2022届高考人教数学(理)一轮学案：第四节空间中的垂直关系

第四节空间中的垂直关系

I回顾教材•必备知识I自主梳理强化四基

1.基础梳理

1.直线与平面垂直

(1)定义：直线/与平面a内的任意一条直线都垂直,就说直线/与平面a互相垂直.

(2)判定定理与性质定理:

文字语言图形语言符号语言

一条直线与一个平面内的两条

判定定理相交直线都垂直,则该直线与=>/1Q

此平面垂直

ab

垂直于同一个平面的两条直线

L

性质定理=>a//h

平行y

2.直线和平面所成的角

(1)定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的银鱼叫做这条直线和这个平面所成

的角，一条直线垂直于平面，则它们所成的角是直角;一条直线和平面平行或在平面内，则

它们所成的角是0°的角.

(2)范围：0,4

3.平面与平面垂直

(1)二面角的有关概念：

①二面角：从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角:

②二面角的平面角：在二面角的棱上任取一点，以该点为垂足，在两个半平面内分别作

垂直于棱的两条射线,这两条射线所构成的角叫做二面角的平面角.

(2)平面和平面垂直的定义：

两个平面相交，如果所成的二面角是直二面角,就说这两个平面互相垂直.

(3)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：

文字语言图形语言符号语言

b

一个平面过另一个平面的垂线,则

判定定理

这两个平面垂直

两个平面垂直，则一个平面内垂直

性质定理=>/±Q

于交线的直线与另一个平面垂直

拓展总结

1.判定定理的理解

若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面.

a//bfa=/?_La.

2,性质定理

如果两个平面互相垂

a工B,

直，那么过第一个平面

性质尸G£,

内的一点且垂直于第二

定理2Sa

个平面的直线，在第一

=PQUH

个平面内

如果两个相交平面同时

an£=/,

性质垂直于第三个平面，那

XIa_Lr,±y

定理3么它们的交线必垂直于

=>/±y

第三个平面

L四基自测

1.（基础知识：面面垂直性质）下列命题中不正确的是（）

A.如果平面a_L平面夕，且直线/〃平面a,则直线/J_平面夕

B.如果平面a,平面丑，那么平面a内一定存在直线平行于平面”

C.如果平面a不垂直于平面夕，那么平面a内一定不存在直线垂直于平面£

D.如果平面a_L平面平面夕J_平面y,=那么LLy

答案：A

2.（基本方法：线面垂直性质）已知直线m6和平面a,且aX.a,则〃与a的位

置关系为（）

A.bUaB.b//a

C.bUa或b〃aD.。与a相交

答案：C

3.（基本方法：判断线面垂直）设机，〃是两条不同的直线，a,万是两个不同的平面，则

tnVp的一个充分条件是（）

A.a_L£且/HUaB.m//nHnA.p

C.a_L£且加〃aD.且〃〃£

答案：B

4.（基本应用：空间垂直关系的转化与认识）如图所示，在三棱锥V-A8c中，ZVAB^ZVAC

=ZABC=90°,则构成三棱锥的四个三角形中，直角三角形的个数为.

答案：4

5.（基本应用：与射影结合）在三棱锥P-A8C中，点P在平面ABC中的射影为点0.若力

=PB=PC,则点。是△ABC的心.

答案：外

I考点分类•关键能力I专项突破深度剖析

题型一线面垂直的判定与性质＞互动探究

I典例剖析］

［典例］（1）（202「河南商丘模拟）如图所示，用，圆O所在的平面，48是圆。的直径，C

是圆。上的一点，E、尸分别是4在PB、PC上的射影，给出下列结论:

p

®AF1PB；②EFLPB；®AFLBC；④AE_L平面PBC.

其中正确命题的序号是.

详细分析：由以，平面ABC,BCU平面ABC,可得以J_BC,又AB是圆。的直径，C

是圆。上一点，则有8C_LAC,又B4r)AC=A,所以BC_L平面必C,又AFU平面巩C,所

以BC_LAR故③正确；因为ABJ_PC,PCDBC=C,所以A尸，平面尸8C,又PBU平面PBC,

所以AF_LPB,故①正确；因为AEJ_PB,AFA.PB,AEDAF=A,所以PBJ_平面AEF,又EF

U平面4EF,所以PB-LEF,故②正确；由于4尸_1,平面PBC,AFHAE=A,所以AE不与平

面P8C垂直，故④错误.综上可知正确命题的序号为①②③.

答案：①②③

(2)(2020.新高考山东卷节选)

如图，四棱锥P-ABCD的底面为正方形，PD_L底面ABCD设平面PAD与平面PBC的交

线为/.

证明：/_L平面PDC.

证明：因为PD_L底面ABC。，所以PDJ_AD

又底面ABC。为正方形，所以AO_LOC,

所以AQ_L平面PDC.

因为AQ〃8C,AZX平面P8C,BCU平面P8C,

所以A。〃平面PBC.

由已知得/〃40,因此/，平面POC.

(3)

p

如图所示，在四棱锥P-ABC。中，B4_L底面ABC。，AB1AD,ACLCD,NABC=60°,

PA=AB=BC,E是PC的中点.求证：

®CD±AE；

②PO_L平面ABE.

证明：①在四棱锥P-ABCD中，

•.•以_L底面ABC。，CDU底面ABCD,

：.PA±CD.

又：AC_LC。，且公CIAC=A,

.•.CO_L平面aC.：AEU平面PAC,

：.CD±AE.

②由超=AB=BC,NABC=60°,可得AC=%.

：E是PC的中点，AEA.PC.

由①知AE_LCD,JLPCnCD=C,

.•.AE_L平面PCD.

'：PDU平面PCD,：.AE±PD.

•.•BA-L底面A8CQ,ABU底面ABC。，：.PA.LAB.

又•.•A8_LAO,且%nAO=A,

...ABJ"平面PAD.

：POU平面PAD,

C.ABA-PD.

又ABE.

方法总结

证明直线与平面垂直的常用方法

(1)利用线面垂直的判定定理：在平面内找两条相交直线与该直线垂直.

(2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也与这个平面垂直”

(3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则与另一个也垂直

(4)利用面面垂直的性质定理：在平面内找与两平面交线垂直的直线.

［对点训练］

如图所示，S是RtZVIBC所在平面外一点，且&4=SB=SC,。为

斜边AC的中点.

⑴求证:平面ABC；

/D~t

(2)若AB=BC,求证：8。_L平面SAC.

证明：(1)如图所示，取AB的中点E,

连接SE,DE,在RtZXABC中，D,E分别为AC,AB的中点.

：.DE//BC,C.DELAB.

•：SA=SB,：.SE±AB.

大SECDE=E,AB_L平面SDE.

又SOU平面SOE,：.AB±SD.

在中，'：SA=SC,。为AC的中点，：.SD±AC.

又ACCAB=A,；.SQJ•平面ABC.

(2)：AB=BC,：.BD±AC,

由(1)可知，SO-1"平面ABC,又BOU平面ABC,

：.SD.LBD.

又SDPiAC=D,；.8£)-L平面SAC.

题型二平面与平面垂直的判定与性质m

1.(2020・高考全国卷1)如图，。为圆锥的顶点，O是圆锥底面的

圆心,AABC是底面的内接正三角形，尸为。。上一点，NAPC=90°.

⑴证明：平面B48_L平面mC；

(2)设。。=小，圆锥的侧面积为小n,求三棱锥P-ABC的体

详细分析：(1)证明：由题设可知，PA=PB=PC.

由△ABC是正三角形，

可得△巩C&△用B,XPAC乌IXPBC.

又/4PC=90°,故/APB=90°,NBPC=9Q°.

从而PB-LPC,PAHPC=P,

故P8_L平面以C,又P8U平面出8,

所以平面平面PAC.

(2)设圆锥的底面半径为r,母线长为/,

由题设可得”=小，l--r=2,解得r=l,/=巾.

从而.

由(1)可得讯2+PB2=AB2,故执=PB=PC=*,

所以三棱锥P-ABC的体积为

1PA-PB•PC=\x|X(坐)=坐.

2.如图所示，在四棱锥P-ABC。中，底面A8CO为矩形，平面力力_L平面48CC,PAA.

PD,PA=PD,E,尸分别为AD,P8的中点.

⑴求证：PEVBC-,为/

(2)求证：平面出8,平面PCD/j

证明：(1)在△外£>中，PA^PD,E是4。的中点，

：.PE±AD.

•.・平面巩。J_平面ABCD,平面外。C1平面ABCD=AD,PEU平面PAD,，PE_L平面

ABCD.

又8CU平面A8C£>,：.PE±BC.

(2)；底面ABCD为矩形，：.AD±CD.

又平面出。_L平面ABC。，平面%DA平面4BC£>=4。，CDU平面ABC。，

；.C£>J•平面PAD.又以U平面PAD,

：.CD±PA.

又R4_LP。，CD、PDU平面PCD,CDCPD=D,

平面PCD又以U平面PAB,

平面《4B_L平面PCD.

方法总结

1.证明面面垂直的两种常用方法：

(1)用面面垂直的判定定理，即先证明其中一个平面经过另一个平面的一条垂线；

(2)用面面垂直的定义，即证明两个平面所成的二面角是直二面角，把证明面面垂直的问

题转化为证明平面角为直角的问题.

2.已知两个平面垂直时，过其中一个平面内的一点作交线的垂线，则由面面垂直的性质

定理可得此直线垂直于另一个平面，于是面面垂直转化为线面垂直，由此得出结论：两个相

交平面同时垂直于第三个平面，则它们的交线也垂直于第三个平面.

3.应用面面垂直时，其性质定理的条件必须具备，缺一不可.

题型三空间垂直关系的探索与转化〉多维探究

［典例剖析I

类型1探索条件(开放性问题)

［例1］.如图所示，在四棱锥2488中，底面A8C。是NZMB=60°且边长为。的菱形,

侧面物。为正三角形，其所在平面垂直于底面ABC。，若G为A。的中点.

⑴求证：8G_L平面以£>；

(2)求证：AD±PB-,

(3)若E为8C边的中点，能否在棱PC上找到一点凡使平面。平面ABCD?并证明

你的结论.

详细分析：(1)证明：在菱形ABC。中，ND4B=60°,G为AQ的中点，

所以BG1AD.

又平面力。_L平面A8CZ),平面%DO平面A8CZ)=A£>,

所以8G_L平面PAD.

(2)证明：如图，连接PG,因为△出。为正三角形，G为AL>的中点，

所以「G_LAD

由(1)知8Gl又PGCBG=G,所以A£)_L平面PGB.

因为尸BU平面PGB,所以AO_LP8.

(3)当尸为PC的中点时，满足平面DEF1.平面ABCD.

证明：取PC的中点尸，连接DE,EF,DF.

在△PBC中，FE//PB,在菱形ABCO中，GB//DE.

而FEU平面£>EF,CEU平面。EF,EFCDE=E,PBU平面PGB,GBU平面PGB,PB

CGB=B,所以平面。EF〃平面PGA因为8G_L平面B4O,PGU平面外。，所以8G_LPG.

又因为PG_LA£),ADQBG=G,所以PG_L平面ABCD

又PGU平面PGB,所以平面PG8_L平面A8CZ),

所以平面DEF_L平面ABCD.

类型2探索结论(创新问题)

［例2］如图所示，一张A4纸的长、宽分别为2^2a,2a,A,B,

C,。分别是其四条边的中点.现将其沿图中虚线折起，使得尸|,「2,

P3,P4四点重合为一点P，从而得到一个多面体.下列关于该多面体

的命题，正确的是.(写出所有正确命题的序号)

①该多面体是三棱锥；

②平面BM>_L平面BCD；

③平面8AC_L平面ACC；

④该多面体外接球的表面积为5加«2.

详细分析：由题意得该多面体是一个三棱锥，故①正确；'：AP±BP,AP±CP,BPQCP

=P,；.APJL平面BCD

又：APU平面ABD,.•.平面5AQ_L平面BCD,故②正确；同理可证平面3AC_L平面ACD,

故③正确；通过构造长方体可得该多面体的外接球半径/?=坐a,所以该多面体外接球的表

面积为5n/,故④正确.综上，正确命题的序号为①②③④.

答案：①②③④

方法总结

探索垂直关系，常采用逆向思维

一般假设存在线线垂直，所利用的关系常有：

(1)等腰三角形的高、中线与底边垂直.

(2)矩形的相邻边垂直.

(3)直径所对的圆周角的两边垂直.

(4)菱形的对角线垂直.

(5)给出长度，满足勾股定理的两边垂直.

线_L线

/\

面_1,面<-------►线JL面

(6)由已知想性质，由求证想判定，即分析法与综合法相结合寻找证题思路.

I题组突破I

1.如图所示，在四边形ABC。中，AB=AD=CQ=1,8。=啦，B£)_LCD将四边形ABCQ

沿对角线3。折成四面体4-8CD,使平面平面88,则下列结论中，正确的结论个数

是()

①A，C_LB。；

②/BA'C=90°；

③CA'与平面A5O所成的角为30°；

④四面体A'-BCD的体积为4.

A.0B.1

C.2D.3

详细分析：：AB=AO=CD=1,

BD=\[2,：.AB±AD.

•.•平面平面BCD,BDA.CD,平面A'BOC平面BC£)=BZ),

•平面A'BD,

取BO的中点。，连接OA，，0c(图略)，

:A'B=A'D,

.♦.A'O-LBD.

又平面A'8Q_L平面BCD,平面A'BOC平面BCO=8Q,A'OU平面A'B。,

二A'0JL平面8CD^.^8。_LC£),

：.OC不垂直于BD.

假设A'C_LB。，

,：OC为4c在平面BCD内的射影，

：.OC±BD,矛盾，故①错误；

'：CD±BD,平面A'BO_L平面BCD,且平面A'B。。平面BCD=BD,

...(?£>_1平面48。，A'BU平面480,

：.CD±A'B.

；A'B=A'D=\,BD=@,

：.A'B±A'D.

入CDCA'D=D,CD,OU平面HC£）,

/.AzBJ•平面A'CD

又A'CU平面A'CD,

：.A'B±A'C,故②正确；

：NCA'。为直线CA，与平面4B。所成的角，NCA'。=45°,故③错误；

VA，-BCD=VC-A,BO=3SAA'BD,CD=^,故④错误.

答案：B

2.（2020.甘肃诊断）已知长方体4BCD-4BIGQI中，44|=小，AB=4,若在棱AB上存

在点P，使得。iP_LPC,则A£＞的取值范围是（）

A.（0,1]B.（0,2]

C.（1,巾JD.II,4）

详细分析：连接。P（图略），由。iP-LPC,DD4PC,且£＞iP,是平面CAP上两条

相交直线，得PC_L平面。2「，PC±DP,即点P在以CQ为直径的圆上，又点尸在A8上，

则AB与圆有公共点，即0C4OW；CD=2.

答案：B

I回味经典•核心素养I真题再研素养提升

A再研高考，创新思维

1.（2019・高考全国卷III）如图，点N为正方形ABCD的中心，丛ECD

为正三角形，平面EC。J_平面ABC。，M是线段E£＞的中点，则（）

A.BM=EN,且直线BM,EN是相交直线

B.BM^EN,且直线BM,EN是相交直线

C.BM=EN,且直线BM,EN是异面直线

D.BMWEN,且直线BM,EV是异面直线

详细分析：如图，取CO的中点尸，。尸的中点G,连接EF,FN,MG,GB.

•.•△ECO是正三角形，：.EF±CD.

,/平面ECD_L平面ABCD,：.EFJL平面ABCD.

：.EF±FN.

不妨设A8=2,则FN=l,EF=^,

:.EN=-\JFN2+EF2=2.

,:EM=MD,DG=GF,

：.MG//EF且MG=；EF,：.MG_L平面ABCD,

：.MG.LBG.

VMG=1E『=坐，

BG=yjCG2+BC2+22=|,

：.BM=y]MG2+BG2=巾.：.BM*EN.

连接BD,BE,

•点N是正方形ABC。的中心，二点N在8。上，且BN=DN,

：.BM,EN是△O8E的中线，

J.BM,硒必相交.

答案：B

2.（2020・高考全国卷1）11唇是中国古代用来测定时间的仪器，利用

与唇面垂直的唇针投射到唇面的影子来测定时间.把地球看成一个球（球

心记为。），地球上一点A的纬度是指与地球赤道所在平面所成角，

点A处的水平面是指过点4且与OA垂直的平面，在点4处放置一个日

#,若辱面与赤道所在平面平行，点A处的纬度为北纬40°,则各针与点A处的水平面所成

角为（）

A.20°B.40°

C.50°D.90°

详细分析：如图所示，。。为赤道平面，。01为A点处的日署的薜面所在的平面，由点

A处的纬度为北纬40°可知N040i=40°,又点A处的水平面与OA垂直，等针AC与001

所在的面垂直，则容针AC与水平面所成角为40°.

B

A

交税斗水平面

答案：B

3.（2019・高考全国卷I）已知NACB=90°,P为平面ABC外一点，PC=2,点P至ijNACB

两边AC,BC的距离均为小，那么P到平面ABC的距