2022届旧高考数学（理）开学摸底测试卷10

2022届旧高考数学(理)开学摸底测试卷10x+y>2

4.若x,y满足约束条件k<l，则z=y—x的取值范围是

注意：本试卷共150分，考试时间120分钟。

y<2

第I卷

A。[-1,0]B。[-1,2]C«[0,1]D.[0,2]

一、选择题(本大题包括12小题，每小题5分，共60分，每小题给出的四个选项中，区有一项

5.已知等差数列{a,,}的前"项和为S„,且S9=18,%=1,

是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上)。，则aA=

lo已知集合4={.丫£1^|工一1|<2},B={XGR|X2+2X-3>0),则Af15二

A.4Bo2Co---Do—1

2

A.[―3,—1)Bo[1,3)C.(―1,1]Do(—oo,-3]U[3,+oo)

6.已知抛物线C:y?=8x的焦点为产，准线为/,尸是/上一点，。是直线PF与抛物线C的

2一个交点.若丽=4而，则|Q厂|二

2。复数z=,~:，则|z|=

75

Ao-Bo3Co一D.2

A.lBo2CoV2D.2\/222

7。函数/*)=2d-lnx的单调递减区间是

3.天文学中为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯(Hipparchus)在公元前二世

D018「g)u(；,+8

纪A。B.I],+oo)C.(O.])

首先提出了星等这个概念.星等的数值越小，星星就越亮;星等的数值越大，它的光就越暗.到

7T

80若函数/(x)=sin(s--)(口>0)在区间(0,1)上有最大值，则。的取值范围为

了1850年，由于光度计在天体光度测量中的应用，英国天文学家普森(M.RPogsa?)又提

出

了衡量天体明暗程度的亮度的概念.天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星

9。关于直线"7,九与平面名分，有以下四个命题:

等与亮度满足小一色=2.5(炫马-怆月).其中星等为町的星的亮度为耳[=1,2).已知

①若〃0旦aH°，则mil"；②若机_La,〃_L夕且a_1_夕，则"zJ_〃；

“心宿二''的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,“心宿二”的亮度是“天津四”的「倍，则与

③若机_La,〃〃〃且a〃/，则机_L〃；④若_L£且二,贝打〃〃〃；

厂最接近的是(当国较小时，10F1+2.3工+2.7寸)

其中真命题的序号是

A.1.22Bo1.24C.1.26D.1.28A.①②B。③④Co①④Do(2X3)

lOo若Ovxvyvl,则

16.设点P在曲线>=优3>6)上，点。在曲线y=10g〃R上，若|PQImin<-，则。的

e

Ao2r<3V<1B。(1r<(!r<i

取值范围是.

三、解答题(本大题包括6小题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

Colog3<log4<0Dolog4<log3<0

tvv117.(本小题满分12分)

H.如图所示，正方体ABCD-AB£。中，点瓦F分别在ADAC上，巳________G

AABC的内角.B,C的对边分别为a,b,c>设(a+Z?)(sinA—sinB)=(c—乖>b)sinC。

21

且=AFAC则石/与GA所成角的余弦值为A,

=-,(1)求A；

(2)若〃=2,且sin氏sinAsinC成等差数列，求AABC的面积.

18。(本小题满分12分)

12.已知双曲线Ciq-4uig〉。,。〉。)的左右焦点分别为耳，居，。为坐标原点，点M为

a-b~某市为进一步改善市内交通状况，准备修建一条新的地铁线路，为了调查市民对沿线地铁站

配置方案的满意度，现对居民按年龄(单位：岁)进行问卷调查，从某小区年龄在口5,65]内

双曲线右支上一点，若忻用=2|OM|,NMF再瑞,则双曲线C的离心率的取值范围为

的居民中随机抽取1()0人,将获得的数据按照年龄区间[15,25),[25,35),[35,45),[45,55),

A.(1,6+1]B。[V3,V3+1]C。[6+1,3扬D。[V3+l,+oo)

[55,65]分成5组，同时对这100人的意见情况进行统计得到频率分布表.经统计，在这10()

第II卷

人中，共有65人赞同目前的地铁站配置方案.

本卷包括必考题和选考破两部分，第13题―21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第

分组持赞同意见的人数占本组的比例

22题23题为选考题,考生根据要求作答。

115,25)150.6

二、填空题(本大题包括4小题,每小题5分，共20分，把正确答案填在答题卡中的横线上)。

13.若向量。与6的夹角为60为M|=4,(a+3)(a-»)=-72,则同=。[25,35)ab

7T1

14。若cos(x+—)=-,则sin2x=。[35,45)80.8

43—

[45,55)

15.已知数列｛%｝满足log3以〃+1=log3an+x(77GN*),且％+%+应=9，则200.8

log3(a5+%+%)=。[55,65]120.6

（1）求4和。的值；2L（本小题满分12分）

（2）在这100人中，按分层抽样的方法从年龄在区间[25,35）,[35,45）内的居民（包括持反对

已知函数/（%）=--x+«lnx.

x

意见者）中随机抽取6人进一步征询意见，再从这6人中随机抽取3人参加市里的座谈，

记抽取参加座谈的3人中年龄在[25,35）的人数为X,求X的分布列和数学期望.（1）若々＜2,证明：当X£[l,+oo）时,/（x）W。；

（2）若/（x）存在两个极值点X（内＜/）且aNg，求/（』）一/'（公）的最大值.

19.（本小题满分12分）

请在22、23二题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分。

如图，四棱锥P—A5CD的底面A8CO是等腰梯形，AB//CD,BC=CD=\,22o（本小题满分10分）选修4-4:坐标系与参数方程选讲。

AB=2.是等边三角形，平面BBC_L平面ABC。，点用在棱PC上.在直角坐标系xQy中，曲线c的参数方程为卜=：右々$"（9为参数），直线/的参数方

（1）当M为棱PC中点时，求证:AP_L8W；[y=2sinG

3

（2）是否存在点M使得二面角的余弦值为一,程为上百+,cosa,«为参数）.

4

[y=1+/sma

若存在，求CM的长；若不存在，请说明理由.

（1）求C和/的直角坐标方程；

（2）若曲线C截直线/所得线段的中点坐标为（石,1）,求/的倾斜角.

20.（本小题满分12分）

已知椭圆C:[+==1（。＞8＞0）的离心率为如，23.（本小题满分10分）选修4—5:不等式选讲。

短轴长为2，O为坐标原点.

4-b~3设函数/（幻=4一|2x+a|一|2.K-l|.

（1）当。=2时，求不等式,f@）Nx的解集；

（1）求椭圆。的标准方程:

（2）若〃幻£2,求”的取值范围.

（2）直线/与椭圆C交于48不同两点，线段45中点在圆V+y2=i上求.OB面积

的最大值.

r'C41

p(X=l)=rir2,=—=1,?(x=2)=

2022届旧高考数学(理)开学摸底测试卷10C：205

答案

1—12BCCDABCADDCA则X的分布列为

X3

712

13o614.-I5o516o[e'+oo)

913J1

P

555

17o解：(1)由题意,(a+/?)(sinA—sinA)=(c-J^〃)sinC,

(a+b)(a—b)=a2-b2=c2-y/3bc,即b1+c2—a2=yf3hc»

.•・X的数学期望是E（X）J+半+?=詈2

cosA=-+c.在MBC中，Ae(0,^),.\A=—

2bc2bc2619.证明：（1）连结AC,由题意，底面A8CD是等腰梯形且A8=2,3C=CD=1,则

(2)-：a=2,且$汕氏$汕4,$汕(7成等差数列，由正弦定理得〃+c=2a=4,

ZABC=-，由余弦定理知AC=6,...AC2+BC2=AB2，.二ZACB=-,/.AC±BC.

32

4Zr+c~-aS+cf-Ibc-a116-2hc-4_V3

又由(1)知4=一,/.cosA=---------

62bc2bc2bc--V・・・平面PBC_L平面ABC。,平面尸8C0平面ABCD=BC,.\AC±平面PBC,

•・•8A/u平面P8C,.,.ACJ_8Vf,M为棱PC中点，且APBC是等边三角形,JLPC,

bc=12(2-5，A4BC的面积SMHC="s；A=l2_^)

x=3(又・・・PCnAC=C，平面APC,.•.APJ.BM。

3

18.解：⑴由题意，8+15+20+12+a=65，.•"=10。（2）假设存在点〃使得二面角。一MB-C的余弦值为，。

4

8152012a,,_“1。

——十——+——+——+—=65,H即r10+25+25+20+—=100,.'./?=0.5由题意过点P作PO上BC交BC于点O,Q平面PBC_L平面ABCD、

0.80.60.80.6hb

.•.。。_1_平面46。。，取A5中点E,连结OE,则OE7/C4,由（1）知OE_L平面P8C,

（2）年龄在区间［25,35）的居民共有2（）人，年龄在区间［35,45）的居民共有1（）人，按分层抽样

所以以。为原点，以。C,OE,OP所在直线为x,y,z轴建立如图所示的空间直角坐标系

抽取6人，则共有4人年龄在［25,35）内。则X的可能取值为1,2,3

y

ULIUiaj。优，％)，

设CM=tCP（0<r<l）,则用（f）。

y=kx+m/o\oo

由2323，得（3A~+l）x~+6A77优+3〃/一3=0,

uuiin__]J3J3uin3J3

DM=（—r—03=（-二，-20）

22222

6km3m2-3

设平面0MB的一个法向量为i=(x,y,z),则则％+当

2

1.掰=一火工一旦+£z=0A=36代疗_12（病一1）（3公+1）=12（3-+l-m）>0

22'2

3km3k2mm

所以为=一定17，yo=kx»+m=~—；---Fm=—I—

rnum3Ji1-t-2rr-t-22

a-DB=——x----y=0,令x=6，贝Uy=-3,z=----a=（v3,-3,------）3代+13k+\

22ft

3kmm代入V+y2=i,得病=（3^+1）,

I将一

易知平面MBC的一个法向量为b=(0,1,0)，则38+1'3k2+19/+1

,rr..ab33=3,则仁却二4,曰二此时A=l2.+>*=叫"-霁苧二笔/11〉。

Icos<a,b>|=-F

\a\\b\^3+9+（—）24tt

又因为|AB|=\J\+k2-J。]-4X]Xj=J1+为•]\j3k'+\-m

2uuir2uur2

即f=；CM=|CM|=j|CP|=|

加I

12原点到直线/的距离d=-F=

20。解：（1）由题意知e=£=逅，得。2=2/,b=-cr=\,：,a=3J1+公

a333

所以悬xE7.羔，"、「苏

椭圆C的标准方程为—+y2=l.

3

3尸+1

V3

(2)当直线/的斜率不存在时，=舞.+1-帚=何+1

3k申

令*=±1,得)，=土当，S,MOR=；X1X^=手,

_弥3如+1）•迷|A|

9公+1

当直线/的斜率存在时，设直线/方程为y=匕•+〃必工0),4(5/),4(%,)，2)，弦中点

公(3公+1)]________所以g(x)在(0,"。)为单调递减函数

=3隹=3&

(3公+if+12公(3公+1)+36Z33/+1~~~

而g⑴=0,所以当xc[l,+oo)时，有gtx)<0,即当x«l,+oo)时，/(上)工。成立.

<35/2____=3g4=B(2)f(x)的定义域为(0,+00)J'(x)——7一1———*---二—。

36公°V242rX厂

3&3

所以当时，/一6+仁0有两个正根即/(x)存在两个极值点.

犁二，即以2=3/+1时，即忆=土立时取等号。

当且仅当

3k2+13

由于/(X)的两个极值点x»2满足方程/一"+1=0

综上,MOB面积的最大值为由o

2所以百工2=1，X[+M=4,则有耳+,=〃之2，由x<汇2，解得0〈玉工！

x,22

=lx

法一：54408m1

f(内)-f(x2)=--%)+1?InX]--+x2-Inx2

西电,■

2

/o.•>i~.>/33k~+1-tn+nv石

3标+123k?+12

-~—+x9-%.4-6Hn—=2(羽-x.)+(x,+x.)In—

xAx2-x2x2

a

当且仅当3公+1=2病时,即女2=1时，即％=±±时取等号.

3=2(---Xj)+2(—FXj)InXj

综上,/SAOB面积的最大值为B。

2令/z(x)=2(——x)+2(—+x)lnx,0<x<—.

xx2

21.解：(1)当xe[l,+=o)时，lnx>0,故当a42时，/(x)<--x+2lnx,

X那么〃'(jOMZjl-D+Za-Zvnx+ZCr+LjJQvxvL

厂jrxx2

所以只需证g(x)=——工+21nx40即可。

x