2023年新高一数学暑假课程（人教A版2019）第二十六讲含参一元二次不等式的应用

第二十六讲：含参一元二次不等式的应用【教学目标】1．经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程．了解一元二次不等式的现实意义；2．掌握一元二次不等式的逆用；3．分类讨论，求解含参的不等式；4．一元二次不等式整数根的情况，求解相关参数范围.【基础知识】一、解一元二次不等式的步骤：（1）使二次项系数为正；（2）等号求解两根；（3）大于取两边，小于取中间.判别式Δ＝b2－4acΔ>0Δ＝0Δ<0二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a>0)的根有两个不相等的实数根x1，x2(x1<x2)有两个相等的实数根x1＝x2＝－eq\f(b,2a)没有实数根ax2＋bx＋c>0(a>0)的解集{x|x<x1，或x>x2}eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≠－\f(b,2a)))))Rax2＋bx＋c<0(a>0)的解集{x|x1<x<x2}∅∅二、一元二次不等式的逆用将一元二次不等式转化为一元二次方程，利用根与系数的关系进行求解.三、一元二次不等式恒成立问题1．转化为一元二次不等式解集为R的情况，即ax2＋bx＋c>0(a≠0)恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0，,Δ<0；))ax2＋bx＋c<0(a≠0)恒成立⇔eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a<0，,Δ<0.))2．分离参数，将恒成立问题转化为求最值问题．【题型目录】考点一：一元二次不等式求解逆用考点二：解含参一元二次不等式（一）考点三：解含参一元二次不等式（二）考点四：一元二次方程根的分布考点五：整数解个数问题考点六：一元二次不等式恒成立问题【考点剖析】考点一：一元二次不等式求解逆用例1．已知不等式的解集为，则（） A． B． C． D．【答案】A【详解】由题意可得：方程的两个根分别为和，则，解得：，所以，故选：A变式训练1．已知关于的不等式的解集为，则实数，的值是（） A．， B．， C．， D．，【答案】D【详解】因为关于的不等式的解集为，所以，且，是方程的两根，所以，，解得，，故选：D变式训练2．已知不等式的解集是，则不等式的解集是（） A． B．或 C． D．或【答案】A【详解】的解集为且方程的两根为：和，解得：即，解得：的解集为故选:变式训练3．（多选）已知关于的不等式解集为或，则下列结论正确的有（） A． B．不等式的解集为 C． D．不等式的解集为或【答案】AD【详解】关于的不等式解集为或,结合二次函数和一元二次方程以及不等式的关系，可得，且是的两根，A正确；则，故，所以即，即的解集为，B错误；由于的不等式解集为或,故时，，即，C错误；由以上分析可知不等式即，因为，故或，故不等式的解集为或，D正确，故选：AD考点二：解含参一元二次不等式（一）例2．若，解不等式．【答案】【详解】解：∵，∴，原不等式可化为，解得．故原不等式的解集为．变式训练1．若，则不等式的解集是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】由于，所以,所以不等式的解集，故选：D变式训练2．解下列关于的不等式【答案】答案见解析【分析】讨论大小关系求一元二次不等式的解集.【详解】由，可得或，则：当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；当时，原不等式解集为；变式训练3．解下列不等式：(1)；(2).【答案】(1)；(2)答案见解析【详解】（1）解：由不等式，可化为，解得，所以不等式的解集为.（2）解：不等式，可化为，当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.考点三：解含参一元二次不等式（二）例3．解关于x的不等式.【答案】答案见解析【分析】对不等式变形为，然后对进行合理分类讨论即可.【详解】原不等式变为，①当时，原不等式可化为，所以当时，解得；当时，解集为；当时，解得②当时，原不等式等价于，即.③当时，，原不等式可化为，解得或.综上，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为，当时，不等式的解集为或.变式训练1．解下列关于的不等式．【答案】答案见解析【分析】讨论参数a，结合一元二次不等式的解法求解集即可.【详解】当时，原不等式为，解集为；当时，原不等式为，解集为；当时，原不等式为，若，即时，解集为或；若，即时，解集为；若，即时，解集为或；综上，解集为；解集为；解集为或；解集为；解集为或.变式训练2．已知函数．(1)当时，求关于x的不等式的解集．(2)若，求关于x的不等式的解集．【答案】(1)；(2)答案见解析【详解】（1）时，，解得：，故解集为；（2）时，，变形为，当时，，解得，当时，解得，当时，，解得，综上：当时，解集为，当时，解集为，当时，解集为.变式训练3．解关于的不等式.【答案】答案见解析【详解】由题意知，①当，即或时，方程的两根为，所以解集为；②若，即时，当时，原不等式可化为，即，所以，当时，原不等式可化为，即，所以；③当，即时，原不等式的解集为；综上，当或时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为；当时，原不等式的解集为.考点四：一元二次方程根的分布例4．若一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，则实数的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】A【详解】因为一元二次方程（不等于0）有一个正根和一个负根，设两根为，则，解得，故选：A变式训练1．已知一元二次方程的一根比1大，另一根比1小，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】记，则为开口向上的二次函数，要使方程的根一个大于1一个小于1，则只需要，解得，故选：C变式训练2．已知二次函数与轴有两个交点，一个大于1，一个小于1，则可能为（） A． B． C．0 D．1【答案】B【详解】令，则，由题可知，，且，即，解得，故所有选项中满足题意的的值是：.故选：B.变式训练3．一元二次方程有一个正根和一个负根的一个充要条件是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】因为一元二次方程有一个正根和一负根，设两根为和，所以，解得，故.故选：A.考点五：整数解个数问题例5．（多选）已知关于x的一元二次不等式的解集中有且仅有2个整数，则实数m的值可以是（） A．4 B．5 C．6 D．7【答案】AB【详解】函数的图象开口向上，其对称轴为，因为的解集中有且仅有2个整数，因此，其它的整数都不属于集合，由对称性得：，即，解得，显然选项AB满足，CD不满足.故选：AB变式训练1．关于x的不等式的解集中恰有2个整数，则实数a的取值范围（） A． B． C． D．【答案】B【详解】不等式化为，当时，不等式无解，当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则，当时，不等式解为，这里有且只有2个整数，则，综上的取值范围是．故选：.变式训练2．已知，关于的不等式的解集中有且只有个整数，则的值可以是（） A．3 B．4 C．5 D．6【答案】D【解析】本题首先可以令二次函数，则开口向上且对称轴为，然后结合题意与二次函数对称性得出，最后通过计算即可得出结果.【详解】令二次函数，则二次函数开口向上，且对称轴为，根据二次函数对称性可知：若不等式的解集中有且只有个整数，则需要满足，即，解得，故选：D.变式训练3．若关于x的不等式只有一个整数解，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】不等式化为，即，当时，不等式化为，得，有无数个整数解，不符合题意；当时，由关于x的不等式只有一个整数解，可知，不等式的解为，由题意，，解得；当时，不等式的解为或，有无数个整数解，不符合题意．综上，实数a的取值范围是.故选：C考点六：一元二次不等式恒成立问题例6．已知不等式对任意实数恒成立，则的取值范围是（） A． B． C．或 D．【答案】D【详解】①若,则恒成立，满足题意；②,则，,∴.综上所述.故选：D变式训练1．若，使得不等式成立，则实数的取值范围（） A． B． C． D．【答案】D【详解】因为，使得不等式成立，所以，使得不等式成立，令，，因为对称轴为，，所以，所以，所以实数的取值范围为.故选：D.变式训练2．若存在实数，使得成立，则实数的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】C【详解】①当时，不等式化为，解得：，符合题意；②当时，为开口方向向上的二次函数，只需，即；③当时，为开口方向向下的二次函数，则必存在实数，使得成立；综上所述：实数的取值范围为.故选：C.变式训练3．（多选）对任意实数，不等式恒成立，则实数可以是（） A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据不等式恒成立，结合二次函数的性质，分类讨论求得的取值范围，结合选项，即可求解.【详解】当时，不等式可化为恒成立，符合题意；当时，要使得不等式恒成立，则满足，解得，综上可得，实数的取值范围为，结合选项，实数可以是.故选：ACD.【课堂小结】1．知识清单：(1)一元二次不等式逆用求参方法．(2)不等式的恒成立问题．2．方法归纳：分类讨论．3．常见误区：解含参一元二次不等式的分类讨论．【课后作业】1、一元二次不等式的解集是，则的值是（） A． B． C． D．【答案】D【详解】根据条件知：方程又两个根是；由二次方程根与系数的关系得：．解得．关系D2、若一元二次不等式的解集为｛或｝，则实数的值是（） A． B． C． D．【答案】A【详解】依题意由，知不等式的解集为或，由此得方程的两个根分别为和，由韦达定理得，解得故选:.3、设一元二次不等式的解集为，则的值为（） A．1 B． C．4 D．【答案】B【详解】由题意可知方程的根为，所以有，，解得，所以.故选：B.4、．若不等式的解集为，则函数的图象与x轴的交点为（） A．和 B． C． D．和【答案】A【详解】若不等式的解集为，则方程的两个根为且，，解得，则函数，令，解得或，故函数的图象与轴的交点为和.故选：A.5、（多选）已知关于的不等式的解集为或，则下列说法正确的是（） A． B．不等式的解集为 C．不等式的解集为或 D．【答案】AC【详解】对于A，由二次不等式解集的特点易知，故A正确；对于B，因为不等式的解集为或，故或是方程的两个实根，所以由韦达定理得，，即，代入，得，即，解得，故B错误；对于C，将代入，得，即，因式分解得，解得或，故C正确；对于D，因为，所以，故D错误.故选：AC.6、已知关于的一元二次不等式的解集为，则的最小值是（） A．6 B． C． D．3【答案】C【详解】因为关于的一元二次不等式的解集为，所以a，b是方程的两根，所以，所以，所以，当且仅当时，取等号，故选：C7、（多选）已知关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（） A．12 B．13 C．14 D．15【答案】BCD【详解】设二次函数，开口向上，其对称轴为，因为一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数所以3个整数解必然是3，4，5，则根据对称性，满足，故，且，即，且，所以的值为13,14,15.故选：BCD8、（多选）已知，关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，则的值可以是（） A．4 B．5 C．6 D．7【答案】CD【详解】设，其图像为开口向上，对称轴是的抛物线，如图所示.若关于的一元二次不等式的解集中有且仅有3个整数，因为对称轴为，则解得，又，故可以为6，7，8.故选：CD9、已知一元二次方程的两根都在内，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】B【详解】设，由题意可得，解得.因此，实数的取值范围是.故选：B.10、关于x的方程至少有一个负根的充要条件是（） A． B． C．或 D．【答案】B【详解】当方程没有根时，，即，解得；当方程有根，且根都不为负根时，，解得，综上，，即关于x的方程没有一个负根时，，所以关于x的方程至少有一个负根的充要条件是，故选:B.11、若关于的一元二次不等式的解集为，则（） A． B． C． D．【答案】B【详解】由题意知关于的一元二次不等式的解集为，则二次函数的图象恒在轴的上方，开口向上，且图象与轴无公共点，所以，故选B.12、若一元二次不等式对一切实数都成立，则的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】D【详解】试题分析：由题意，，解得．13、若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（） A． B． C． D．【答案】A【详解】，当且仅当时等号成立，故，故，故选：A.14、若关于的不等式有解，则实数的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】若关于的不等式有解,则，解得.故选：C.15、若不等式对于恒成立，则实数a的取值范围是（） A． B． C． D．【答案】C【详解】原不等式可化为，设，则，当且仅当，且，即时，函数有最小值为2.因为恒成立，所以.故选：C.16、．已知，求解关于的不等式.【答案】答案见解析【详解】，（1）当时，即解得（2）当时，解得（3）当时①当时，即解得②当时，或③当时，或综