题型08 与圆有关的证明与计算题【有答案】

备战2020年中考数学十大题型专练卷题型08与圆有关的证明与计算题一、单选题1．如图，是的弦，交于点，点是上一点，，则的度数为（）．A．30° B．40° C．50° D．60°【答案】D【分析】由垂径定理、等腰三角形的性质和平行线的性质证出∠OAC=∠OCA=∠AOC，得出△OAC是等腰三角形，得出∠BOC=∠AOC=60°即可．【详解】解：如图，∵，∴．∵是的弦，交于点，∴．∴．故选：D．【点睛】本题考查垂径定理，解题关键证明.2．如图，为的切线，切点为，连接，与交于点，延长与交于点，连接，若，则的度数为()A． B． C． D．【答案】D【分析】由切线性质得到，再由等腰三角形性质得到，然后用三角形外角性质得出【详解】切线性质得到故选D【点睛】本题主要考查圆的切线性质、三角形的外角性质等，掌握基础定义是解题关键3．如图，是的内接三角形，，过点的圆的切线交于点，则的度数为（）A．32° B．31° C．29° D．61°【答案】A【分析】根据题意连接OC，为直角三角形，再根据BC的优弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，可计算的的度，再根据直角三角形可得的度数.【详解】根据题意连接OC.因为所以可得BC所对的大圆心角为因为BD为直径，所以可得由于为直角三角形所以可得故选A.【点睛】本题主要考查圆心角的计算，关键在于圆心角等于同弧所对圆周角的2倍.4．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧，点是这段弧所在圆的圆心，，点是的中点，且，则这段弯路所在圆的半径为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据题意，可以推出AD＝BD＝20，若设半径为r，则OD＝r﹣10，OB＝r，结合勾股定理可推出半径r的值．【详解】解：，，在中，，设半径为得：，解得：，这段弯路的半径为故选：A．【点睛】本题主要考查垂径定理的应用、勾股定理的应用，关键在于设出半径为r后，用r表示出OD、OB的长度．5．如图，点为扇形的半径上一点，将沿折叠，点恰好落在上的点处，且（表示的长），若将此扇形围成一个圆锥，则圆锥的底面半径与母线长的比为（）A． B． C． D．【答案】D【分析】连接OD，求出∠AOB，利用弧长公式和圆的周长公式求解即可.【详解】解：连接交AC于．由折叠的知识可得：，，，，且，设圆锥的底面半径为，母线长为，，．故选：．【点睛】本题考查的是扇形，熟练掌握圆锥的弧长公式和圆的周长公式是解题的关键.6．如图，边长为的等边的内切圆的半径为()A．1 B． C．2 D．【答案】A【分析】连接AO、CO，CO的延长线交AB于H，如图，利用内心的性质得CH平分∠BCA，AO平分∠BAC，再根据等边三角形的性质得∠CAB=60°，CH⊥AB，则∠OAH=30°，AH=BH=AB=3，然后利用正切的定义计算出OH即可．【详解】设的内心为O，连接AO、BO，CO的延长线交AB于H，如图，∵为等边三角形，∴CH平分，AO平分，∵为等边三角形，∴，，∴，，在中，∵，∴，即内切圆的半径为1．故选A．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心：三角形的内心到三角形三边的距离相等；三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角．也考查了等边三角形的性质．7．如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，以AB的中点为圆心，OA的长为半径作半圆交AC于点D，则图中阴影部分的面积为()A． B． C． D．【答案】A【分析】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，利用∠A的正切值求出∠A=30°，继而可求得OH、AH长，根据圆周角定理可求得∠BOC=60°，然后根据S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD进行计算即可.【详解】连接OD，过点O作OH⊥AC，垂足为H，则有AD=2AH，∠AHO=90°，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，AB=，BC=2，tan∠A=，∴∠A=30°，∴OH=OA=，AH=AO•cos∠A=，∠BOC=2∠A=60°，∴AD=2AH=，∴S阴影=S△ABC-S△AOD-S扇形BOD==，故选A.【点睛】本题考查了垂径定理，圆周角定理，扇形面积，解直角三角形等知识，正确添加辅助线，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.8．如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB＝5，BC＝13，CA＝12，则阴影部分(即四边形AEOF)的面积是()A．4 B．6.25 C．7.5 D．9【答案】A【分析】先利用勾股定理判断△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，继而证明四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，利用面积法求出r的值即可求得答案.【详解】∵AB=5，BC=13，CA=12，∴AB2+AC2=BC2，∴△ABC为直角三角形，且∠BAC=90°，∵⊙O为△ABC内切圆，∴∠AFO=∠AEO=90°，且AE=AF，∴四边形AEOF为正方形，设⊙O的半径为r，∴OE=OF=r，∴S四边形AEOF=r²，连接AO，BO，CO，∴S△ABC=S△AOB+S△AOC+S△BOC，∴，∴r=2，∴S四边形AEOF=r²=4，故选A.【点睛】本题考查了三角形的内切圆，勾股定理的逆定理，正方形判定与性质，面积法等，正确把握相关知识是解题的关键.9．如图，是的直径，，是上的两点，且平分，分别与，相交于点，，则下列结论不一定成立的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】由圆周角定理和角平分线得出，，由等腰三角形的性质得出，得出，证出，选项A成立；由平行线的性质得出，选项B成立；由垂径定理得出，选项D成立；和中，没有相等的边，与不全等，选项C不成立，即可得出答案．【详解】∵是的直径，平分，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，选项A成立；∴，选项B成立；∴，选项D成立；∵和中，没有相等的边，∴与不全等，选项C不成立，故选C．【点睛】本题考查了圆周角定理，垂径定理，等腰三角形的性质，平行线的性质，角平分线的性质，解本题的关键是熟练掌圆周角定理和垂径定理．10．如图，在中，以BC为直径的半圆O交斜边AB于点D，则图中阴影部分的面积为（）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据三角形的内角和得到，根据圆周角定理得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论．【详解】解：∵在中，，，，，BC为半圆O的直径，，，，图中阴影部分的面积故选：A．【点睛】本题考查扇形面积公式、直角三角形的性质、解题的关键是学会分割法求面积。二、填空题11．如图，的两条相交弦、，，，则的面积是_______．【答案】．【分析】由，而，所以，得到为等边三角形，又，从而求得半径，即可得到的面积．【详解】解：∵，而，∴，∴为等边三角形，∵，∴圆的半径为2，∴的面积是，故答案为．【点睛】本题考查了圆周角定理，解题的关键是能够求得圆的半径，难度不大．12．如图,边长为2的正方形ABCD中心与半径为2的⊙O的圆心重合,E、F分别是AD、BA的延长与⊙O的交点,则图中阴影部分的面积是______.(结果保留)【答案】－1【分析】延长DC，CB交⊙O于M，N，根据圆和正方形的面积公式即可得到结论．【详解】解：延长DC，CB交⊙O于M，N，则图中阴影部分的面积＝×（S圆O−S正方形ABCD）＝×（4π−4）＝π−1，故答案为：π−1．【点睛】本题考查了圆中阴影部分面积的计算，正方形的性质，正确的识别图形是解题的关键．13．如图，为的直径，弦，垂足为，，，，则弦的长度为______．【答案】【分析】连接、，交于，如图，利用垂径定理得到，设的半径为，则，，根据勾股定理得到，解得，再利用垂径定理得到，，则，，然后解方程组求出，从而得到的长．【详解】连接、，交于，如图，∵，，设⊙的半径为，则，，在中，，解得，∵，，，在中，，①在中，，②解由①②组成的方程组得到，．故答案为．【点睛】本题考查了圆周角、弧、弦的关系：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量都分别相等．也考查了垂径定理．14．如图，分别以等边三角形的每个顶点以圆心、以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形称为勒洛三角形.若等边三角形的边长为，则勒洛三角形的周长为__________．【答案】【分析】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，计算弧长即可.【详解】勒洛三角形的周长为3段相等的弧，每段弧的长度为：则勒洛三角形的周长为：故答案为：【点晴】考查弧长公式，熟记弧长公式是解题的关键.15．如图，在平面直角坐标系中，已知经过原点，与轴、轴分别交于、两点，点坐标为，与交于点，，则圆中阴影部分的面积为_____．【答案】【分析】由圆周角定理可得，在Rt△AOB中，利用解直角三角形求出OA、AB的长，然后根据S阴=S半-S△ABO求解即可.【详解】连接，∵，∴是直径，根据同弧对的圆周角相等得，∵，∴，，即圆的半径为2，∴．故答案为：．【点睛】本题考查了：①同弧对的圆周角相等；②90°的圆周角对的弦是直径；③锐角三角函数的概念；④圆、直角三角形的面积分式．熟练掌握圆周角定理是解答本题的关键.16．如图，是圆的弦，，垂足为点，将劣弧沿弦折叠交于的中点，若，则圆的半径为_____．【答案】．【分析】连接OA，设半径为x，用x表示OC，根据勾股定理建立x的方程，便可求得结果．【详解】解：连接OA，设半径为x，

将劣弧沿弦AB折叠交于OC的中点D，

，，

，

，

，

解得，．

故答案为．【点睛】本题主要考查了圆的基本性质，垂径定理，勾股定理，关键是根据勾股定理列出半径的方程．17．如图，扇形中，.为弧上的一点，过点作，垂足为，与交于点，若，则该扇形的半径长为___________【答案】5【分析】连接OP，设半径为r，在直角三角形OCP中利用勾股定理将CO用r表示，得到AC，又有△ACD∽△AOB，利用，解出r即可【详解】连接OP，设半径为r，则OP=OA=OB=r，PC=PD+CD=3,在直角三角形OCP中，，即得OC2=r2-9，得到OC=得到AC=，又易知△ACD∽△AOB，所以，即，得到，解出r=5；故填5【点睛】本题主要考查勾股定理及相似三角形的证明与性质，本题关键在于能够连OP，表示出AC18．如图，在圆心角为90°的扇形中，，为上任意一点，过点作于点，设为的内心，当点从点运动到点时，则内心所经过的路径长为_____．【答案】【分析】以为斜边在的右边作等腰，以为圆心为半径作⊙，在优弧上取一点H，连接，，，．求出，证，得，由，证四点共圆，故点的运动轨迹是，由弧长公式可得.【详解】如图，以为斜边在的左边作等腰，以为圆心为半径作⊙，在优弧上取一点H，连接，，，．∵，∴，∵点是内心，∴，∵，，，∴，∴，∵，∴，∴四点共圆，∴点的运动轨迹是，∴内心所经过的路径长，故答案为．【点睛】本题考查了弧长的计算公式：l=，其中l表示弧长，n表示弧所对的圆心角的度数．同时考查了三角形内心的性质、三角形全等的判定与性质、圆周角定理和圆的内接四边形的性质．19．如图，，，以点为圆心，为半径作弧交于点，点，交于点，若，则阴影部分的面积为_____.【答案】【分析】根据题意连接OC，可得阴影部分的面积等于两个阴影部分面积之和，再根据弧AC所对的阴影部分面积等于弧AC所对圆心角的面积减去的面积，而不规则图形BCD的面积等于的面积减去弧DC所对圆心角的面积.进而可得阴影部分的面积.【详解】解：根据题意连接OC为等边三角形阴影部分面积1=阴影部分面积2=阴影部分面积=阴影部分面积1+阴影部分面积2=故答案为。【点睛】本题只要考查圆弧的面积计算，关键在于阴影部分面积的分割.20．如图，在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．若，则阴影部分的面积为_____．【答案】【分析】根据题意，作出合适的辅助线，然后根据图形可知阴影部分的面积是的面积与扇形OBC的面积之和再减去的面积，本题得以解决．【详解】解：作于点F，在扇形AOB中，，半径OC交弦AB于点D，且．，，，，，，，，，，阴影部分的面积是：，故答案为：．【点睛】本题考查扇形面积的计算，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．三、解答题21．如图，内接于，直径交于点E，延长至点F，使，连接并延长交过点A的切线于点G，且满足，连接，若，．（1）求证：；（2）求的半径；（3）求证：是的切线．【答案】（1）见解析；（2）的半径为；（3）见解析.【分析】（1）根据平行线的性质和圆周角定理，结合题意进行计算，即可得到答案；（2）根据三角函数性质，得到，从而得出答案；（3）根据相似三角形的性质进行计算，即可得到答案.【详解】解：（1）∵是的切线，是的直径，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴；（2）∵，∴，∴设，，∵，∴，∵，∴，∴，∴（负值舍去），∴，∴的半径为；（3）∵，∴，∴，∵，∴，∴，∴是的切线．【点睛】本题考查平行线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握平行线的性质、圆周角定理、三角函数、相似三角形的性质.22．如图,内接于，.将斜边绕点顺时针旋转一定角度得到，过点作于点，连接交于点.（1）求证：是的切线;（2）连接交于点，连接求证：.【答案】（1）证明见解析（2）证明见解析【分析】（1）因为直角三角形的外心为斜边中点，所以点O在AB上，AB为⊙O直径，故只需证AD⊥AB即可．由∠ABC+∠BAC=90°和∠DAE=∠ABC可证得∠DAE+∠BAC=90°，而E、A、C在同一直线上，用180°减去90°即为∠BAD=90°，得证．（2）由（1）利用勾股定理得出，公积金图形得出，可知，即可得到，再根据相似三角形的性质得到，又因为，即可解答【详解】（1）证明：且为的半径为的切线（2）证明：由①知由模型可知，【点睛】此题考查三角形相似，圆切线证明，解题关键在于证明AD⊥AB23．如图1，有一个残缺的圆，请做出残缺圆的圆心（保留作图痕迹，不写做法）如图2，设是该残缺圆的直径，是圆上一点，的角平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点．（1）求证：；（2）若，，求残缺圆的半圆面积．【答案】图1做图题作法：详见解析；图2解答过程：（1）详见解析；（2）5π【分析】作弦，，再作两弦的垂直平分线，两垂直平分线的交点O即为圆心．（1）连接交于，由切线的性质可得，然后证明∥即可；（2）首先证明四边形是矩形，然后求出BC，再利用勾股定理求出AB即可解决问题．【详解】解：图1做图题作法：①在残缺的圆上取两条不平行的弦和；②以点为圆心大于一半长为半径在两侧作圆弧；③以点为圆心，同样长的半径在两侧作圆弧与②中的圆弧交于，两点；④作直线即为线段的垂直平分线；⑤以同样的方法做线段的垂直平分线与直线交于点即为该残缺圆的圆心.图2解答过程：（1）证明：连接交于∵为的切线∴∵平分∴∵∴∴∥∴（2）解：∵是的直径∴∵∥∴∴，四边形为矩形∴∴∵∴∴∴【点睛】本题考查作图−复杂作图，切线的性质，垂径定理，矩形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，属于中考常考题型．24．如图1，已知⊙O外一点P向⊙O作切线PA，点A为切点，连接PO并延长交⊙O于点B，连接AO并延长交⊙O于点C，过点C作，分别交PB于点E，交⊙O于点D，连接AD．（1）求证：△APO～△DCA；（2）如图2，当时①求的度数；②连接AB，在⊙O上是否存在点Q使得四边形APQB是菱形．若存在，请直接写出的值；若不存在，请说明理由．【答案】（1）见解析；（2）①；②存在，.【分析】（1）由切线性质和直径AC可得，由可得，即可得：；（2）①连接OD，由可得△OAD是等边三角形，由此可得，；②作交⊙O于Q，可证ABQP为菱形，求可转化为求．【详解】（1）∵PA切⊙O于点A，AC是⊙O的直径，∴，∵，∴，∴，∴，∴，∴，（2）如图2，连接OD，①∵，，∴△是等边三角形，∴，∵，∴，∵，∴，②存在．如图2，过点B作交⊙O于Q，连接PQ，BC，CQ，由①得：，，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∵，∴∴∵∴，∴，∵，∴，∴四边形ABQP是平行四边形，∵，∴四边形ABQP是菱形，∴∴，【点睛】本题是有关圆的综合题，难度不大；主要考查了切线性质，圆周角与圆心角，等边三角形性质，特殊角三角函数值，菱形性质等．25．四边形是的圆内接四边形，线段是的直径，连结．点是线段上的一点，连结，且，的延长线与的延长线相交与点．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）若，①求证：为等腰直角三角形；②求的长度．【答案】（1）见解析;（2）①见解析;②.【分析】（1）由圆周角的定理可得，可证，由一组对边平行且相等的是四边形是平行四边形可证四边形是平行四边形；（2）①由平行线的性质可证，由，可证为等腰直角三角形；②通过证明，可得，可得，通过证明，可得，可得，可求，由等腰直角三角形的性质可求的长度．【详解】证明：（1）∵，∴，∴，且，∴四边形是平行四边形，（2）①∵是直径，∴，且，∴，∴，∵，∴，且，∴，∴，且，∴为等腰直角三角形；②∵四边形是的圆内接四边形，∴，且，∴，∴，且，∴，，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∴，且为等腰直角三角形，∴，【点睛】本题是圆的综合题，考查了圆的有关知识，平行四边形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，求的长度是本题的关键．26．如图，点是的内心，的延长线与的外接圆交于点，与交于点，延长、相交于点，的平分线交于点.（1）求证：；（2）求证：；（3）若，，求的长.【答案】（1）详见解析；（2）详见解析；（3）3【分析】(1)根据三角形内心的性质得，再利用圆内接四边形的性质得，则，从而得到，则可判断；(2)根据三角形内心的性质得，然后证明得到；(3)证明，利用相似比得到，则，然后计算即可．【详解】(1)∵点是的内心，∴，∵平分，∴，∵，∴，∵，∴，∴；(2)∵点是的内心，∴，∵，即，∴；(3)∵，，∴，∴，即，∴，∴，∴．【点睛】本题考查了三角形的内切圆与内心、三角形的外心、圆周角定理等知识，熟练掌握和灵活运用相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.27．如图，在矩形中，，，点在上，将沿折叠，点恰好落在对角线上的点.为上一点，经过点，.(1)求证：是的切线；(2)在边上截取，点是线段的黄金分割点吗？请说明理由.【答案】(1)证明见解析；(2)点是线段的黄金分割点.【分析】(1)连接，由等腰三角形性质和折叠性质证，根据矩形性质证；（2）根据矩形性质和勾股定理求CE,CF,由得出结论.【详解】解：(1)证明：连接，∵，∴.由折叠可知，∴.∴.∴.∵四边形是矩形，∴.∴.即.∴是的切线；(2)点是线段的黄金分割点.∵四边形是矩形，∴，.∴.∵，∴.∴.∴.∴点是线段的黄金分割点.【点睛】考核知识点：矩形性质，切线判定.根据需要寻找条件是关键.28．宿迁市政府为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图①是某品牌共享单车放在水平地面上的实物图，图②是其示意图，其中、都与地面l平行，车轮半径为，，，坐垫与点的距离为.（1）求坐垫到地面的距离；（2）根据经验，当坐垫到的距离调整为人体腿长的0.8时，坐骑比较舒适．小明的腿长约为，现将坐垫调整至坐骑舒适高度位置，求的长．（结果精确到，参考数据：，，）【答案】（1）99.5（2）3.9【分析】（1）作于点，由可得答案；（2）作于点，先根据求得的长度，再根据可得答案【详解】（1）如图1，过点E作于点，由题意知、，∴，则单车车座到地面的高度为；（2）如图2所示，过点作于点，由题意知，则，∴.【点睛】本题考查解直角三角形的应用，解题的关键是明确题意，利用锐角三角函数进行解答．29．（材料阅读）:地球是一个球体，任意两条相对