行分式的减法运算，然后进行分式的除法运算，将特殊角的三角函数值代入求出x的值，然后代入化简后的结果进行计算即可．【详解】原式====，当时，原式．【点睛】本题考查了分式的混合运算——化简求值，涉及了分式的减法、乘除法运算，特殊角的三角函数值，二次根式的混合运算等，熟练掌握各运算的运算法则是解题的关键．34．（2020·湖南岳阳?中考真题）计算：【答案】．【解析】【分析】先计算负整数指数幂、特殊角的余弦值、零指数幂、化简绝对值，再计算实数的混合运算即可．【详解】原式．【点睛】本题考查了负整数指数幂、特殊角的余弦值、零指数幂、实数的混合运算等知识点，熟记各运算法则是解题关键．35．（2020·湖南岳阳?中考真题）如图1，在矩形中，，动点，分别从点，点同时以每秒1个单位长度的速度出发，且分别在边上沿，的方向运动，当点运动到点时，两点同时停止运动，设点运动的时间为，连接，过点作，与边相交于点，连接．（1）如图2，当时，延长交边于点．求证：；（2）在（1）的条件下，试探究线段三者之间的等量关系，并加以证明；（3）如图3，当时，延长交边于点，连接，若平分，求的值．【答案】（1）证明见解析；（2），证明见解析；（3）．【解析】【分析】（1）先根据运动速度和时间求出，再根据勾股定理可得，从而可得，然后根据矩形的性质可得，从而可得，，最后根据三角形全等的判定定理与性质即可得证；（2）如图（见解析），连接FQ，先根据（1）三角形全等的性质可得，再根据垂直平分线的判定与性质可得，然后根据勾股定理、等量代换即可得证；（3）先根据角平分线的性质得出，再根据直角三角形全等的判定定理与性质得出，然后根据等腰三角形的三线合一得出，又分别在和中，利用余弦三角函数可求出t的值，从而可得CP、AP的长，最后根据平行线分线段成比例定理即可得．【详解】（1）由题意得：四边形ABCD是矩形，在和中，；（2），证明如下：如图，连接FQ由（1）已证：PQ是线段EF的垂直平分线在中，由勾股定理得：则；（3）如图，设FQ与AC的交点为点O由题意得：，，平分，（角平分线的性质）是等腰三角形在和中，，即是的角平分线（等腰三角形的三线合一）在中，在中，，即解得，即故的值为．【点睛】本题考查了三角形全等的判定定理与性质、矩形的性质、余弦三角函数、平行线分线段成比例定理等知识点，较难的是题（3），熟练利用三角形全等的判定定理与性质、等腰三角形的三线合一是解题关键．36．（2020·湖南怀化?中考真题）计算：【答案】【解析】【分析】按照公式、特殊角的三角函数值、化简二次根式、取绝对值符号进行运算，最后计算加减即可．【详解】解：原式=.故答案为【点睛】本题主要考查实数的运算，解题的关键是掌握零指数幂、负指数幂公式、熟记特殊锐角三角函数值及二次根式与绝对值的性质等．37．（2020·四川广元?中考真题）在中，，OA平分交BC于点O，以O为圆心，OC长为半径作圆交BC于点D．（1）如图1，求证：AB为的切线；（2）如图2，AB与相切于点E，连接CE交OA于点F．①试判断线段OA与CE的关系，并说明理由．②若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）①OA垂直平分CE，理由见解析；②【解析】【分析】（1）过点O作OG⊥AB，垂足为G，利用角平分线的性质定理可得OG=OC，即可证明；（2）①利用切线长定理，证明OE=OC，结合OE=OC，再利用垂直平分线的判定定理可得结论；②根据求出OF和CF，再证明△OCF∽△OAC，求出AC，再证明△BEO∽△BCA，得到，设BO=x，BE=y，可得关于x和y的二元一次方程组，求解可得BO和BE，从而可得结果.【详解】解：（1）如图，过点O作OG⊥AB，垂足为G，∵OA平分交BC于点O，∴OG=OC，∴点G在上，即AB与相切；（2）①OA垂直平分CE，理由是：连接OE，∵AB与相切于点E，AC与相切于点C，∴AE=AC，∵OE=OC，∴OA垂直平分CE；②∵，则FC=2OF，在△OCF中，，解得：OF=，则CF=，由①得：OA⊥CE，则∠OCF+∠COF=90°，又∠OCF+∠ACF=90°，∴∠COF=∠ACF，而∠CFO=∠ACO=90°，∴△OCF∽△OAC，∴，即，解得：AC=6，∵AB与圆O切于点E，∴∠BEO=90°，AC=AE=6，而∠B=∠B，∴△BEO∽△BCA，∴，设BO=x，BE=y，则，可得：，解得：，即BO=5，BE=4，∴tanB==.【点睛】本题考查了圆的综合，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，二元一次方程组的应用，有一定难度，解题要合理选择相似三角形得出结论.38．（2020·湖南株洲?中考真题）如图所示，的顶点E在正方形ABCD对角线AC的延长线上，AE与BF交于点G，连接AF、CF，满足．（1）求证：．（2）若正方形ABCD的边长为1，，求的值．【答案】（1）见解析；（2）【解析】【分析】（1）已知，根据全等三角形的对应角相等可得，再由，可得，即可证得；（2）由，根据全等三角形的对应角相等可得，由对顶角相等可得，即可证得；又因正方形边长为1，，可得，．在Rt△AFC中，即可求得．【详解】（1）证明：∵，∴，∵，∴，∴．（2）∵，∴，∵，∴，∵正方形边长为1，．∴，．∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质、正方形的性质及锐角三角函数的知识，熟练运用相关知识是解决问题的关键．39．（2020·湖南株洲?中考真题）计算：．【答案】2【解析】【分析】先根据负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数进行化简，再进行计算即可．【详解】解：原式．【点睛】本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角三角函数等知识，熟记相关知识是解题关键．40．（2020·山东临沂?中考真题）如图．要想使人安全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角一般要满足，现有一架长的梯子．（1）使用这架梯子最高可以安全攀上多高的墙（结果保留小数点后一位）？（2）当梯子底端距离墙面时，等于多少度（结果保留小数点后一位）？此时人是否能够安全使用这架梯子？（参考数据：，，，，，）【答案】(1)5.3m；（2）56.4°，不能【解析】【分析】（1）若使AC最长，且在安全使用的范围内，则∠ABC的度数最大，即∠ABC=75°；可通过解直角三角形求出此时AC的长．（2）当BC=2.2m时，可在Rt△BAC中，求出∠ABC的余弦值，进而可得出∠ABC的度数，然后判断这个角度是否在安全使用的范围内即可．【详解】解：（1）当∠ABC=75°时，梯子能安全使用且它的顶端最高；在Rt△ABC中，有sin∠ABC=∴AC=AB•sin∠ABC=5.5×sin75°≈5.3；答：安全使用这个梯子时，梯子的顶端距离地面的最大高度AC约为5.3m（2）在Rt△ABC中，有cos∠ABC===0.4由题目给的参考数据，可知∠ABC=56.4°∵56.4°＜60°，不在安全角度内；∴这时人不能安全使用这个梯子，答：人不能够安全使用这个梯子．【点睛】此题考查的是解直角三角形的实际应用，熟练掌握并能灵活运用各锐角三角函数是解答此类题的关键．41．（2020·黑龙江哈尔滨?中考真题）先化简，再求代数式的值，其中【答案】原式，【解析】【分析】先根据分式的运算法则化简，再利用求得x的值，代入计算即可．【详解】解：原式，∵，∴，∴原式．【点睛】本题考查了分式的化简求值，特殊角的三角函数值，二次根式的计算，熟练掌握相关运算法则是解决本题的关键．42．（2020·四川成都?中考真题）如图，在的边上取一点，以为圆心，为半径画⊙O，⊙O与边相切于点，，连接交⊙O于点，连接，并延长交线段于点．

（1）求证：是⊙O的切线；（2）若，，求⊙O的半径；（3）若是的中点，试探究与的数量关系并说明理由．【答案】（1）见解析；（2）；（3），理由见解析【解析】【分析】（1）连接OD，由切线的性质可得∠ADO=90°，由“SSS”可证△ACO≌△ADO，可得∠ADO=∠ACO=90°，可得结论；

（2）由锐角三角函数可设AC=4x，BC=3x，由勾股定理可求BC=6，再由勾股定理可求解；

（3）连接OD，DE，由“SAS”可知△COE≌△DOE，可得∠OCE=∠OED，由三角形内角和定理可得∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，可得∠DEF=∠DFE，可证DE=DF=CE，可得结论．【详解】解：（1）如图，连接OD，

∵⊙O与边AB相切于点D，

∴OD⊥AB，即∠ADO=90°，

∵AO=AO，AC=AD，OC=OD，

∴△ACO≌△ADO（SSS），

∴∠ADO=∠ACO=90°，

又∵OC是半径，

∴AC是⊙O的切线；

（2）在Rt△ABC中，tanB==，

∴设AC=4x，BC=3x，

∵AC2+BC2=AB2，

∴16x2+9x2=100，

∴x=2，

∴BC=6，

∵AC=AD=8，AB=10，

∴BD=2，

∵OB2=OD2+BD2，

∴（6-OC）2=OC2+4，

∴OC=，

故⊙O的半径为；

（3）连接OD，DE，

由（1）可知：△ACO≌△ADO，

∴∠ACO=∠ADO=90°，∠AOC=∠AOD，

又∵CO=DO，OE=OE，

∴△COE≌△DOE（SAS），

∴∠OCE=∠ODE，

∵OC=OE=OD，

∴∠OCE=∠OEC=∠OED=∠ODE，

∴∠DEF=180°-∠OEC-∠OED=180°-2∠OCE，

∵点F是AB中点，∠ACB=90°，

∴CF=BF=AF，

∴∠FCB=∠FBC，

∴∠DFE=180°-∠BCF-∠CBF=180°-2∠OCE，

∴∠DEF=∠DFE，

∴DE=DF=CE，

∴AF=BF=DF+BD=CE+BD．【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理，锐角三角函数等知识，灵活运用这些性质进行推理是本题的关键．43．（2020·四川成都?中考真题）（1）计算：．（2）解不等式组：【答案】（1）3；（2）【解析】【分析】（1）根据特殊角的三角函数值、负整数指数幂性质、绝对值的性质及二次根式的化简分别求出各数的值，由此进一步计算即可；（2）首先将原不等式组中各个不等式的解集求出来，然后进一步分析得出答案即可.【详解】（1）原式===；（2）解不等式可得：，解不等式可得：，∴原不等式组的解集为．【点睛】本题主要考查了含有特殊角的三角函数值的实数的混合运算以及解不等式组，熟练掌握相关概念及方法是解题关键.44．（2020·四川南充?中考真题）已知二次函数图象过点A（-2，0），B（4，0），C（0，4）（1）求二次函数的解析式；（2）如图，当点P为AC的中点时，在线段PB上是否存在点M，使得∠BMC=90°？若存在，求出点M的坐标，若不存在，请说明理由．（3）点K在抛物线上，点D为AB的中点，直线KD与直线BC的夹角为锐角，且tan=，求点K的坐标．【答案】（1）；（2）线段上存在，使得，理由详见解析；（3）抛物线上符合条件的点坐标为：或或或．【解析】【分析】（1）设二次函数的解析式为，将点C坐标代入可求解；（2）利用中点坐标公式可求P（﹣1，2），点Q（2，2），由勾股定理可求BC的长，由待定系数法可求PB解析式，设点M，由两点距离公式可得，可求或，即可求解；（3）过点D作DE⊥BC于点E，设直线DK与BC交于点N，先求出，，由锐角三角函数可求，分DK与射线EC交于点和DK与射线EB交于两种情况讨论，求出直线DK解析式，联立方程组可求点K坐标．【详解】解：（1）二次函数的图象过点设二次函数解析式为又二次函数的图象过点，∴，即故二次函数解析式为（2）线段上存在，使得，理由如下：设中点为，由题意，易知的坐标为，若，则∵，∴≈的中点为设所在的直线为，则，得所在的直线为在线段上，设的坐标为，其中如图1，分别过，作轴与轴的垂线，，设，相交于点，∴∵∴整理得，解得或当时，，重合，不合题意（舍去）∴，则的坐标为故线段上存在，使得（3）如图2，过点作于点，设直线与交于点∵∴∵∴直线在中①若与射线交于点∴∴∴∴直线∴解得或②若与射线交于点∴∴∴∴直线，解得或综上所述，抛物线上符合条件的点坐标为：或或或．【点睛】本题是二次函数综合题，考查了二次函数的性质，一次函数的性质，待定系数法求解析式，等腰直角三角形的性质，锐角三角函数，中点坐标公式，两点距离公式等知识，利用分类讨论思想解决问题是本题的关键．45．（2020·四川甘孜?中考真题）如图，中，，将绕点C顺时针旋转得到，点D落在线段AB上，连接BE．（1）求证：DC平分；（2）试判断BE与AB的位置关系，并说明理由：（3）若，求的值．【答案】（1）见解析；（2）BE⊥AB，理由见解析；（3）．【解析】【分析】（1）根据旋转的性质可得AC=CD，∠A=∠CDE，再由等腰三角形的性质得到∠A=∠ADC即可证明∠ADC=∠CDE；（2）根据旋转的性质得到∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，从而得出∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，再根据∠ACB=90°即可得到∠ABE=90°；（3）设BD=BE=a，根据勾股定理计算出AB=DE=，表达出AD，再证明△ACD∽△BCE，得到即可．【详解】解：（1）由旋转可知：AC=CD，∠A=∠CDE，∴∠A=∠ADC，∴∠ADC=∠CDE，即DC平分∠ADE；（2）BE⊥AB，理由：由旋转可知，∠ACD=∠BCE，CB=CE，AC=CD，∴∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，又∵∠ACB=90°，∴∠CAD+∠ABC=90°，∴∠CBE+∠ABC=90°，即∠ABE=90°，∴BE⊥AB；（3）∵∠ABE=90°，BD=BE，∴设BD=BE=a，则，又∵AB=DE，∴AB=，则AD=，由（2）可知，∠ACD=∠BCE，∠CAD=∠ADC=∠CBE=∠CEB，∴△ACD∽△BCE，∴，∴tan∠ABC=．【点睛】本题考查了旋转的综合应用以及相似三角形的性质与判定、锐角三角函数的定义，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，并熟记锐角三角函数的定义．46．（2020·四川甘孜?中考真题）（1）计算：．（2）解不等式组：【答案】（1）1；（2）-3＜x≤5．【解析】【分析】（1）原式根据二次根式的性质、特殊角三角函数值以及零指数幂的运算法则分别化简各项，然后再合并；（2）分别求出不等式组中每个不等式的解集，然后再取它们的公共部分即可得到不等式组的解集．【详解】（1）计算：=，=，=1；（2）解不等式①得，x＞-3，解不等式②得，x≤5，所以，不等式组的解集为：-3＜x≤5．【点睛】本题主要考查了实数的混合运算以及求不等式组的解集，解答此题的关键是熟练掌握运算法则，确定不等式组的解集就熟练掌握口诀“大大取大，小小取小，大小小大中间找，小小大大找不了（无解）”．47．（2020·黑龙江绥化?中考真题）如图1，抛物线与抛物线相交y轴于点C，抛物线与x轴交于A、B两点（点B在点A的右侧），直线交x轴负半轴于点N，交y轴于点M，且．（1）求抛物线的解析式与k的值；（2）抛物线的对称轴交x轴于点D，连接，在x轴上方的对称轴上找一点E，使以点A，D，E为顶点的三角形与相似，求出的长；（3）如图2，过抛物线上的动点G作轴于点H，交直线于点Q，若点是点Q关于直线的对称点，是否存在点G（不与点C重合），使点落在y轴上？若存在，请直接写出点G的横坐标，若不存在，请说明理由．【答案】（1），k的值为；（2）的长为或10；（3）存在，点G的横坐标为或或或．【解析】【分析】（1）根据抛物线可求得点C的坐标，代入即可求得t的值，由，求得点N的坐标，进而求得k的值；（2）因为∠AOC=∠EDA=90°已确定，所以分两种情况讨论△BDA与△AOC相似，通过对应边的比相等可求出DE的长；（3）先根据题意画出图形，通过轴对称的性质等证明四边形QMQ'G为菱形，分别用字母表示出Q，G的坐标，分两种情况讨论求出GQ'的长度，利用三角函数可求出点G的横坐标．【详解】（1）当时，，∴点C的坐标为(0，4)，∵点C(0，4)在抛物线的图象上，∴，∴，∴抛物线的解析式为，∵C(0，4)，，∴，∴点N的坐标为(，0)，∵直线过N(，0)，∴,解得,∴抛物线的解析式为，k的值为；（2）连接，令，则,解得，∴点A的坐标为(，0)，点B的坐标为(4，0)，∴抛物线的对称轴为直线．∴点A的坐标为(，0)，∵C(0，4)，∴，，，①当时，，∴，∴；②当时，，∴，∴，综上，的长为或10；（3）如图，点是点Q关于直线的对称点，且点在y轴上时，由轴对称性质可知，，，，∵轴，∴轴．∴，∴，∴，∴，∴四边形为菱形，∴，作轴于点P，设，则，∴，，∵，∴，令，则，令，则，∴直线与坐标轴的交点分别为M(0，3)，N(，0)，∴OM=3，ON=4，在中，，∴，∴，解得，，，，经检验，，，都是所列方程的解，综上，点G的横坐标为或或或．【点睛】本题是二次函数与几何的综合题，考查了用待定系数法求解析式，三角形相似的判定和性质，轴对称的性质及三角函数等，解题关键是能够根据题意画出图形及灵活运用分类讨论的思想解题．48．（2020·四川达州?中考真题）（1）（阅读与证明）如图1，在正的外角内引射线，作点C关于的对称点E（点E在内），连接，、分别交于点F、G．①完成证明：点E是点C关于的对称点，，，．正中，，，，得．在中，，______．在中，，______．②求证：．（2）（类比与探究）把（1）中的“正”改为“正方形”，其余条件不变，如图2．类比探究，可得：①______；②线段、、之间存在数量关系___________．（3）（归纳与拓展）如图3，点A在射线上，，，在内引射线，作点C关于的对称点E（点E在内），连接，、分别交于点F、G．则线段、、之间的数量关系为__________．【答案】（1）①60°，30°；②证明见解析；（2）①45°；②BF=(AF+FG)；（3）．【解析】【分析】（1）①根据等量代换和直角三角形的性质即可确定答案；②在FB上取AN=AF，连接AN．先证明△AFN是等边三角形，得到∠BAN=∠2=∠1，然后再证明△ABN≌△AEF，然后利用全等三角形的性质以及线段的和差即可证明；（2）类比（1）的方法即可作答；（3）根据（1）（2）的结论，即可总结出答案．【详解】解：（1）①∵，，∴，即60°；∵∴故答案为60°，30°；②在FB上取FN=AF，连接AN∵∠AFN=∠EFG=60°∴△AFN是等边三角形∴AF=FN=AN∵FN=AF∴∠BAC=∠NAF=60°∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2∴∠BAN=∠2∵点C关于的对称点E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=30°∴EF=2FG∴BN=EF=2FG∵BF=BN+NF∴BF=2FG+AF（2）①点E是点C关于的对称点，，，．正方形ABCD中，，，，得．在中，，45．在中，，45．故答案为45°；②在FB上取FN=AF，连接AN∵∠AFN=∠EFG=45°∴△AFN是等腰直角三角形∴∠NAF=90°，AF=AN∴∠BAN+∠NAC=∠NAC+∠2=90°,FN=AF∴∠BAN=∠2∵点C关于的对称点E∴∠2=∠1,AC=AE∴∠BAN=∠2=∠1∵AB=AC∴AB=AE在△ABN和△AEFFN=AF,∠BAN=∠1,AB=AE∴△ABN≌△AEF∴BN=EF∵AG⊥CE，∠FEG=45°∴EF=FG∴BN=EF=FG∵BF=BN+NF∴BF=FG+AF（3）由（1）得：当∠BAC=60°时BF=AF+2FG=；由（2）得：当∠BAC=90°时BF=AF+2FG=；以此类推，当当∠BAC=60°时，．【点睛】本题考查了轴对称的性质、全等三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质以及三角函数的应用，灵活应用所学知识是解答本题的关键．49．（2020·江苏连云港?中考真题）筒车是我国古代利用水力驱动的灌溉工具，唐代陈廷章在《水轮赋》中写道：“水能利物，轮乃曲成”．如图，半径为的筒车按逆时针方向每分钟转圈，筒车与水面分别交于点、，筒车的轴心距离水面的高度长为，简车上均匀分布着若干个盛水筒．若以某个盛水筒刚浮出水面时开始计算时间．（1）经过多长时间，盛水筒首次到达最高点？（2）浮出水面3.4秒后，盛水筒距离水面多高？（3）若接水槽所在直线是的切线，且与直线交于点，．求盛水筒从最高点开始，至少经过多长时间恰好在直线上．（参考数据：，，）【答案】（1）27.4秒；（2）0.7m；（3）7.6秒【解析】【分析】（1）先根据筒车筒车每分钟旋转的速度计算出筒车每秒旋转的速度，再利用三角函数确定，最后再计算出所求时间即可；（2）先根据时间和速度计算出，进而得出，最后利用三角函数计算出，从而得到盛水筒距离水面的高度；（3）先确定当在直线上时，此时是切点，再利用三角函数得到，，从而计算出，最后再计算出时间即可．【详解】（1）如图1，由题意得，筒车每秒旋转．连接，在中，，所以．所以（秒）．答：盛水筒首次到达最高点所需时间为27.4秒．（2）如图2，盛水筒浮出水面3.4秒后，此时．所以．过点作，垂足为，在中，．．答：此时盛水筒距离水面的高度．（3）如图3，因为点在上，且与相切，所以当在直线上时，此时是切点．连接，所以．在中，，所以．在中，，所以．所以．所以需要的时间为（秒）．答：从最高点开始运动，7.6秒后盛水筒恰好在直线上．【点睛】本题考查了切线的性质、锐角三角函数、旋转等知识，灵活运用题目所给数量关系以及特殊角的三角函数值是解题的关键．50．（2020·山东德州?中考真题）问题探究：小红遇到这样一个问题：如图1，中，，，AD是中线，求AD的取值范围．她的做法是：延长AD到E，使，连接BE，证明，经过推理和计算使问题得到解决．请回答：（1）小红证明的判定定理是：__________________________________________；（2）AD的取值范围是________________________；方法运用：（3）如图2，AD是的中线，在AD上取一点F，连结BF并延长交AC于点E，使，求证：．（4）如图3，在矩形ABCD中，，在BD上取一点F，以BF为斜边作，且，点G是DF的中点，连接EG，CG，求证：．【答案】（1）；（2）；（3）见解析；（4）见解析【解析】【分析】（1）利用三角形的中线与辅助线条件，直接证明，从而可得证明全等的依据；（2）利用全等三角形的性质得到求解的范围，从而可得答案；（3）延长至点，使，证明，利用全等三角形的性质与，证明，得到，从而可得答案；（4）延长至点使，连接、、，证明，得到，利用锐角三角函数证明，再证明，利用相似三角形的性质可得是直角三角形，从而可得答案．【详解】解：（1）如图，AD是中线，在与中，故答案为：（2）故答案为：（3）证明：延长至点，使，∵是的中线∴在和中∴，∴，又∵，∵，∴，又∵，∴∴，又∵∴（4）证明：延长至点使，连接、、∵G为的中点∴在和中∴∴在中，∵，∴又矩形中，∴，∴，∴，又，∴，∴，又为的外角，∴，即，∵，∴，∴，即，在和中，∴，又，∴，∴，∵，∴，∴是直角三角形，∵G为的中点，∴，即．【点睛】本题考查的是倍长中线法证明三角形全等，同时考查全等三角形的性质，等腰三角形的判定与性质，直角三角形的性质，矩形的性质，三角形相似的判定与性质，锐角三角函数的应用，掌握以上知识是解题的关键．51．（2020·四川遂宁?中考真题）计算：﹣2sin30°﹣|1﹣|+（）﹣2﹣（π﹣2020）0．【答案】+3【解析】【分析】先化简二次根式、代入三角函数值、去绝对值符号、计算负整数指数幂和零指数幂，再计算乘法，最后计算加减可得．【详解】﹣2sin30°﹣|1﹣|+()﹣2﹣(π﹣2020)0=2﹣2×﹣(﹣1)+4﹣1=2﹣1﹣+1+4﹣1=+3．【点睛】本题考查了实数的运算，解决此类题目的关键是熟练掌握负整数指数幂、零指数幂、二次根式、绝对值等考点的运算以及熟记特殊角的三角函数值．52．（2020·山东枣庄?中考真题）在中，，CD是中线，，一个以点D为顶点的45°角绕点D旋转，使角的两边分别与AC、BC的延长线相交，交点分别为点E、F，DF与AE交于点M，DE与BC交于点N．（1）如图1，若，求证：；（2）如图2，在绕点D旋转的过程中，试证明恒成立；（3）若，，求DN的长．【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到∠BCD＝∠ACD＝45°，∠BCE＝∠ACF＝90°，于是得到∠DCE＝∠DCF＝135°，根据全等三角形的性质即可的结论；

（2）证得△CDF∽△CED，根据相似三角形的性质得到，即CD2＝CE•CF；（3）如图，过D作DG⊥BC于G，于是得到∠DGN＝∠ECN＝90°，CG＝DG，当CD＝2，时，求得，再推出△CEN∽△GDN，根据相似三角形的性质得到，求出GN，再根据勾股定理即可得到结论．【详解】（1）证明：∵，，CD是中线，∴，，∴．在与中，，∴．∴；（2）证明：∵，∴∵，∴．∴．∴，即．（3）如图，过D作于点G，则，．当，时，由，得．在中，．∵，，∴．∴，∴．∴．【点睛】本题考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，正确的作出辅助线是解题的关键．53．（2020·浙江金华?中考真题）如图，在△ABC中，AB=，∠B=45°，∠C=60°．（1）求BC边上的高线长．（2）点E为线段AB的中点，点F在边AC上，连结EF，沿EF将△AEF折叠得到△PEF．①如图2，当点P落在BC上时，求∠AEP的度数．②如图3，连结AP，当PF⊥AC时，求AP的长．【答案】（1）4;（2）①90°；②【解析】【分析】（1）如图1中，过点A作AD⊥BC于D．解直角三角形求出AD即可．

（2）①证明BE=EP，可得∠EPB=∠B=45°解决问题．

②如图3中，由（1）可知：AC=，证明△AEF∽△ACB，推出，由此求出AF即可解决问题．【详解】解：（1）如图1，过点A作AD⊥BC于点D，在Rt△ABD中，==4.（2）①如图2，∵△AEF≌△PEF，∴AE＝EP.又∵AE＝BE，∴BE＝EP，∴∠EPB＝∠B＝45°，∴∠AEP＝90°.②如图3，由（1）可知：在Rt△ADC中，.∵PF⊥AC，∴∠PFA＝90°.∵△AEF≌△PEF，∴∠AFE＝∠PFE＝45°，则∠AFE＝∠B.又∵∠EAF＝∠CAB，∴△EAF∽△CAB，∴＝，即＝，∴AF＝,在Rt△AFP中，AF＝PF，则AP＝＝.【点睛】本题属于三角形综合题，考查了解直角三角形的应用，翻折变换，全等三角形的性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找相似三角形解决问题，属于中考常考题型．54．（2020·湖南张家界?中考真题）计算：．【答案】【解析】【分析】根据绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂进行运算即可．【详解】【点睛】本题考查了绝对值的性质，特殊角的三角函数值，零次幂，负整数指数幂，熟知以上运算是解题的关键．55．（2020·浙江金华?中考真题）计算：【答案】5【解析】【分析】利用零次幂的性质、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质进行计算，再算加减即可．【详解】解：原式．【点睛】此题主要考查了实数运算，关键是掌握零次幂、二次根式的性质、特殊角的三角函数值、绝对值的性质．56．（2020·四川乐山?中考真题）计算：．【答案】2【解析】【分析】根据绝对值，特殊三角函数值，零指数幂对原式进行化简计算即可．【详解】解：原式==．【点睛】本题考查了绝对值，特殊三角函数值，零指数幂，掌握运算法则是解题关键．57．（2020·四川泸州?中考真题）计算：．【答案】8【解析】【分析】根据绝对值的化简、零指数幂、特殊角的三角函数值以及负整数指数幂的计算方法运算.【详解】解：原式=5-1++3=5-1+1+3=8【点睛】本题主要考查了实数的运算．用到零指数幂、负整数指数幂以及特殊角的三角函数值的计算方法．这些是基础知识要熟练掌握．58．（2020·山东临沂?中考真题）计算：．【答案】【解析】【分析】利用二次根式的性质，二次根式的乘法，特殊角的正弦值分别化简各项，再作加减法即可.【详解】解：===【点睛】本题考查了二次根式的性质，二次根式的乘法，特殊角的正弦值，解题的关键是掌握运算法则.59．（2020·四川广元?中考真题）计算：

【答案】-2【解析】【分析】直接利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、零指数幂的性质、负整数指数幂的性质分别代入化简即可．【详解】解：原式＝=-2【点睛】此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．60．（2020·山东菏泽?中考真题）计算：．【答案】【解析】【分析】根据负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，积的乘方公式的逆向应用进行计算即可．【详解】．【点睛】本题考查了负整数指数幂，绝对值，特殊角的三角函数值，积的乘方公式的逆向应用，熟知以上运算是解题的关键．61．（2020·黑龙江牡丹江?中考真题）先化简，再求值：，其中．【答案】，-1【解析】【分析】先将分式化简，再将x的值代入求解.【详解】解：====∵=-1，代入，原式=-1【点睛】本题考查了分式的化简求值和特殊角的三角函数值，解题的关键是掌握运算法则.62．（2020·湖南湘西?中考真题）计算：．【答案】3【解析】【分析】根据特殊角的三角函数值，零指数幂运算及去绝对值法则进行计算即可．【详解】解：＝2×+1+2－=+1+2－=3．【点睛】本题考查零次幂的性质、特殊角的三角函数值，绝对值性质实数的运算，熟练掌握计算法则是正确计算的前提．63．（2020·北京中考真题）计算：【答案】5【解析】【分析】分别计算负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，再合并即可得到答案．【详解】解：原式=【点睛】本题考查的是负整数指数幂，算术平方根，绝对值，锐角三角函数，以及合并同类二次根式，掌握以上的知识是解题的关键．64．（2020·贵州黔西?中考真题）（1）计算：(－2)2－||－2cos45°＋(2020－π)0；（2）先化简，再求值：()÷，其中a＝－1．【答案】（1）5－；（2），【解析】【分析】（1）直接利用零指数幂的性质以及特殊角的三角函数值、绝对值的性质分别化简得出答案；

（2）直接将括号里面通分运算进而利用分式的混合运算法则计算得出答案．【详解】解：（1）原式＝4－－2×＋1＝＝4－－＋1＝5－．（2）解：原式＝[]÷＝·＝·＝．当a＝－1时，原式＝＝＝【点睛】此题主要考查了实数运算以及分式的混合运算，正确掌握相关运算法则是解题关键．65．（2020·贵州铜仁?中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，连接AC，CE⊥AB于点E，D是直径AB延长线上一点，且∠BCE＝∠BCD．（1）求证：CD是⊙O的切线；（2）若AD＝8，＝，求CD的长．【答案】（1）见解析；（2）4【解析】【分析】（1）连接OC，根据圆周角定理得到∠ACB＝90°，根据余角的性质得到∠A＝∠ECB，求得∠A＝∠BCD，根据等腰三角形的性质得到∠A＝∠A