2024届江苏省苏州市常熟中学高三上学期阶段性抽测一数学试题（解析版）

试卷第=page11页，共=sectionpages33页第Page\*MergeFormat1页共NUMPAGES\*MergeFormat19页2024届江苏省苏州市常熟中学高三上学期阶段性抽测一数学试题一、单选题1．已知幂函数的图象过点，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据待定系数法求解，即可代入求解.【详解】设，则，所以，故，故选：C2．函数的定义域为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据函数有意义列出不等式即可求解.【详解】的定义域需满足，解得且，故定义域为故选：C3．已知锐角，满足，，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出、，由利用余弦的两角差的展开式计算可得答案.【详解】因为为锐角，所以，因为，为锐角，所以，所以，.故选：B.4．权方和不等式作为基本不等式的一个变化，在求二元变量最值时有很广泛的应用，其表述如下：设，则，当且仅当时等号成立．根据权方和不等式，函数的最小值为（

）A．1 B．4 C．9 D．16【答案】D【分析】将给定函数式表示成已知不等式的左边形式，再利用权方和不等式即可得解．【详解】由，得，由权方和不等式可得，当且仅当，即时取等号，所以函数的最小值为16．故选：D．5．已知函数在上的最大值和最小值分别为M，N，则（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】D【分析】根据函数的奇偶性即可求解.【详解】令，所以最大值和最小值分别为，又，故为奇函数，故的图象关于原点对称，故,故选：D6．的内角的对边分别是，且，边上的角平分线的长度为，且，则（

）A． B． C．3 D．或3【答案】A【分析】根据题意，在和中，利用正弦定理求得，在由余弦定理求得，再由，结合面积公式，求得，即可求解.【详解】由，因为，可得，又由边上的角平分线，所以，在中，可得，在中，可得,因为，且，所以，即，在中，由余弦定理可得，所以，又由，即，因为，可得，即，可得，所以.故选：A.

7．已知奇函数的导函数为，且满足．当时，，则使得成立的x的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】构造，求导得到其单调性，得到定义域，判断出是偶函数，结合，得到，分和两种情况，求出不等式解集.【详解】令，则，故当时，恒成立，故在上单调递减，又为奇函数，，故且定义域为，，故为偶函数，则在单调递增，且，当时，要想使得，则要，故，当时，要想使得，则要，故，故使得成立的x的取值范围为.故选：A8．已知函数，，若，则零点的个数为（

）A．2 B．4 C．6 D．8【答案】D【分析】画出函数的图象，令，则求在零点的个数，再令得，即求与的图象在交点的个数，求出的范围结合图象可得答案.【详解】函数的图象如下，令，则求在零点的个数，由得，所以，即方程有两个不相等正根，令，可得，不成立，所以，即求与的图象在交点的个数，因为，所以，即，解得，且，可得与的图象有2个交点，当，且时，与有8个交点，则零点的个数为8.故选：D.【点睛】关键点点睛：解题的关键点是画出函数的图象，令，则求在零点的个数.二、多选题9．已知实数x，y满足，则的可能取值是（

）A．2 B．1 C． D．【答案】BC【分析】令，将化为关于y的一元二次方程，结合判别式求出t的范围，结合选项，即可得答案.【详解】令，则，故由得，即，由于，故，即得，结合选项可知的可能取值为，故选：BC10．已知函数的相邻两条对称轴的距离为，，恒成立，则下列结论正确的是（

）A．函数图象可由，纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位得到B．函数关于直线对称C．函数，的值域为D．直线是函数的一条切线【答案】BCD【分析】由辅助角公式化简函数解析式，根据已知条件求出和，利用正弦函数的性质判断函数图像的平移，函数的对称轴和区间内的值域，利用导数求曲线的切线.【详解】，相邻两条对称轴的距离为，则函数最小正周期，得，，恒成立，，即，，当时，，由，时，，当时，，此时不满足，所以，，.函数图象，纵坐标不变，横坐标变为原来的，再向右平移个单位，得到函数的图像，A选项错误；，所以函数关于直线对称，B选项正确；时，，当即时，函数取最大值2，当即时，函数取最小值-1，所以在的值域为，C选项正确；，，时，，取，有，则曲线在点处的切线方程为，即直线是函数的一条切线，D选项正确.故选：BCD.11．若定义在上的函数，满足是偶函数，是奇函数，则下列命题正确的是（

）A．函数的图象关于直线对称 B．函数的最小正周期为4C． D．对于，都有【答案】AC【分析】利用抽象函数的奇偶性、对称性、周期性计算即可一一判定选项.【详解】因为是偶函数，所以，且函数的图象关于直线对称，故A正确；又是奇函数，所以，且函数的图象关于中心对称，由上可知，则，故，即函数的一个正周期为8，如令符合题意，但4不是函数的最小正周期，故B错误；由周期性可知，故C正确；若D正确，则，由是偶函数可知，由条件无法判定函数值始终为0，故D错误.故选：AC.12．已知函数，则（

）A．当时，在处的切线方程为B．当时，单调递增C．当时，有两个极值点D．若有三个不相等的实根，，，则【答案】ABC【分析】根据导数的几何意义求切线方程即可判断A；当时，即可判断B选项；当时，有两个不同的零点，即可判断C选项；由得到是的一个根，当时，由得，然后根据的奇偶性可得，即可判断D选项.【详解】，当时，，，，所以切线方程为，故A正确；令，可得，令，则，令，则，令，则，所以在上单调递减，上单调递增，则，即当时，，单调递增，故B正确；当时，，当时，，，所以当时，与的图象有两个不同的交点，即有两个不同的变号零点，所以时，有两个极值点，故C正确；因为，所以是的一个实根，当时，由，可得，则直线与函数的交点的横坐标为，，设，又，所以为偶函数，图象关于轴对称，所以，所以，故D错.故选：ABC.【点睛】方法点睛：已知函数单调性求参数范围：①若单调递增，则；②若单调递减，则.三、填空题13．已知函数在上单调递增，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】利用导数恒为非负，即可利用最值求解.【详解】由得，由于函数在上单调递增，故在上恒成立，因此在对任意的恒成立，所以，故答案为：14．已知，则．【答案】【分析】利用诱导公式和余弦二倍角公式计算出答案.【详解】.故答案为：15．已知函数，且对于，恒有，则实数a的取值范围是．【答案】【分析】分段函数单调递减需满足两段都为减函数，且第一段端点纵坐标不小于第二段端点纵坐标，以此列不等式组即可求解.【详解】因为对于，恒有，所以在R上单调递减，所以，解得，即实数a的取值范围为.故答案为：16．已知函数，若在恒成立，则实数m的取值范围是．【答案】【分析】将不等式整理为，然后构造函数，得到，再结合得到在上单调递减，则在上恒成立，分离参变量后根据的范围得出答案．【详解】不等式，可整理为，即，令，，，当时，，所以在上单调递减，又，则当时，，即．令，则，因为，在上恒成立，所以在上单调递减，则在上恒成立，即在上恒成立，因为时，，所以．故答案为：．【点睛】本题的解题关键是通过同构，得到构造函数的单调性，从而根据单调性与导数的关系，得到不等式恒成立问题，再结合恒成立问题的解法即可解出.四、解答题17．命题：函数在上单调递减，命题：，恒成立．(1)若命题为真命题，求实数a的取值范围；(2)若命题为真命题是为真命题成立的充分不必要条件，求实数m的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据一元二次型不等式恒成立，结合分类讨论和判别式即可求解，（2）根据充分不必要条件，转化为真子集关系，列不等式即可求解.【详解】（1）∵命题：，恒成立①当时，成立②当时,,解得，综上（2）∵为真∴，∴∵为真时为真命题成立的充分不必要条件,所以，∴

∴18．已知函数的部分函数图象如图所示．(1)求函数的解析式；(2)将函数的图象上所有点纵坐标不变，横坐标变为原来的倍，得到的图象，若在区间上单调递增，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据图象最值可确定，由最小正周期可求得，根据可求得，由此可得；（2）根据三角函数伸缩变换原则可得，采用整体对应的方式，将整体放入正弦函数的递增区间中，由此可构造不等式组，通过讨论的取值可求得结果.【详解】（1）由图象可知：，设最小正周期为，则，，解得：，，，解得：，又，，.（2）由题意知：，当时，，在上单调递增，，解得：，令，解得：；又，，解得：，，又，或，当时，；当时，；综上所述：实数的取值范围为.19．已知的内角A，B，C的对应边分别为a，b，c．请从下面三个条件中任选一个作为已知条件并解答：①，②，③．(1)求A的大小；(2)若为锐角三角形，，求周长的取值范围．【答案】(1)(2)【分析】（1）根据所选的条件，利用正余弦定理或两角和的正切公式化简，可求A的大小；（2）由正弦定理和三角形内角和，结合三角恒等变换得到周长，再由为锐角三角形求得的范围，从而利用正弦函数的性质即可得解．【详解】（1）选①，，由正弦定理得，中，，所以，得，即，∵，则，∴，∴.选②，，由正弦定理得，∴，∵，∴.选③，，有，，∴，∵，∴.（2）为锐角三角形，，，由正弦定理得，∴，，，周长，∵为锐角三角形，∴，∴，∴，∴，∴，即周长的取值范围为.20．已知函数，，其中是自然对数的底数．(1)求函数的极值；(2)对，总存在，使成立，求实数的取值范围．【答案】(1)，(2)【分析】（1）利用导数分析函数的单调性，即可求得该函数的极大值和极小值；（2）由题意可得，由参变量分离法可得，利用导数求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.【详解】（1）解：因为，该函数的定义域为，则令，得或。列表如下：x单调递减极小值单调递增极大值单调递减，.（2）解：由题意可得，由（1）可知在单调递减，∴，∴在有解，，令，，令，单调递增极大值单调递减所以，.21．国庆期间，某小区为了增添节日氛围，决定对小区的健身步道进行装饰．如图是一个半径为1百米，圆心角为的扇形区域，点C是半径OB上的一点，点D是圆弧上一点，且．现决定在线段CD，圆弧的一侧铺设灯带，线段OC的两侧铺设灯带，且每百米a元．设，，灯带的总费用y元．(1)求y关于的函数解析式；(2)当为何值时，灯带费用y最大，并求出费用y的最大值．【答案】(1)，(2)当为时，费用y最大，最大值为百元【分析】（1）根据题设，可得，利用正弦定理及弧长公式得到，，，再根据条件即可求出结果；（2）利用导数与函数单调性间的关系，求出函数的单调区间，即可求出结果.【详解】（1）由题，可得，，，在中，由正弦定理知，，所以，，，又扇形BOD中，，所以，（2）由（1）得令，得到

又因为，所以0y单调递增极大值单调递减∴时，（百元）故当为时，费用y最大，最大值为百元．22．已知函数，其中e是自然常数．(1)讨论函数的单调性；(2)若，对恒成立，求实数a的取值范围．【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）求出函数的定义域后，分和两种情况讨论可求出函数的单调区间；（2）由题得对恒成立，构造函数，可得在单调递增，则，然后分和两种情况讨论即可求得结果.【详解】（1）定义域为，，①时，，∴在上单调递增，②时，令，∴，令，∴，∴在单调递减，单调递增，综上：时，