上海市上海中学东校2023-2024学年高三上学期期中数学试题

上海中学东校2023学年第一学期高三年级数学期中2023.11一、填空题（本大题共有12题,满分54分,第题每题4分,第7-12题每题5分）1．函数的定义域为_____．2．函数（且）的图象桓过定点P，则点P的坐标为_____．3．若函数是奇函数．则实数_____．4．已知，若函数的一个零点为，则_____．5．设等差数列的前n项之和满足，那么_____．6．设n是正整数，若的二项展开式中项的系数是常数项的5倍，则_____．7．实于x的不等式的解是．则实数a的取值范围为______．8．设正数x、y满足，则的最小值为______．9．已知是定义在R上的奇函数，且对于任意均有，若当时，，则______．10．在中，，，若，，其中，则的最小值为______．11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最小值为______．12．若a，，且对于时，不等式均成立，则实数对______．二、选择题(本大题共有4题,满分20分,每题5分)13．下列各组不等式中，解集完全相同的是（）A．与 B．与C．与 D．与14．如图，弧、、、是圆上的四段弧，点P在其中一段上，角以为始边，为终边．若，则P所在的圆弧可以是（）A．弧 B．弧 C．弧 D．弧15．函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（）16．将函数，的图像绕点顺时针旋转角得到曲线，若曲线仍是一个函数的图形，则的最大值为（）A． B． C． D．三、解答题(共5道大题,其中17题14分,18题14分,19题14分,20题16分,21题18分,共计76分)

17.（本题满分14分.本题共2小题,第（1）小题7分,第（2）小题7分.)在中，角A、B、C所对应的边分别为a、b、c，且，，．求：（1）a的值；（2）和的面积．18.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)已知函数．（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求a的取值范围．19.(本题满分14分.本题共2小题，第（1）小题8分,第（2）小题6分.)已知数列的前n项和为，满足：（，n为正整数）．（1）求证：数列为等差数列；（2）若，数列满足，，，（，为正整数），记为的前n项和，比较与的大小．20.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第

(3)小题满分6分)已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率．设过右焦点的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内．（1）求双曲线的方程；（2）若直线、分别与直线交于M、N两点，证明为定值；（3）是否存在常数，使得恒成立?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．21.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)已知函数，，令．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当a为正数且时，求a的最小值；（3）若对一切都成立，求a的取值范围．参考答案一、填空题1.;2.;3.;4.;5.;6.;7.;8.;9.;10.；11.12.11．已知椭圆和双曲线有共同的焦点、，P是它们的一个交点，且，记椭圆和双曲线的离心率分别为、，则的最小值为______．【答案】【解析】不妨设交点在第一象限,设,,则,,其中

化为,,

化为,,,解得,当且仅当时取等号.故答案为12．若a，，且对于时，不等式均成立，则实数对______．【答案】【解析】对于时,不等式均成立,即恒成立,

令

则表示圆心为,半径为1的圆在上的圆弧;表示圆心为,半径为1的圆在上的圆弧,如下所示:其中,,

根据题意,要满足题意,其图象需在圆弧以及圆弧之间,数形结合可知:连接后所形成的直线恰好满足题意,且唯一,

其斜率为,故其方程为,故实数对,

为严谨,下证直线与圆相切,圆心到直线的距离,其与半径1相等,故圆与直线相切,即证.故答案为:.二、选择题13.D14.C15.D16.A15．函数的导函数的图像如图所示，则函数的图像可能是（）【答案】D【解析】不妨设导函数的零点依次为,,其中,由导函数图象可知,在上为减函数,在上为增函数,在上为减函数,在,上为增函数,从而排除A,C.在处取到极小值,在处取到极大值,又,排除B,故选D.16．将函数，的图像绕点顺时针旋转角得到曲线，若曲线仍是一个函数的图形，则的最大值为（）A． B． C． D．【答案】A【解析】函数

当时,,函数在上递增

当时,,函数在上递减,

可得在处切线的倾斜角为,

因此,要使旋转后的图象仍为一个函数的图象,旋转后的切线倾斜角最多为,

也就是说,最大旋转角为

即的最大值为.故选:.三．解答题17.（1）（2）18.（1）（2）19.（1）证明略(2)20.（本题满分16分.本题共有3小题,第(1)小题满分4分,第（2）小题满分6分.第

(3)小题满分6分)已知双曲线，、分别是它的左、右焦点，是其左顶点，且双曲线的离心率．设过右焦点的直线l与双曲线C的右支交于P、Q两点，其中点P位于第一象限内．（1）求双曲线的方程；（2）若直线、分别与直线交于M、N两点，证明为定值；（3）是否存在常数，使得恒成立?若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．【答案】（1）（2）见解析（3）存在，,【解析】(1)答题意,,解得双曲线的方程为:;

(2)证明:设直线的方程为:,,

联立双曲线与直线的方程,消去并整理可得,,,又直线的方程为,代入,解得,可得同理可得,故为定值,即得证.

(3)当直线的方程为时,解得,易知此时为等腰直角三角形，其中,即,也即:,

接下来证明:对直线!存在斜率的情形也成立,又,则21.（本题满分18分.本题共有3个小题,第（1）小题满分4分,第（2）小题满分6分,在第(3)小题满分8分)已知函数，，令．（1）当时，求函数在处的切线方程；（2）当a为正数且时，求a的最小值；（3）若对一切都成立，求a的取值范围．【答案】（1）（2）的最小值为1;（3）【解析】(1)时,,,故，所以在处的切线方程为（2）则

因为,当时,易得在上单调递增,,当时,在上单调递减，在上单调递