2022届新高考数学全国I卷专项解析5 三角函数与解三角形【解析版】

2022届新高考数学全国I卷专项解析

专题5三角函数与解三角形（12月卷）

一、单选题

1.（2021.广东广州.高三阶段练习）已知角a的终边过点P0,2）,则智生04=（）

3sincr-cosa

A.2B.1C.-1D.-2

【答案】B

【分析】

先求得tan,,然后将所求式子转化为只含tan。的形式，由此求得正确答案.

【详解】

小2sina+cos6z2tan<7+1<

,/tana=2,/.------------------=-------------=1.

3sina-cosa3tana-1

故选：B

2.（2021・广东汕头•高三期末）己知sina=也,ae（工兀），则3（。-与=（）

226

A.-1B.0C.工D.迫

22

【答案】B

【分析】

先根据sina=3,ae（-,n）求出a==,进而求出cos（a-今

2236

【详解】

'•*sina='——,（XG（―,7t）,•*,ct=,故cos（a—：）=cos二=0.

22362

故选：B

3.（2021•重庆南开中学高三阶段练习）已知s'（三一。），则2sina-cosa=（）

------;------7---zsma+cosa

cos（万+a）

A.-1B.1C.-5D.5

【答案】D

【分析】

利用三角函数诱导公式和齐次式弦化切即可解答。

【详解】

,-sina八2sina-cosa2tana-1「

由题意------=tana=-2,则—----------=---------=5.

-cosasina+cosatana4-1

故选：D.

4.（2021•山东・济南外国语学校高三阶段练习）函数/（x）=sin《+cosq的最小正周期和最大值分别是（)

A.3兀和&B.37t和2C.6兀和啦D.6兀和2

【答案】C

【分析】

利用辅助角公式化简/（x），结合三角函数周期性和值域求得函数的最小正周期和最大值.

【详解】

由题,所以/（X）的最小正周期为

，,二%,最大值为④.

3

故选：C.

5.（2021.广东东莞.高三阶段练习）若tana=3,则（）

sin2a

A.—B.-C.土一D.2

233

【答案】B

【分析】

应用倍角正余弦公式及商数关系将目标式化为」一，结合已知即可求值.

tana

【详解】

i.1+cos2al+2cos2a-111

由题思知，---------=-------------=-----=-.

sin2a2sinacosatana3

故选：B.

)

【答案】A

【分析】

根据函数的定义域、奇偶性以及的值来确定正确选项.

【详解】

由题意’函数〃X)=F的定义域为R，

且f(-X)=：).=sin：『=-/(%),所以函数f(x)为奇函数,

(-X)+1X+1

其图象关于原点对称，所以排除C、D项,

71

>0所以排除B项.

故选：A

7.(2021,湖南•沅江市第一中学高三阶段练习)若sin(a+?)=|,则sin(2a-讣()

24724

□C.D.

252525

【答案】C

【分析】

利用二倍角余弦公式可求得cos(2a+(),根据诱导公式计算可得呵2aqb-cos(2a+5｝由此可得

结果.

【详解】

（c%）1r•2，4、1C97

,/cos2a+—=l-2sirra+—=l-2x——=——,

I3JI6J2525

.，4c4、（c乃、7

/.sinla——=-cos—+2a——=-cos2a+—=-----.

I6j（26；I3）25

故选：C.

8.（2021.湖南.沅江市第一中学高三阶段练习）函数〃司=（1+3*《»》的部分图象是（）

【答案】B

【分析】

根据函数的奇偶性以及当0<x<l时函数值的正负来判断.

【详解】

函数/（犬）=（丁+3*85的定义域为R,

f（-x）=［（-x）3+3•（一x）］cos（-x）=-（;?+3x）cosx=-f（x）,

所以函数/（X）为奇函数，排除CD选项，

当0<xvl时，x>0,x2+3>0,cosx>0,则/（x）=+3）cosx>0,排除A选项.

故选：B.

%（2。2卜湖南摊礼中学高三阶段练习）若tan"-3’则魄等（）

105/

A.3B.-----C.—D.6

36

【答案】C

【分析】

利用二倍角的余弦公式化简，再由齐次式即可求解.

【详解】

sin0+cos0_sin6+cos。_1

sin6cos2。sin（cos2sin2sin8（cos夕一sin6）

sin20+cos20_tan20+1_10_5

sinecos。一sin2。tantan20-126

故选：C

10.（2021•山东师范大学附中高三阶段练习）若tanW=3（0<e<%）,则sin2。的值为（）

A,注c151524

厂C.-----D.

25161625

【答案】A

【分析】

根据正切的倍角公式，求得tan。,再利用正弦的倍角公式将sin26转化为齐次式，结合同角三角函数关系

即可求得结果.

【详解】

2tan—4

因为tan。=------q=-

1-tan--

2

2sin0cos6^2tan。24

又sin26=

sin20+cos26tan20+125

故选：A.

11.(2021•山东省胶州市第一中学高三阶段练习)已知函数/(x)=sin(2x+(J,为了得到函数

g(x)=cos(2x+?)的图象只需将y=/(x)的图象()

TT

A.向左平移了个单位B.向右平吟个单位

C.向左平移g个单位D.向右平移g个单位

22

【答案】A

【分析】

利用三角函数的平移结合诱导公式即可求解.

【详解】

解：因为

.乃兀、万、

sinl2x+—+—I=cosl2x+—\

所以sin(2x+g)fsin(2x+5+g),只需将加0的图象向左平移:个单位,

故选：A.

12.(2021.山东・莱州市第一中学高三阶段练习)把函数y=/(x)图像上所有点的横坐标缩短到原来的g倍,

纵坐标不变，再把所得曲线向右平移!•个单位长度，得到函的图像，则f(x)=()

【答案】B

【分析】

解法一：从函数y=/(x)的图象出发，按照己知的变换顺序，逐次变换，得至=即得

/=sin(x-7),再利用换元思想求得y=f(x)的解析表达式；

解法二：从函数y=sin(x-?)出发，逆向实施各步变换，利用平移伸缩变换法则得到y=f(x)的解析表达

式.

【详解】

解法一：函数y=/(x)图象上所有点的横坐标缩短到原来的，倍，纵坐标不变，得到y=f(2x)的图象，再

71

把所得曲线向右平移（个单位长度，应当得到y=f23的图象,

根据已知得到了函数y=sin（x-?的图象，所以/2卜-2sin(x-?

xf，则彳得+不彳71t71

令f=2-=----1-----，

4212

71xn

所以/(f)=sin，所以/(x)=sin—4--

212

解法二：由己知的函数y=sin（x-（

逆向变换,

第一步：向左平移!■个单位长度，得到y=sin（x+7171=sin(x+^

的图象,

34

x冗

第二步：图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，得到y=sin—+一的图象,

212

X冗

即为y=f（x）的图象，所以〃x）=sin—+一

212

故选：B.

5兀

3⑵21・山东・济南外国语学校高三阶段练习）cos^_cos()

12

B.16

A.—2CD.

3-T2

【答案】D

【分析】

几5乃万

由题意结合诱导公式可得cos2----cos,2——=cos:2-7-1-si.n-2-,再由二倍角公式即可得解.

12121212

【详解】

24257c2乃27C712万.2万

由题意,cos---cos——=cos----cos=cos---sin—

1212122121212

兀

=cos—=73

62

故选：D.

TT1rr

14.（2021•福建省龙岩第一中学高三阶段练习）已知sin（乃-a）+sin（-—。）=一，且。£（0,乃），贝ijtan（a+—）=

254

)

A.一；

B.一C.7D.-7

7

【答案】A

【分析】

1247

由题意化简得sina+cosa==,平方求得2sinacosa=-----，进而求得sina-cosa=—，联立方程组，求

5255

4

得sino,cosa,得到tana=—结合两角和的正切公式，即可求解.

【详解】

乃11

由sin（乃一a）+sin（----a）=—,可得sina+cosa=—,

255

124

两边平方得l+2sinacosa=—,可得2sinacosa=-----<0,

2525

因为。£（0,%），所以sinc>。,cosa<0,所以sina-cosa>0,

24497

所以（sina-cos。尸=1-（-----）=—,所以sina-cosa=一,

25255

43qina4

联立方程组，可得sina=-,cosa=一二，所以tana=^------=--,

55cosa3

7T14

tana+tan—1——.

所以tan（a+£）=----------=——=一；.

44147

1—tancttan—1H-----

43

故选：A.

7T7T

15.（2021.江苏•高三阶段练习）下列函数中，在区间上单调递增的函数是（）

B.y=V3sinx—cosxC.y=sin（x+—）D.y=|sin2M

【答案】B

【分析】

分别求出其单调区间，再分析判断即可

【详解】

对于A,由-乃则一|乃<》后，所以函数在悖智上递增，在后马上递减，所以A错误，

对于B,y=>/5sin-cosx时，y=2sin(x-[),0<x--<—,—<x<—n,所以函数在三卫兀上递增,

I62631_63一

所以[J]/在7'?单调增,所以B正确,

|_63」|_42J

对于c,y=sin(x+g),由gvx+fwi,得fvxV与，所以函数在上递减，所以函数在区间

<4J2444|_44」

TTTT

上单调递减，所以C错误，

[42J

JT4

对于D,y=|sin2x|,可知函数在上递减，所以D错误，

故选：B.

（•全国・高一期末）已知点（狈）为角终边上一点，且坐吆则机=（

16.2021P-3a2-tan==2,)

sina2

A.2B.-2C.3D,-3

【答案】D

【分析】

首先根据三角函数恒等变换得到tana=l,从而得到tana=B=l,即可得到m的值.

m

【详解】

■Ct,.aa.a

l+2cos--lsin—cos—sin—

]+cos2a2222

sina2.aaa.aa

2sin—cos—cos—sin——cos

22222

2a.9a

cos----sin--

_cosa2

,22=2,即tana=1.

.aa1.tana

sin—cos—一sma

222

又因为tana=，=l,解得m=_3.

m

故选：D

17.（2021•河北邢台•高三阶段练习）函数/（x）=sin（0x+（卜。＞0）在区间（0,£|上是增函数，在区间

上是减函数，则。的最小值为（）

A3c2

A.-B.一D

43-7

【答案】A

【分析】

根据/（x）的单调性、周期性求得。的最小值.

【详解】

“X）在区间（0号）上是增函数，在区间（%?上是减函数，

/f—=sinf—69+—=1,-69+—=2^+—,69=6/:+—,/:€Z,

⑴（34）3424

所以o的最小值为

4

故选：A

18.（2021・河北保定•高三阶段练习）黄鹤楼，位于湖北省武汉市武昌区，地处蛇山之巅，濒临万里长江，

为武汉市地标建筑.某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为30（退-l）m的建筑物A8,

在它们之间的地面上的点M（民三点共线）处测得楼顶A、楼顶C的仰角分别是15。和60。,在楼顶A处

测得楼顶C的仰角为15。，则估算黄鹤楼的高度。。为（)

C

MB

A.20>/3mB.20gmC.30舟iD.30"ri

【答案】C

【分析】

分别在AABM，AACM及YCDM应用正弦定理求解.

【详解】

ADL

在AABM中，/AMB=15°,则AM=--------=60V2m

sin15°

在AACM中，因为ZG4M=15°+15°=30°,ZCMA=180°-（60°+15。）=105°,

所以ZMG4=180。-105。-30。=45。

因为.所以CM=^x60点=60（〃］），故8=皿而60。=306（,”）.

sin/MACsinZ.MCA2

故选：C.

19.（2021.河北保定.高三阶段练习）如图，某时钟显示的时刻为9:45,此时时针与分针的夹角为。，则

cos20=()

/JOn

)

r93：

A.32-7142+V2

B.C.D.

444

【答案】D

【分析】

首先求出。，再根据二倍角公式计算可得.

【详解】

解：由图可知0=至*2=工，则1+cos20l+cos?2+应.

故选：D

20.（2021•陕西省商洛中学高三阶段练习（文））函数/（'）=—J■在卜/句上的图象大致为（）

COSX+X

【答案】A

【分析】

根据/（x）的奇偶性，函数值的正负以及特殊值法，结合选项即可判断.

【详解】

因为定义域［f,句关于原点对称，且/（-x）=-/（x）,所以f（x）为奇函数，排除D.

当xw（O《）时，/«>0,排除C.

因为=所以排除8

故选：A

21.（2021.河北•大名县第一中学高三阶段练习）函数/（x）=sin2x+cosx在（0,乃）内的零点个数为（）

A.0B.IC.2D.3

【答案】B

【分析】

在x«0,兀）时，解方程f（x）=0,即可得解.

【详解】

当XW（0,TT）时，|||/（x）=sin2x+cosx=2sinxcosx+cosx=cosx（2sinx+l）=0n[fUcosx=0§!4Sinx=-^.

当xe（O,;r）时，由cosx=0可得x=g,方程sinx=-g在xe（O,乃）时无解.

综上所述，函数〃x）=sin2x+cosx在（0,乃）内的零点个数为1.

故选:B.

22.（2021•广东•高三阶段练习）已知函数，x）=Asin（5+*）（0>O,O<e<;r）为偶函数，在0,?）单调递

减，且在该区间上没有零点，则。的取值范围为（）

【答案】D

【分析】

根据题意先求出8并将函数化简，进而根据函数在0,单调递减，且在该区间上没有零点，列出关于。的

不等式，最后解得答案.

【详解】

因为函数为偶函数，且在0,单调递减，所以+k"（AeZ）,而0＜8＜万，则*=],于是

"X）=Acos皿（。＞0）,函数在0,彳）单调递减，且在该区间上没有零点，所以0＜彳。4彳=36（0,京.

故选：D.

23.（2021.山东师范大学附中高三阶段练习）圣・索菲亚教堂（SaintSophiaCathedral）坐落于中国黑龙江省，

是一座始建于1907年拜占庭风格的东正教教堂，被列为第四批全国重点文物保护单位，其中央主体建筑

集球，圆柱，棱柱于一体，极具对称之美，可以让游客从任何角度都能领略它的美.如图，小宇为了估算索

菲亚教堂的高度，在索菲亚教堂的正东方向找到一座建筑物AB,高为：12〃?，在它们之间的地面上的点M

（B,M,。三点共线）处测得楼顶A,教堂顶C的仰角分别是15。和60。，在楼顶4处测得塔顶C的仰角

为30。，则小明估算索菲亚教堂的高度为（取道=1.7）（）

【答案】D

【分析】

在中，求得NACM=30。，由正弦定理得到CM=史必竺•AM=立竺，再在RtZ\CDM中，可得

sinZACMsin15°

CD=CMsin60°=府',即可求解.

2sinl5°

【详解】

AR

如图所示，在例中，AM=——,

sin15

在八4。/中，NCAM=30+15。=45,ZAMC=180°-15°-6()°=105°,

所以NACM=30°,

AMCM，可得皿=翳篝M*，

由正弦定理

sinZACMsinZCAM

又由—n(45。一30。)=冬冬乎小『

4

IWH8=CMsin60。=而1乎=36+12痒56.4

在RtZ\CZW中，可得2sinl5。°瓜一近

2------------

4

故选：D.

的部分图像大致为()

【分析】

求出f(x)的定义域可排除A；证明f(x)是奇函数可排除B；当x>0且X趋近于。时，f(x)<0可排C,进

而可得正确选项.

【详解】

())

/X=(1+COSX，故排除选项A；

/(X)定义域为｛xlxwO｝，关于原点对称，

〃T)=(l+cosx)g-x)=-(l+cosx)(x-；)=-/(X)，所以/(X)是奇函数，图象关于原点对称，故排除

选项B；

当x>0且X趋近于。时，/(x)=(l+cosx)[-2)<0,故排除选项C,

故选：D

25.(2021・山东・滕州市第一中学新校高三阶段练习)若tan6=2,则任也二吧丝1=()

sincos0

A.-B.--C.-D.--

5555

【答案】A

【分析】

由二倍角正弦公式和同角关系将吧也二更冽转化为含tan。的表达式，由此可得其值.

sin。一cos6

【详解】

sin0(1-sin20)sin。卜in?。+cos?，一sin2J)sin0(sin8—cos0)?

sin。一cos。sin。一cos。sin。一cos。

_sin26-sinOcos。_tan2tan0_2

sin2^+cos20tan2/9+15

故选：A.

26.(2021・山东•滕州市第一中学新校高三阶段练习)函数/(x)=(l-cosx)sinx在卜历句的极大值点为

()

24c几厂兀.2冗

A.------B.C.-D.—

3333

【答案】D

【分析】

求出函数的导数，利用导数确定函数的单调性，即可求出函数的极大值点.

【详解】

x)=sinx-sinx+(1-cosx)cosx=-2cos2x+cosx+1=(-cosx+l)(2cosx+1),

.•.当xe(F,一年)时，尸(同<0,〃x)单调递减，

当时，尸(x)>0,/(x)单调递增，

当xe仁，")时，r(x)<0,f(x)单调递减，

二函数/(x)=(l-cosx)sinx在[-1,句的极大值点为冷.

故选：D

27.(2021•福建省厦门集美中学高三阶段练习)cosl8150=()

A#口y/2+>/6「6-瓜口>/6—>/2

A.----------------D.----------------C.---------------U.---------------

2444

【答案】B

【分析】

根据诱导公式和余弦的差角公式求解即可.

【详解】

解：cos1815°=cos(360x5+15)=cos15°=cos(45。-30，

=cos45-cos30+sin45sin30=x—+x-=#+&

22224

故选：B

log,x-2x,x>0

28.(2021•福建•厦门一中高三阶段练习)函数/(x)=.(不)八有且仅有2个零点，则正数。

sinI+yI,<x<0

的取值范围是()

(471474747

A.B.C.D.

(33」3'33'33'3

【答案】B

【分析】

先利用导数研究当x>0时，〃x)=log2X-2x没有零点，结合三角函数性质研究-乃时，

“x)=sin(s+?)有且仅有两个零点问题，进而得答案.

【详解】

解：当x>0时，/(x)=log,x-2x,/,(x)=—-2,^/'(x)=0^x=-^—■,

xln22In2

所以当0<x<—!一时，/'(x)>0,〃x)=log2X-2x单调递增，

2In2

当时，/'(x)<。，，(x)=log2X-2x单调递减，

由于x=,当0<x<l时，/(x)=log,x-2x<0,

2In2In4

所以f(x)极大植=/(贵)<°，即当x>0时，/(x)=log2x-2x^w^.

所以当一万4x40时，〃x)=sin"+g)有且仅有两个零点，

71冗，冗

由于一万KxK0时,-7V(D+—<CDX-1f—<—

333

7TTTTT

所以函数丫=$山》（-^zy+y<69X+y<y）有且仅有两个零点,

TT47

所以一2）〈一本y+—K-",解得一KG<一

333

所以正数0的取值范围是

故选：B

29.（2021•福建省龙岩第一中学高三阶段练习）若函数/（x）=sin（s+?）（0>O）在停，乃）上单调，且在

0仁）上存在极值点，则。的取值范围是（

\_7

A.?2B.C.D

2'6-°-i

【答案】C

【分析】

依据函数在仁可上单调，可知042,

计算出函数的对称轴，然后根据函数在所给区间存在极值点可知

最后计算可知结果.

【详解】

因为/（X）在上单调，所以72万，则生2万，由此可得/42.

）co

因E为、I当、“5+\71=彳T+li&T，o即„—6+k7r（,uz）-时,函十数五取加得3极值土，

欲满足在（0《）上存在极值点，因为周期72万，故在（0片）上有且只有一个极值,

故第一个极值点x=£<g,得。又第二个极值点x

6a）326®122

要使f（x）在上单调，必须22万，得

\2）6啰6

综上可得，0的取值范围是d.

126J

故选：C

30.（2021♦江苏•南京市第二十九中学高三阶段练习）若tan6=-2,则由外1tsm2叽（）

sin。+cos，

A.--B.--C.-D.-

5556

【答案】C

【分析】

将式子先利用二倍角公式和平方关系配方化简，然后增添分母（l=sir?e+cos2e）,进行齐次化处理，化为

正切的表达式，代入tane=-2即可得到结果.

【详解】

解：因为tan6=-2,所以将式子进行齐次化处理得：

sin6(1+sin26)sin^(sin20+cos28+2sin6cos6)

=sin8(sin0+cos6)

sin0+cos0sin6+cos0

_sin，(sin6+cos。)_tat?。+tan，_4-2_2

sin2^4-cos201+tan201+45

故选：C.

31.（2021•江苏・邵伯高级中学高三阶段练习）将函数y=2sin（x+。）的图象向左平移机（帆＞0）个单位长度

后，所得到的图象关于原点对称，则加的最小值是（）

A充

A.—

12D后

【答案】D

【分析】

由三角函数平移变换可得平移后函数为y=2sin[x+m+1J,根据对称性得到加+?=eZ）,结合

加＞0可得所求最小值.

【详解】

将y=2sin[x+1）向左平移加（加＞0）个单位长度得：y=2sin（x+m+?）,

y=2sin[x+/n+?）图象关于原点对称，

：.m+%=k7r1k£Z）,解得：根二一0+&乃（%£Z）,又zn＞0,

.♦・当％=1时，m取得最小值等2万.

故选：D.

32.（2021.江苏.邵伯高级中学高三阶段练习）已知锐角a终边上一点4的坐标为（2sin3,-2cos3）,则角a

的弧度数为（）

7T7T37r

A.3----B.----3C.兀-3D.------3

222

【答案】A

【分析】

先根据定义得a正切值，再根据诱导公式求解

【详解】

-2cos3sinh3)

tana-----------=---------------=tan34-

2sin3cos(£_3)

TTTT

X0<3-y<-,。为锐角,

故选：A.

sin^(7-10j

A.1B.2C.3D.4

【答案】C

【分析】

利用诱导公式、两角和公式可得sinacosl(r+cosasinlO。,再利用弦化切即得.

sin(«-10)sinacoslO-cosasin10°

【详解】

Vtana=2tanl0，

cos(a-80)8s(a+10。-90)

_sinacoslO+cosorsin10

sincrcoslO-cosasin10

_tana+tan10'

tanor-tan10

:

--3--ta--n--l-0--5c

tanlO:

故选：C.

.,4乃、

sm(。----)tana

34.(2021•江苏•高三阶段练习)若-------匚=-3,贝I」万一()

./7i、tan一

sin(a--)5

33

2c

A.B.4-2-

【答案】A

【分析】

先利用两角差的正弦公式对已知的式子化简，再利用同角三角函数的关系化简变形可得答案

【详解】

sina--71:sinacos一万一cosasin一万

I5)=________55

.(7l\.71

sma-----sincrcos-----cosasin—

I5J55

71

sina-COSy一coscrsin--tana-tan—

---------------=--------------------5-=-3

.7C71

sinorcos—-cosasin—tana-tan—

555

tana

入九=2

tana=2tan—,71

tan—

5

故选：A.

35.(2021•河北邯郸•高三期末)函数f(x)=7］的部分图像为()

【答案】D

【分析】

先判断奇偶性排除C,再利用/(0)=1排除B,求导判断单调性可排除A.

【详解】

因为.f(-x)="X)，所以J。)为偶函数，排除C；

因为"0)=1,排除B；

wcn*\COSX-V2smx+—

当x>0时，/(X)=—,r(x),l4,

当0<x<,时，r(x)<0,所以函数〃x)在区间(o,引上单调递减，排除A.

故选：D.

36.(2021•河北沧州高三阶段练习)已知且cos%+sin2a=二，则()

V2)101+sin2a

11r49-I一1

A.—B.—C.-D.—

2636436

【答案】B

【分析】

由条件可得|+2ta?，=《,结合条件求出tana=一2，将所求化为

1+tan-a107

—,—里e--------------=—」---------从而可得答案.

cos-a+siira+2sinacosa1+tan，a+2tana

【详解】

o.c7cos2a+2sinacosa7

由cosa+sin2a=—,H即n-----------------=一

10cos2«+sin2a10

即二2ta；T二,所以7tan2a_20tana_3=0,即(7tanc+l)(tan。-3)=0

l+tan-a10'八'

所以tana=-g或tana=3,由aw(-],()],所以tana=-g

cos2a_cos2a_1_1_49

2