2022届上海市黄埔区高考冲刺数学模拟试题含解析

2021-2022高考数学模拟试卷

注意事项

1.考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.

2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.

3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.

4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑：如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他

答案.作答非选择题，必须用05亳米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.

5.如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.《九章算术》有如下问题：“今有金睾，长五尺，斩本一尺，重四斤；斩末一尺，重二斤，问次一尺各重几何?”意思

是：“现在有一根金第，长五尺在粗的一端截下一尺，重4斤；在细的一端截下一尺，重2斤，问各尺依次重多少？”

按这一问题的颗设，假设金簟由粗到细各尺重量依次成等差数列，则从粗端开始的第二尺的重量是（）

775一

A.7■斤B.二斤C.一斤D.3斤

322

2.执行如下的程序框图，则输出的S是（）

A.36B.45

C.-36D.-45

3.已知函数〃x）=a，关于x的方程r（x）+（m+l）/（x）+加+4=0（加WR）有四个相异的实数根厕，〃的取值范围

是（）

A-3，-e-。)B.(T-3)4

-e----,-oo

e+l

4.已知集合A=W/亚二耳，8=3号则ANN）

B.[-1,应]C.(-1,忘]D.[-V2,V2]

5.AA3C的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知。=出泪=1,5=30,则4为（）

A.60。B.120JC.60或1500I).60或120”

6.如图在直角坐标系xOy中，过原点。作曲线y=f+1（x20）的切线，切点为p,过点P分别作x、N轴的垂线,

垂足分别为A、B,在矩形Q4P3中随机选取一点，则它在阴影部分的概率为（）

1、1

A.—>-B.7f,rn>l

mn

C.In(jn-n)>0D.仍严〉组〃

22

8.在［+J］（2x+1）3展开式中的常数项为（）

A.1B.2C.3D.7

9.在AABC中，OA+OB+OC=6>AE=2EB>|AB|=/1|AC|,若A瓦前;=9而>•或，则实数4=()

A,也B0C.也D.男

3232

z=3则|z|=(

10.i是虚数单位，)

1-1

A.1B.2C.近D.272

22

rv

11.已知双曲线C：r-==l（a>0力>0）的左,右焦点分别为百，工，O为坐标原点，P为双曲线在第一象限上

a'b~

的点，直线尸O,PF2分别交双曲线C的左，右支于另一点MN,若归用=3忸用，且NM&N=60,则双曲线的

离心率为（）

A.立B.3C.2D.五

22

12.已知等比数列｛《,｝的前〃项和为S”，且满足2s“=2向+几，则尤的值是（）

A.4B.2C.-2D.-4

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为5:5:4,现按年级采用分层抽样的方法抽取若干人，若抽取的高

三年级为12人，则抽取的样本容量为人.

14.如图，四面体ABCQ的一条棱长为x,其余棱长均为1,记四面体ABCO的体积为“（X）,则函数b（x）的单调

增区间是一;最大值为.

15.已知a>0,b>0,c>4,且a+匕=2,则竺+£一£+卫-的最小值为.

bab2c-2

16.已知双曲线f一=is>0）的一条渐近线为y=2x，则焦点到这条渐近线的距离为

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（12分）已知函数/•（%）=（r+一一"），其中aeH.

（1）当a=0时，求外力在0J。））的切线方程;

（2）求证：/（力的极大值恒大于0.

18.(12分)已知/(x)=2|x+l|,g(x)=|x—3].

⑴解了(x)2g(x)；

(2)若|2°一目41,证明：F(a)+g(b)>4.

19.(12分)已知{4},{2}均为正项数列，其前〃项和分别为S”，T.，且q=；,4=1,4=2,当〃22,neN*

1H.s,9,2((：-巩)

时，S,i=l—2a“，bn=—^~-一27；,,,.

(1)求数列｛%｝,｛4｝的通项公式;

(h+2)«

(2)设%=/+；，求数列｛c.｝的前〃项和2.

20.(12分)已知函数/(x)=lnx+[a-;Jx2-2ax,aeR.

(1)讨论/(x)的单调性；

(2)若/(%)在定义域内是增函数，且存在不相等的正实数.々，使得/(%)+/(与)=-3,证明：X,+X2>2.

21.(12分)对于非负整数集合S(非空)，若对任意x,ywS,或者x+yeS,或者|x-y|wS,则称S为一个好集

合.以下记同为S的元素个数.

(1)给出所有的元素均小于3的好集合.(给出结论即可)

(2)求出所有满足网=4的好集合.(同时说明理由)

(3)若好集合S满足|5|=2019,求证：S中存在元素加，使得S中所有元素均为加的整数倍.

22.(10分)车工刘师傅利用数控车床为某公司加工一种高科技易损零件，对之前加工的100个零件的加工时间进行

统计，结果如下：

加工1个零件用时X(分钟)20253035

频数(个)15304015

以加工这100个零件用时的频率代替概率.

(D求X的分布列与数学期望EX;

(2)刘师傅准备给几个徒弟做一个加工该零件的讲座，用时40分钟，另外他打算在讲座前、讲座后各加工1个该零

件作示范.求刘师傅讲座及加工2个零件作示范的总时间不超过100分钟的概率.

参考答案

一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1.B

【解析】

依题意，金肇由粗到细各尺重量构成一个等差数列，q=4则%=2,由此利用等差数列性质求出结果.

【详解】

设金簿由粗到细各尺重量依次所成得等差数列为｛为｝,设首项6=4,则为=2,.•.公差"=与二三=泻=-4，

5—15—12

,7

a2=at+a

故选B

【点睛】

本题考查了等差数列的通项公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.

2.A

【解析】

列出每一步算法循环，可得出输出结果S的值.

【详解】

i=l<8满足，执行第一次循环，S=0+(-l)'xl2=-l,i=l+l=2；

i=2K8成立，执行第二次循环，S=—1+(—1)2*22=3,i=2+l=3；

i=3W8成立，执行第三次循环，5=3+(-1)3X32=-6,Z=3+1=4；

i=4«8成立，执行第四次循环，S=-6+(-1)4X42=10,Z=4+1=5；

i=5«8成立，执行第五次循环，S=10+(-1)5X52=-15,Z=5+1=6；

i=6W8成立，执行第六次循环，S=-15+(-1)6X62=21,/=6+1=7；

i=7V8成立，执行第七次循环，S=21+(-1)7X72=-28,i=7+l=8；

i=8W8成立，执行第八次循环，S=-28+(-1)8X82=36,Z=8+1=9；

i=9W8不成立，跳出循环体，输出S的值为36,故选：A.

【点睛】

本题考查算法与程序框图的计算，解题时要根据算法框图计算出算法的每一步，考查分析问题和计算能力，属于中等

题.

3.A

【解析】

—,x>01/n

/(*)=1=，当x〉()时f(x)=±422=o,x=i,xe(O,l)时J(x)单调递减，xe(l,+a)时J(x)

~—,x<0X~

、X

单调递增,且当工€(0,1)时,/(月€(%+8),当%€(1,+<»)时,/(%)€3+(»),当犬<()时，/<x)=_e恒

成立，xw(—8,0)时,/(x)单调递增且〃X)€(0,+8),方程/(力+(加+l)f(x)+加+4=0(mWR)有四个相异的

实数根.令/(x)=/,*+(m+1)/+m+4=o则

2

0<4<e,t2>e,/.e+(加+1)0+加+4<0,且。2+("?+i)o+"z+4>0,即m€

4.C

【解析】

计算A=[-7I、6],8=(-1,2],再计算交集得到答案.

【详解】

==卜|y=也_尤2}=[一6万|,B={X|^1<O}=(-1,2],故405=(7,&].

故选：C.

【点睛】

本题考查了交集运算，意在考查学生的计算能力.

5.D

【解析】

由正弦定理可求得sinA=且，再由角4的范围可求得角A.

2

【详解】

由正弦定理可知号=上，所以巫,解得sinA=走，又0°<A<180，&a>b,所以A=60°或

sinAsin8sinAsin30"2

120°.

故选：D.

【点睛】

本题主要考查正弦定理，注意角的范围，是否有两解的情况，属于基础题.

6.A

【解析】

y=kx(k>0)

设所求切线的方程为y=H，联立,2'，消去)'得出关于x的方程，可得出△=(),求出Z的值，进而求得

y=x+1

切点P的坐标，利用定积分求出阴影部分区域的面积，然后利用几何概型概率公式可求得所求事件的概率.

【详解】

设所求切线的方程为y=依，则z〉0,

联立消去y得尤2—依+1=0①，由△=/一4=0,解得左=2,

y=x+1

方程①为7一2》+1=0,解得x=l,则点P(l,2),

所以，阴影部分区域的面积为S=J(f+1—2*公=./一彳2+X|>=

o13/3

qI

矩形Q4PB的面积为S'=1x2=2,因此，所求概率为

S6

故选：A.

【点睛】

本题考查定积分的计算以及几何概型，同时也涉及了二次函数的切线方程的求解，考查计算能力，属于中等题.

7.B

【解析】

根据指数函数的单调性，结合特殊值进行辨析.

【详解】

若2，">2">I=2。，.-./n>n>0,故5正确；

而当"?='，"=』时，检验可得，A、C、。都不正确，

24

故选：B.

【点睛】

此题考查根据指数骞的大小关系判断参数的大小，根据参数的大小判定指数嘉或对数的大小关系，需要熟练掌握指数

函数和对数函数的性质，结合特值法得出选项.

8.D

【解析】

求出(2x+l)3展开项中的常数项及含x的项，问题得解。

【详解】

（2x+1）3展开项中的常数项及含*的项分别为:

C；⑴3（2x）°=1,G（2x）'xl2=6x,

所以（1+：）（2X+1）3展开式中的常数项为：Ixl+Jx6x=7.

故选：D

【点睛】

本题主要考查了二项式定理中展开式的通项公式及转化思想，考查计算能力，属于基础题。

9.D

【解析】

将而、就用而、抚表示，再代入福•前=9而・或中计算即可.

【详解】

由砺+0月+。6=6，知。为的重心，

——21一一.1_._.

所以A0=]Xi(A8+AC)=](A5+AC),又屈=2丽，

__________9____9__

所以EC=AC-AE=AC—AB,9AO-EC-3(AB+AC)-(AC——AB)

—>■—>2—2■,rrr*i^i——2——2iIABI13y/^

=ABAC-2AB+3AC=ABAC>所以2AB=3AC，九=7^；=、7=丁

ACV22

故选：D

【点睛】

本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.

10.C

【解析】

由复数除法的运算法则求出z,再由模长公式，即可求解.

【详解】

由z=2,：'）=-l+z,|z|=>/2.

L-I

故选:C.

【点睛】

本题考查复数的除法和模，属于基础题.

11.D

【解析】

本道题结合双曲线的性质以及余弦定理，建立关于a与c的等式，计算离心率，即可.

【详解】

结合题意，绘图，结合双曲线性质可以得到PO=MO,而可。=用。，结合四边形对角线平分，可得四边形尸6M死为

平行四边形，结合NMgN=60°,故居=60°

对三角形片加乃运用余弦定理，得到，耳加2+鸟用2-百鸟2=2.加耳5.cosN耳M鸟

而结合|尸耳|=3俨闾,可得摩|=3a,耳鸟=2c,代入上式子中，得到

/+94_4。2=3。2,结合离心率满足e=£,即可得出e=£=也，故选D.

aa2

【点睛】

本道题考查了余弦定理以及双曲线的性质，难度偏难.

12.C

【解析】

利用S”先求出《，然后计算出结果.

【详解】

4+4

根据题意，当〃=1时，2£=24=4+/1,.・.4=-^-,

故当“N2时，an=S„-S^=2"-',

••・数列｛q｝是等比数列，

则。I=1,故一y-=l,

解得a=一2,

故选C.

【点睛】

本题主要考查了等比数列前〃项和S”的表达形式，只要求出数列中的项即可得到结果，较为基础.

二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。

13.42

【解析】

根据分层抽样的定义建立比例关系即可得到结论.

【详解】

设抽取的样本为〃，

45+5+4

则由题意得三=二二一，解得〃=42.

12n

故答案为：42

【点睛】

本题考查了分层抽样的知识，算出抽样比是解题的关键，属于基础题.

【解析】

试题分析：设=取A8中点M,则CMDWLAB,因此45_L面COM斯以

24

F(x)=--x-S.cnM=—73X-X,XG(0,A/3).因为y=3f-rJe(0,3)在(0,：)单调递增,

332丫44122

最大值为，所以E(x)单调增区间是(0,当)，最大值为:

考点：函数最值，函数单调区间

5石

10.-------

2

【解析】

由2=(竺勿一,先将£+二一，变形为尘土生，运用基本不等式可得最小值，再求

2hah24ab

或c+二反=75f-(c-2)+—+1]的最小值，运用函数单调性即可得到所求值.

2c—22c—2

【详解】

解：因为。>0,h>09C>49且。+/?=2,

所以竺+£，+正=Jy+J___L]+正

bab2c-2\bab2)c-2

_c(2a2+2-ab)器

2abc-2

因为2=("+"),所以2a2+2-H2/+^^--ah

2----------=----------------

lablab

5a2+吩、2小ab逐

-------------〉------------------

4ab4ab2

当且仅当6=后，时，取等号，

丁八4cccy/5(a1V5

所以1-4------4-----=C—+------+-----

bab2c-2\bab2)c-2

c(2a2+2-ab)逐

=---------1---

2abc-2

>——c+----

2c-2

=乔[3(。-2)+工+1]

2c-2

令£=。-2QN2),则否4(c—2)+-J-+l]=g(Lt+1+l),

2c-22t

1111

令f(t)=K+_+S2),则/«)=7_?>0,

2t2t2

所以函数f(t)在[2,+8)上单调递增，

所以/(f)N/(2)=；x2+；+l=g

所以右[』(c-2)+—^-+1]=正(，/+1+1)26乂。=地

2c-22t22

则所求最小值为上好

2

故答案为：正

2

【点睛】

此题考查基本不等式的运用：求最值，注意变形和满足的条件：一正二定三相等，考查利用单调性求最值，考查化简

和运算能力，属于中档题.

16.2.

【解析】

2

由双曲线/一£=1仍>0）的一条渐近线为y=2x,解得〃.求出双曲线的右焦点（c,0）,利用点到直线的距离公式

求解即可.

【详解】

••・双曲线/—斗=Kb>0）的一条渐近线为y=2x=2

解得：b=2.•.。=4方=6

二双曲线的右焦点为（6,0）

..・焦点到这条渐近线的距离为：-^三=2

.Al।个2

本题正确结果：2

【点睛】

本题考查了双曲线和的标准方程及其性质，涉及到点到直线距离公式的考查，属于基础题.

三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

17.（1）y=-x（2）证明见解析

e

【解析】

（D求导，代入。=0,求出在x=l处的导数值及函数值，由此即可求得切线方程；

（2）分类讨论得出极大值即可判断.

【详解】

—一(Q—2)x+2a—(x+a)(x—2)

⑴/(X)=

当。=0时，/'（1）=-,/（1）=-,

则/(X)在(1,7(1))的切线方程为y=：x；

(2)证明：令/(x)=0,解得x=2或x=-“，

①当a=—2时，尸(x)W()恒成立，此时函数“X)在R上单调递减，

函数/(力无极值；

②当。>一2时，令/'(x)>0,解得一a<x<2,令/'(x)<0,解得x<-“或A>2,

函数/(x)在(一。,2)上单调递增，在(f,—。)，(2,上单调递减，

〃-1-4

(X)极大值=/⑵=-T->0；

③当a<—2时，令/'(x)>0,解得2<x<—a,令/'(x)<0,解得x<2或x>—a,

函数/(x)在(2,-。)上单调递增，在(-8,2),(-a,用)上单调递减，

•••/(”极大值=〃一

综上，函数/(力的极大值恒大于0.

【点睛】

本小题主要考查利用导数求切线方程，考查利用导数研究函数的极值，考查分类讨论的数学思想方法，属于中档题.

18.(1)(-=o,-5]U⑵见解析•

【解析】

(1)在不等式2卜+1|之k-3|两边平方化简转化为二次不等式，解此二次不等式即可得出结果；

(2)利用绝对值三角不等式可证得/(«)+ge)24成立.

【详解】

⑴•.1/(x)=2|x+l|,g(L)=|x-3|,由(力得2卜+1隹卜-3|,

不等式两边平方得(2X+2)2N(X—3)2,即(3X-1)(X+5)2。，解得XW—5或XN；.

因此，不等式/(同欠⑴的解集为(-s，-5]U；,+"

(2):.-\<2a-h<\,

由绝对值三角不等式可得/(a)+g®=|2a+2|+|b_3闫(2。+2)_e_3)|=3_8+5|22。_/?+5之一1+5=4.

因此，f(a)+g(b)>4.

【点睛】

本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了利用绝对值三角不等式证明不等式，考查推理能力与运算求解能力，

属于中等题.

19.⑴■小，…⑵匕=1-品西

【解析】

(1)S,-=1一2%(”..2),所S.=l—2q用，两式相减，即可得到数列递推关系求解通项公式，由

2TT

(n-L)藜理俎2(7；-射)(7；+7；_1)2d(4+小)2｝省

b,=；-2T“产T「加(〃..2),整理得---------------------------T„+11(〃一2),得

b〃_1+b〃_\2+]+2+1+2T

至-勿=2儿.2),即可求解通项公式；

,(〃+2)12(n+l)-n1114,皿，一乙“一八

⑵由⑴可知'.环=三一？^百,即可求得数列匕，｝的前〃项和心

【详解】

(1)因为S,i=l-2a“(〃..2),所S.=l-2a,m，两式相减，整理得与_]=ga"(〃..2),当〃=2时,

S.=a.=—=1—2a)解得=—=—a.

29429

所以数列｛为｝是首项和公比均为;的等比数列，即4,=5，

2(叶-%)

因为仇—211=(一11(〃一2),

2亿一小)⑵+兀)_2d(<+如)_

整理得l

一n十4-1(儿•乙)，

或M+2-I

又因为2>0,所以为>0,所以AJ=1(〃-2),即%—2=以一%(〃..2),因为伪=1也=2,所以数列

也,｝是以首项和公差均为1的等差数列，所以勿=〃;

(〃+2)1_2(n+1)-»J__11

(2)由(1)可知，%=

n2+n2"n(n+1)2"~n-T-'(n+1)-T

Pn=］一丁力+|丁方—丁瓦+-.+|―^77»即=r*.

I2x2J12x23x27(n+1n)-2)(n+l)-2

【点睛】

此题考查求数列的通项公式，以及数列求和，关键在于对题中所给关系合理变形，发现其中的关系，裂项求和作为一

类常用的求和方法，需要在平常的学习中多做积累常见的裂项方式.

20.(1)当aW：时，“X)在(0,1)上递增，在(1,也)上递减；

当g＜a＜l时，/(x)在(0,1)上递增，在［1,五匕［上递减，在1Tzi,+"上递增；

当4=1时，/(力在(0,+。)上递增；

当4＞1时，/(X)在(o,上递增，在UplJ上递减，在(1,位)上递增；

(2)证明见解析

【解析】

(1)对“X)求导，分a=。=1进行讨论，可得“X)的单调性；

(2)/(x)在定义域内是是增函数，由⑴可知〃=1,/(x)=lnx+1x2-2x,设玉＜%，可得

/.(方)+/(工2)=-3=2/(1),则0＜玉＜1＜々，设g(x)=/(2-x)+/(x)+3,xe(O,l),对g(x)求导，利用其单

调性可证明玉+々＞2.

【详解】

解：/(x)的定义域为(0,+。),

因为/(%)=lnx+

g”、1/、2

所以/[x)=上+(2a—1)X—2a=(-2-a----i]-x-----2-a-x-+--\=——-------<——，

XXX

当马时，令凰?得。令，；)升得x"

/(x)>01

当!＜。＜1时，则」一＞1,令\V7,得Ovxvl,或-----

22a—1x>02a-1

r（尤）<01

,得1cx<

龙〉02a—1

当a=l时，r(x)>0,

1f/7x)<01

当。>1时，则0<----<1,令(JV7,得-----<X<1；

2。-1[x>02a-l

综上所述，当时，/(X)在(0,1)上递增，在。,内)上递减；

当3<。<1时，/(》)在(0,。上递增，在上递减，在Up+s]上递增;

当"1时，"X)在(0,+8)上递增；

当4>1时，“X)在(0,五二，上递增，在(止pj上递减，在(1,m)上递增；

(2)/(x)在定义域内是是增函数，由(1)可知。=1,

此时/(X)=Inx+gd-2%,设玉<々，

又因为/(4)+/(与)=-3=2/(1),则0<演<1<电，

设g(x)=〃2-x)+/(x)+3,xe(O,l),则

g，(x)=_r(2_x)+/'(x)=_^i+^^-=^^?>0对于任意xe(0,l)成立,

2-xxx[2-x)

所以g(x)在(0,1)上是增函数，

所以对于Vxe((),l),有g(x)<g(l)=2/(l)+3=0,

gpVxe(O,l),</(2-x)+/(x)+3<0,

因为0<%<1,所以/(2—玉)+/(玉)+3<0,

即/(幻>/(2-尤3又f(x)在(0,+。。)递增,

所以马>2—斗，即？+为>2.

【点睛】

本题主要考查利用导数研究含参函数的单调性及导数在极值点偏移中的应用，考查学生分类讨论与转化的思想，综合

性大，属于难题.

21.(1){0},{0,1},{0,2},(0,1,2}.(2)[0,b,