高中物理-机械振动课件

振动讲座高中物理-机械振动目录绪论单自由度系统多自由度系统随机振动连续体振动高中物理-机械振动绪论机械振动的研究对象、意义数学准备和运动学高中物理-机械振动绪论机械振动的研究对象、意义振动，是指物理量在它的平均值附近不断地经过极大值和极小值而往复变化的过程。机械振动指机械或结构在它的静平衡位置附近的往复弹性运动。机械振动研究的对象是机械或结构，即具备质量和弹性的物体。在理论分析时，需要把机械或结构按照力学原理，通过数学建模，抽象为力学系统（又称为数学模型）。可以产生机械振动的力学系统称为振动系统。高中物理-机械振动振动系统三要素及其关系振动系统的三要素：激励、系统和响应外界对振动系统的激励或作用，称为振动系统的激励或输入。系统对外界影响的反映，称为振动系统的响应或输出。二者由系统的振动特性相联系。高中物理-机械振动三种基本振动问题响应分析：在扰动条件和系统特性已知的情形下，求系统的响应系统识别：分析已知的激励与响应，确定振动系统的性质环境预测：已知振动系统和在未知激励下的响应，研究该未知激励的性质高中物理-机械振动响应分析车辆在给定的路面上行走，求车身的加速度响应高中物理-机械振动工程提法：系统设计在一定的激励条件下，如何来设计系统的特性，使得系统的响应满足指定的条件。高中物理-机械振动系统识别方法：以某种已知的激振力作用在被测振动系统上，使其产生响应，根据已知的激励和测量得到的响应量值，进而根据一定的分析方法（模态分析），确定系统的振动参数，如：质量矩阵，刚度和阻尼矩阵以及系统的振型和固有频率向量。模态试验高中物理-机械振动环境预测例：振源判断、载荷识别、基于振动信号的工况监视与故障诊断。例：用五轮仪来测量路面的不平度对于五轮仪，其系统特性已知，通过测量五轮仪的输出，可以反推出路面的不平度特性。高中物理-机械振动机械振动的作用消极方面：影响仪器设备功能，降低机械设备的工作精度，加剧构件磨损，甚至引起结构疲劳破坏。积极方面：利用振动性能的设备高中物理-机械振动机械振动的破坏作用颤振：大气紊流和其他振源都会使飞机等飞行器产生振动（舒适性，机载仪表）自激振动：输电线的舞动1940年美国塔可马(TacomaNarrows)吊桥在中速风载作用下，因桥身发生扭转振动和上下振动造成坍塌事故1972年日本海南的一台66×104kW汽轮发电机组，在试车过程中发生异常振动而全机毁坏；步兵在操练时，不能正步通过桥梁，以防发生共振现象造成桥梁坍塌高中物理-机械振动机械振动的积极作用共振放大利用颗粒的振动进行清洗，抛光，零件去毛刺；利用振动减小零部件之间的摩擦阻力和间隙高中物理-机械振动学习机械振动的意义进行结构动强度设计的需要消除有害的振动利用振动有利的一面是学好相关知识的基础高中物理-机械振动离散系统的基本元件机械振动系统：惯性元件，弹性元件，阻尼元件，外界激励。通常用物理量：质量M，刚度K，阻尼C，和外界激励F表示。高中物理-机械振动振动分类按系统分：线性系统和非线性系统离散系统和连续系统确定性系统和随机系统按激励分：自由振动受迫振动自激振动参数共振高中物理-机械振动振动分类按响应分：简谐振动周期振动非周期振动随机振动按自由度分：单自由度振动多自由度振动连续体振动高中物理-机械振动运动学一、简谐运动按时间的正弦函数(或余弦函数)所作的振动振幅相位初相位圆频率高中物理-机械振动运动学简谐振动的速度和加速度位移速度加速度大小和位移成正比方向和位移相反，始终指向平衡位置高中物理-机械振动运动学拍不同频率振动的叠加频率接近于相等时拍的频率：每秒中振幅从最小值经过最大值到最小值的次数拍的圆频率：w1-w2高中物理-机械振动运动学简谐振动的复数表示复平面上的一点z代表一个矢量使该矢量以等角速度w在复平面内旋转（复数旋转矢量）wtPA实轴虚轴高中物理-机械振动运动学速度、加速度的复数表示位移速度加速度对复数Aeiwt每求导一次，相当于在它的前面乘上一个iw，而每乘上一个i，相当于把这个复数旋转矢量逆时针旋转p/2高中物理-机械振动运动学谐波分析把一个周期函数展开成傅立叶级数，亦即展开成一系列简谐函数之和一般的周期振动可以通过谐波分析分解成简谐振动高中物理-机械振动运动学谐波分析傅立叶级数w1:基频高中物理-机械振动谐波分析两个频率相同的简谐振动可以合成一个简谐振动把谐波分析的结果形象化：An，jn和w之间的关系用图形来表示，称为频谱高中物理-机械振动单自由度系统自由振动简谐振动非周期强迫振动高中物理-机械振动自由振动振动系统在初始激励下或外加激励消失后的运动状态。自由振动时系统不受外界激励的影响，其运动时的能量来自于初始时刻弹性元件和惯性元件中存储的能量。振动规律完全取决于初始时刻存储的能量和系统本身的性质。高中物理-机械振动运动微分方程

振动系统在初始激励下或外加激励消失后的运动状态。自由振动时系统不受外界激励的影响，其运动时的能量来自于初始时刻弹性元件和惯性元件中存储的能量。振动规律完全取决于初始时刻存储的能量和系统本身的性质。高中物理-机械振动运动微分方程

运动微分方程高中物理-机械振动运动微分方程

解

高中物理-机械振动运动微分方程

单自由度系统无阻尼自由振动是简谐振动

高中物理-机械振动能量关系

意义：惯性力的功率Fm与弹性力的功率Fs之和为零

高中物理-机械振动能量关系

高中物理-机械振动能量关系

Rayleigh商

动能系数高中物理-机械振动阻尼自由振动

方程

高中物理-机械振动阻尼自由振动

解

特征方程临界阻尼高中物理-机械振动阻尼自由振动

特征方程解

高中物理-机械振动阻尼自由振动

方程的通解

三种情况

>1，相异实根。阻尼大于临界阻尼。强阻尼

=1，重根。阻尼等于临界阻尼

<1，共轭复根。阻尼小于临界阻尼，弱阻尼，高中物理-机械振动阻尼自由振动

>1

=1高中物理-机械振动阻尼自由振动

<1阻尼固有频率高中物理-机械振动阻尼自由振动

对数衰减率高中物理-机械振动简谐强迫振动

方程解高中物理-机械振动简谐强迫振动

系数高中物理-机械振动简谐强迫振动

放大系数01234X/A

0.51/

n10.70.40.30.2高中物理-机械振动012310.70.50.20.1简谐强迫振动

相频特性高中物理-机械振动简谐强迫振动

全解高中物理-机械振动简谐强迫振动

全解振动计01234675012ABCy0/a0w/wn位移测量计扰动频率大于仪器的固有频率（B点），记录的振幅逐渐接近于扰动频率的振幅仪器的固有频率应该比要记录测量的频率低2倍当振动包含高阶频率时，不影响位移振动计的测量高中物理-机械振动简谐强迫振动

振动加速度计01234675012ABCy0/a0w/wn振动加速度计的固有频率应该是所记录测量的最高频率的2倍以上高中物理-机械振动简谐强迫振动

振动加速度计－振幅r0/aw/wn00.250.500.751.001.251.501.752.0000.51.01.52.0c/cc=0抛物线c/cc=0.5c/cc=0.7为了避免高阶谐振共振影响振动加速度计工作，必须在振动加速度计中加入阻尼0.5和0.7临界阻尼比无阻尼曲线更接近理想加速度计曲线高中物理-机械振动简谐强迫振动

振动加速度计-相位12300306090180jw/wnc/cc=0c/cc=0.125c/cc=0.20c/cc=0.50c/cc=1120150当阻尼在0.5-0.7临界阻尼之间时，相位差特性曲线很接近低于共振区域的对角线：相位差近似正比于频率，记录的波的合成与实际波相同。高中物理-机械振动简谐强迫振动

振动的隔离原理k通过弹簧传给下层结构的力？012345-1－2-3-41x0/xstABCw/wn可传性高中物理-机械振动简谐强迫振动

振动的隔离原理:阻尼w/wn隔振系数10201230.250.50.5c/cc=0w/wn<1.41区域中，阻尼使隔振系数减小(但仍然比1大)阻尼的存在使隔振系数更坏？阻尼的存在可以有效防止共振阻尼的不利效应可以很容易通过使弹簧变得更软来弥补高中物理-机械振动非周期强迫振动

脉冲力t=

时的单位脉冲力重要性质：F(t)在t=

连续，则有高中物理-机械振动非周期强迫振动

系统的单位脉冲响应条件：t=0以前系统静止，t=0时刻受到一个单位脉冲力作用

解为单位脉冲响应h(t)=0t<0

高中物理-机械振动非周期强迫振动

卷积极分把任意激励F(t)看成一系列脉冲函数的叠加

定解问题解高中物理-机械振动多自由度系统多自由度系统振动方程固有振动动力响应分析高中物理-机械振动多自由度系统振动方程

例高中物理-机械振动多自由度系统振动方程

x

={x1，x2}Tf(t)={f1(t)，f2(t)}T高中物理-机械振动多自由度系统振动方程

质量矩阵，阻尼矩阵，刚度矩阵的性质对称性正定性耦合惯性耦合阻尼耦合弹性耦合耦合的消除高中物理-机械振动固有振动

2反向运动例：对称系统，特殊初始条件下的振动1同向运动x1(0)=x2(0)=x0，

x1(0)=x2(0)=x0

高中物理-机械振动固有振动

高中物理-机械振动固有振动

3任意初始条件分解为两个初始条件高中物理-机械振动固有振动

数学提法方程特征值问题频率方程K

=ω2M

|kij

ω2mij|=0解为固有频率ω1≤ω2≤，…，≤ωn振型

1，

2，

…，

n固有频率矩阵

=diag(ω1，ω2，…，ωn)振型矩阵

={

1，

2，…，

n}K

=

{K

1，K

2，…，K

n}={ω12

1，ω22

2，…，ωn2

n}高中物理-机械振动固有振动

振型的正交性当r≠s时，如果ωr≠ωs，则有可证：振型之间线性无关可定义以刚度矩阵和质量矩阵为权的内积即：振型之间彼此以刚度矩阵和质量矩阵为权正交<x,y>K=xTKy,<x,y>M=xTMy当y=x时<x,x>K=xTKx,<x,x>M=xTMx高中物理-机械振动固有振动

振型正交性的物理意义如果x=ar

r+as

s则½xTKx=½ar2

rTK

r+½as2

sTK

s高中物理-机械振动固有振动

振型归一化1令2令

r的某一分量为1。比如取

r

的分量中绝对值最大的分量为1，高中物理-机械振动固有振动

振型坐标的解耦性阻尼矩阵的处理

Rayleigh阻尼

C=αM+βK

Fawzy证明C可对角化应满足下述条件之一高中物理-机械振动固有振动

方程特征方程令x=

e

tn对共轭复根高中物理-机械振动动力响应分析

物理坐标下的方程x=

y，且两边左乘

T，得到振型坐标下的方程写出分量形式高中物理-机械振动动力响应分析

初始条件的处理两边左乘

TM同样高中物理-机械振动动力响应分析

展开定理弹性力位移高中物理-机械振动复模态分析

方程引入辅助方程令状态空间方程高中物理-机械振动复模态分析

令q=

e

t特征方程n对共轭复根高中物理-机械振动复模态分析

由得到n对2n维共轭向量(特征向量)并有称

r为第r阶模态向量

高中物理-机械振动复模态分析

令则这里称：

为复模态矩阵

为特征向量矩阵

为频率矩阵

高中物理-机械振动复模态分析

复特征向量的正交性r，s=1，2，…,n高中物理-机械振动复模态分析

上面公式展开得r，s=1，2，…,n高中物理-机械振动复模态分析

分块有高中物理-机械振动复模态分析

分块有高中物理-机械振动复模态分析

复模态质量复模态参数复模态刚度r=1，2，…,n复模态阻尼并有r=1，2，…,n高中物理-机械振动复模态分析

复模态阻尼衰减系数复模态固有频率r=1，2，…,n复模态阻尼比并有复模态阻尼固有频率高中物理-机械振动复模态分析

物理坐标下的方程q=

y，且两边左乘

T，得到复特征向量坐标下的方程初始条件高中物理-机械振动复模态分析

物理坐标下的自由振动解特征向量坐标下的解为由q=

y中取出前n项，得高中物理-机械振动复模态分析

如果系统以某阶阻尼固有频率振动时，有其中第s个坐标的运动为设则高中物理-机械振动复模态分析

一般粘性阻尼系统以r阶主振动做自由振动时，每个物理坐标的初相位(

sr＋

r)不仅与该阶主振动有关，还与物理坐标s

有关，即各物理坐标初相位不同。因而，每个物理坐标振动时并不同时达到平衡位置和最大位置，即主振型节点（线）是变化的，即不具备模态保持性，主振型不再是驻波形式，而是行波形式。这是复模态系统的特点高中物理-机械振动复模态分析

简支梁二阶振型半个周期内的变化（a）实模态系统；（b）复模态系统高中物理-机械振动连续体振动杆的纵向振动轴的扭转振动梁的弯曲振动高中物理-机械振动杆的纵向振动

假定：细长等截面杆,振动时横截面仍保持为平面，横截面上的质点只作沿杆件纵向的振动，横向变形忽略不计。则同一横截面上各点在x方向作相等的位移。参数：杆长l，截面积S，材料密度

，弹性模量E高中物理-机械振动杆的纵向振动

高中物理-机械振动杆的纵向振动

微元分析：高中物理-机械振动杆的纵向振动

高中物理-机械振动杆的纵向振动

高中物理-机械振动杆的纵向振动

解：设u(x,t)=X(x)·T(x)即

高中物理-机械振动杆的纵向振动

解为时间域，初值问题空间域，边值问题固支边条件x=0时，u(0,t)=X(0)·T(x)=0，即X(0)=0x=l时，u(l,t)=X(0)·T(l)=0，即X(l)=0自由边条件x=0时,，即

x=l时,，即

高中物理-机械振动杆的纵向振动

例：如果两端固支，有——两端固支杆纵向振动特征方程（频率方程）

这就是两端固支杆纵向振动的各阶频率，相应的各阶固有振型是：

（n=1,2,……∞）（n=1,2,……∞）C2=0显然，C1≠0，故有：

高中物理-机械振动轴的扭转振动

方程

弹性轴轴向坐标x，扭转变形θ(x,t)，单位长度对x轴的转动惯量I(x)，截面抗扭刚度为GJ(x)。

当转动惯量I(x)，截面抗扭刚度GJ(x)与x无关时高中物理-机械振动梁的弯曲振动

方程用分离变量法求解，令

令，则上式为：

高中物理-机械振动梁的弯曲振动

方程边界条件简支高中物理-机械振动梁的弯曲振动

固支自由高中物理-机械振动梁的弯曲振动

固支自由高中物理-机械振动随机振动随机过程相关函数功率谱函数激励响应关系高中物理-机械振动随机过程

样本函数xr(t)t(∞，∞

)

随机函数状态数字特征均值

x=E[X(t)]均方值

x=E[X2(t)]方差E[(X

(t)

x)2]高中物理-机械振动相关函数

相关函数

自相关函数平稳随机过程统计性质、趋势与时间无关

互相关函数

均值、均方值和方差为常数