2022届高考数学考前热身题

2022年高考数学考前热身题

1.如图，在四棱柱尸-/8CD中，底面是为菱形，N4BC=60°,刈，平面/8C3,

E为PD的中点.

(1)证明：BDA-PCx

⑵若PC与平面所成角为。，且tern。另，求二面角P-ZC-E的大小.

【分析】(1)利用线面垂直的判定定理证明8。，平面为C,即可证明结论；

(2)建立合适的空间直角坐标系，求出所需点的坐标和向量的坐标，然后利用待定系数

法求出平面AEC的法向量，由向量的夹角公式求解即可.

【解答】(1)证明：因为四边形488为菱形，

所以8DL4C,

因为孙，平面NBCD,BDc5F®ABCD,

贝又/PANC=/,AP,NCu平面/MC,

故平面PAC,

又尸Cu平面PAC,

所以BDLPC；

(2)解：因为以_1_平面

所以PC在平面/8C。内的射影为/C,

则/尸。为直线PC与平面/BCD所成的角，

设ZC=2,则BD=2百，

1DA

由tern。=2=衣，解得以=1,

设4c的中点为。PC的中点为G,连接OG,贝IJOG〃以,

所以06_1_平面ABCD,

又4c工BD,

故OC,OD,OG两两垂直，

以点O为坐标原点，建立空间直角坐标系如图所示,

1反1

则4(-1，0,0),C(1/0,0),E(-2f~2~f2)9

所以AC=(2,0,0),=号，i),

设平面NEC的一个法向量为7=(x,y,z),

TT2X=。

n=o

er敦

»r1+1

T=LAI-X+z=o

no2-

XF2

令y=l,则z=-V3,

故九二(0,L—V3),

又拓=(0,1,0)为平面RJC的一个法向量，

所以|c°s£,>=牖=篇4

故二面角P-/C-E的大小为60°.

【点评】本题考查了立体几何的综合应用，涉及了线面垂直的判定定理和性质的应用,

二面角的求解问题，在求解有关空间角问题的时候，一般会建立合适的空间直角坐标系,

将空间角问题转化为空间向量问题进行研究，属于中档题.

2.如图，在四棱锥P-N8CZ)中，底面N8CZ)是边长为2的正方形，平面底面N8CQ,

PB=PC=V6.

(1)证明：平面以8_L平面PCD；

(2)已知点M是线段PC的中点，求钝二面角4C的余弦值.

【分析】(1)由已知证明加<LC£>,PDA.CD,ABLPA,求解三角形证明以_LPD,再由

直线与平面垂直的判定可得为，平面PCD,进一步得到平面为8,平面PCD；

(2)由(1)知，PA=PD,又。为40的中点，WPOLAD,可得「。，平面月BCD,

且尸。=会。=1,建立空间直角坐标系，求两平面CAM的法向量，用向量法求钝

二面角N-8/-C的余弦值.

【解答】解：(1)证明：•••底面Z8C。是正方形，.../C8,

•平面底面Z8CZ),且平面以。口底面CDu平面4BCD,

，CD_L平面*。，而4P、P£>u平面

：.APLCD,PDA.CD,

同理/8_L以，

在RtAR48和Rt△尸DC中，由NB=OC=2,PB=PC=V6,

得E4=PD=J(V6)2-22=V2,

又：/。=2,：.PA2+PD2=AD2,得以_LPD,

'：PDHCD=D,.•.以_L平面PCD,而以u平面/MB,

平面R18J_平面PCD；

(2)解：由(1)知，PA=PD,取4)的中点。，连接尸O,在平面内作。ALL4。

；.PO_L4。，；平面以D_L底面/8CD,且平面以。Cl底面48C£)=N。，POu平面以。，

.•.P。_1平面/38,且PO=%Q=1,POLON,

以。为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，

则点/(1,0,0),B(1,2,0),C(-L2,0)P(0,0,1)

11

M(-,1,-),

522

~,TT41TT11

所以AB=(0,2,0),AM=(-5,1,-),CB=(2,0,0),CM=(-,-1,-)

2222

设平面4M8的一个法向量几=（x,y,z）,

贝他.野=0,所以2y=0

31

（九-AB=0―/+y+产=0

令x=l,则y=0,z=3,所以平面4W8的一个法向量£=(1,0,3),

设平面的一个法向量m=（〃，b,c）

则网CB：。，所以詹二。J

Im-CM=0y+2zO'

令c=2,则a=0,b=\,所以平面BMC的一个法向量薪=（0,1,2）,

t、n-m63>/2

所以cos<n，m>=E=?i而rw

，钝二面角A-BM-C的余弦值为一^

【点评】本题考查平面与平面垂直的判定，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用

等体积法求点到平面的距离，是中档题.

3.如图，四面体48CD中，。是2。的中点，△力2。和△BCD均为等边三角形，AB=2,

AC=V6.

（1）求证：/O1.平面BCD；

（2）求二面角的正弦值.

【分析】（1）连接OC,利用正三角形的性质可得40_L8D,再利用勾股定理证明ZO_L

OC,根据线面垂直的判定定理证明即可；

(2)过点。作OELBD于点E,连接/E,由二面角的平面角的定义可得，N4E。即为

二面角Z-8C-D的平面角，在三角形中由边角关系求解即可.

【解答】(1)证明：连接OC,因为为等边三角形，。为8。的中点，

则AOLBD,

因为和△BCD均为等边三角形，。为8。的中点，AB=2,AC=巫,

所以4O=CO=旧，

在△NOC中，AO2+CO2=AC2,

所以/O1_OC,又BDCOC=O,BD,OCu平面BCD,

故"O_L平面BCD；

(2)解：过点。作。于点E,连接/E,

因为平面BCD,

所以/E在平面BCD内的射影为OE,

则AE±BC,

故/NEO即为二面角4-8C-。的平面角，

在RtA^EO中，4。=百，0E=苧，4E=零，

所以sinZJ£O=黑=票=等，

/ic,153

~T~

故二面角A-BC-D的正弦值为学.

【点评】本题考查了线面垂直的判定定理的应用，二面角的求解，主要考查了几何法求

解二面角，解题的关键是正确找到所要求解的二面角的平面角，考查了逻辑推理能力与

化简运算能力，属于中档题.

4.已知点y)是平面直角坐标系上的一个动点，点M到直线x=4的距离等于点M

到点。(1,0)的距离的2倍，记动点/的轨迹为曲线C.

(1)求曲线C的方程；

（2）斜率为1的直线/与曲线C交于48两个不同点，若直线/不过点P（l,设直

线以、尸8的斜率分别为坳，kpB，求31+3B的数值；

（3）设点E为曲线C的上顶点，点P,。是椭圆C上异于点E的任意两点，若直线EP

与EQ的斜率的乘积为常数人（A<0）,试判断直线PQ是否经过定点，若经过定点，请

求出定点坐标；若不经过定点，请说明理由.

【分析】（1）根据题意，设M点坐标，根据题意，列方程化简，即可求得曲线C的方程；

（2）设直线/的方程，联立直线/与曲线C的方程，根据韦达定理及直线的斜率公式，

即可求得kPA+kpB的数值；

（3）由题意可知，直线尸。的斜率存在，设直线尸。的方程，代入椭圆方程，利用韦达

定理及直线的斜率公式表示出kEP，kEQ=人,化简可得直线恒过定点.

【解答】解：（1）因为点M到直线x=4的距离等于点M到点。（1,0）的距离的2倍，

所以1%—4|=-1.+

x2y2

化简可得-74--=1;

43

x2y2

所以，曲线C的方程：—4-7-=1;

43

（2）因为直线/的斜率为且不过P（L各点，设直线/：y=^x+m,*1.

偿+且.=1

联立方程组，4J,得/+妹+相2-3=0.

（y二尸+7n

2

又交点为力（xi,yi）,B（X2，yi）>所以x\+x2=-m,x1x2=m—3,

因为△=川-4（m2-3）>0,所以-2（机<2.

_为一2,及一2_勺-2+0-2）（勺+久2）-2血+3_

噎+叱-赤+口一（勺-1）（久2-1）-

2

m-3+（m-2）（—m）—2m+3_n

所以kpa+kpB的值为0；

（3）直线尸0是否经过定点（0,蹩笔①）•理由如下：

由⑴可知E（0,V3）,

当直线尸0的斜率不存在时，设直线P0的方程：x=xo,则尸（xo,yo）,Q（xo，-泗），

且诏=扣-据）

所以kpE.%E=蚱色二'「3=字=视,显然不满足而E・W，且入＜0，

“x0XQ%o4

若直线P0的斜率存在时，设P0的方程为：y=kx+m,设P(制，产)，Q(x2,").

则"n1整理得(3+4/)/+8痴x+4加2-12=0,

(3xz+4y“-12=0

则XI+%2=8^2,X1-x2=—~~则%+=k(*l+x2)+2m=-6m2'%丫2=

3+4/c3+4/c3+4/c

2

kxxx2+/cm(Xj+x2)+优2——%.

丫2一后_丫1丁2-再（力+。2）+3_

所以直线EP与EQ的斜率的乘积/CEP/EQ=

X1x2X/2

3（m-6）2

4（m-73）（m4-73）

所以既潦=人解得租=粤签’

因此，直线PQ恒过定点（0,学护）,

同3+42)

所以直线P。是否经过定点，且定点为（0,

3-4A

【点评】本题考查直线与椭圆的位置关系,轨迹方程的求法，考查韦达定理及直线的斜

率公式的应用，考查转化思想，计算能力，属于中档题.

5.己知抛物线C：，=4x的焦点为「经过尸倾斜角为60°的直线/与抛物线C交于力,

8两点.求弦的长.

【分析】根据已知条件，结合抛物线的性质，即可求解.

【解答】解：：抛物线C：f=4x,

.•.抛物线的焦点尸（1,0）,p=2,

设点/（X1,yi）,B（X2,y2）9

•••直线/经过F倾斜角为60°,

...直线/的方程为夕=V3（x—1）,

联立方程卜2=一1），化简整理可得，3x2-i0x+3=0,

\y=4x

由韦达定理可得，与+小=学，

".\AB\=\AF\+\BF\=x1+^+x2+^=x1+x2+p=-^-+2=竽.

【点评】本题主要考查抛物线的性质，考查计算能力，属于基础题.

6.作斜率为-1的直线/与抛物线C：丁=2外交于48两点（如图所示），点P（1,2）

在抛物线C上且在直线/上方.

(I)求C的方程并证明：直线R1和P8的倾斜角互补；

(II)若直线处的倾斜角为呛V。，)，求△以8的面积的最大值.

【分析】(I)利用点P在抛物线上，求出p的值，即可得到抛物线的方程，联立直线与

抛物线方程，求出b的取值范围，利用两点间斜率公式以及韦达定理化简如4+价B=0,

即可证明；

(II)先由倾斜角的范围确定直线以斜率的范围，结合(I)中的结论，进一步求解6

的取值范围，由弦长公式求出依引，点到直线的距离公式求出三角形的高，用人表示出三

角形的面积，构造函数/(x)=(^-1)(3-x)2,(-1,3),利用导数研究函数的

单调性，求解函数的最值即可.

【解答】解：(I)因为点尸(1,2)在抛物线C上，

所以22=2pXl,解得p=2,

因此抛物线C的方程为/=4x,

设直线/的方程为y=~x+b,

因为直线/与抛物线C交于4B两点,且点PU,2)在直线/的上方，

所以设力(xi，y\),B(必歹2),且1+2-b>0,即6V3,

由-j+可得/-(2b+4)x+/=0,

V-4%

而由A=[-(26+4)『一4廿=16(b+1)>0,解得b>-1,

因止匕-1V6V3,且xi+x2=2b+4,=b2,

_y「2_一巧一2+b一.2-2+b__(%]_l)_3+b

所以

"+-勺一1+%2一1一%1-1+X2-l_%1-1+

一(%2l)3+b11

=-2+(D(E+I)

%2—1

一X%1+%2-2_%修_x2b+2_2+,2(b+l)(b-3)_

--2+(b-3)xXiX2_(Xi+X2)+1-2+(b367_2—3-(b+l)(b-3)-

0(-