考点13 相交线与平行线-中考数学考点一遍过

考点13相交线与平行线知识框架图一、相交线1．三线八角（1）直线a，b被直线l所截，构成八个角（如图）．∠1和∠5，∠4和∠8，∠2和∠6，∠3和∠7是同位角；∠2和∠8，∠3和∠5是内错角；∠5和∠2，∠3和∠8是同旁内角．（2）除了基本模型外，我们还经常会遇到稍难一些的平行线加折线模型，主要是下面两类：做这类题型时，一般在折点处作平行线，进而把线的关系转换成角的关系，如图：2．垂直（1）定义：两条直线相交所形成的四个角中有一个是直角时叫两条直线互相垂直．（2）性质：过一点有且只有一条直线垂直于已知直线；垂线段最短．3．点到直线的距离从直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做这点到这条直线的距离．4．邻补角（1）定义：两个角有一条公共边，它们的另一条边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角．（2）邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．（3）邻补角是成对出现的，单独的一个角不能称为邻补角，两条直线相交形成四对邻补角．5．对顶角（1）定义：两个角有一个公共的顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种关系的两个角，互为对顶角．（2）性质：对顶角相等．但相等的角不一定是对顶角．二、平行线1．定义在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线．2．平行线的判定（1）定义．（2）同位角相等，两直线平行．（3）内错角相等，两直线平行．（4）同旁内角互补，两直线平行．（5）平行于同一直线的两直线互相平行．（6）垂直于同一直线的两直线互相平行．3．平行线的性质（1）两直线平行，同位角相等．（2）两直线平行，内错角相等．（3）两直线平行，同旁内角互补．4．平行线间的距离（1）定义同时垂直于两条平行线，并且夹在这两条平行线的线段的长度，叫做这两条平行线的距离．（2）性质两平行线间的距离处处相等，夹在两平行线间的平行线段相等．考向一对顶角和邻补角1．识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角．2．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个．典例1如图，直线AB、CD相交于点O，OE、OF是过O的射线，其中构成对顶角的是A．∠AOF与∠DOE B．∠EOF与∠BOEC．∠BOC与∠AOD D．∠COF与∠BOD【答案】C典例2如图，已知直线AB、CD相交于点O，∠COE=90°．（1）若∠AOC=36°，求∠BOE的度数；（2）若∠BOD∶∠BOC=1∶5，求∠AOE的度数．【解析】（1）∵∠AOC=36°，∠COE=90°，∴∠BOE=180°-∠AOC-∠COE=54°．（2）∵∠BOD∶∠BOC=1∶5，∴∠BOD=180°×=30°，∴∠AOC=30°，∴∠AOE=30°+90°=120°．1．以下四个叙述中，正确的有①相等的角是对顶角；②互补的角是邻补角；③两条直线相交，可构成2对对顶角；④对顶角、邻补角都有一个共同特点：两个角有公共的顶点．A．4个 B．3个 C．2个 D．1个2．如图，直线AB，CD交于点O，射线OM平分∠AOC，若∠BOD=76°，则∠COM=__________．3．如图，直线AB，CD，EF相交于点O，CD⊥AB，若∠COE=30°，则∠AOE=__________，∠AOF=__________．4．如图，三条直线AB、CD和EF相交于一点O，∠COE+∠DOF=50°，∠BOE=70°，求∠AOD和∠BOD．考向二平行线的判定和性质解决平行线性质求角度的问题，首先应在脑海中回顾下平行线的性质，再从所求角度出发，结合已知条件寻求所求角度与已知之间的数量关系，有时也会用到题中的隐含条件，如三角形内角和、三角形内外角关系等来求解．典例3如图，下列条件中，能判断直线l1∥l2的是A．∠2=∠3 B．∠1=∠3C．∠4+∠5=180° D．∠2=∠4【答案】B典例4如图，直线l1∥l2，∠α=∠β，∠1=40°，则∠2=__________．【答案】140°【解析】如图，∵l1∥l2，∴∠3=∠1=40°，∵∠α=∠β，∴AB∥CD，∴∠2+∠3=180°，∴∠2=180°-∠3=180°-40°=140°．故答案为：140°．典例5如图，若∠1=40°，∠2=40°，∠3=120°，则∠4=__________°．【答案】60【解析】如图，∵∠1=∠2，∴a∥b，∴∠4=∠5，∵∠3=120°，∴∠4=∠5=180°-∠3=60°，故答案为：60．5．如图，，，…，是两条直线，被直线所截后形成的八个角，则能够判定直线的是A． B．C． D．6．如图，将一块含有60°角的直角三角板的两个顶点放在两条平行的直线a，b上，如果∠2=50°，那么∠1的度数为A．10° B．20° C．30° D．40°7．如图，EF∥AD，∠1=∠2，∠BAC=87°，求∠AGD的度数．1．如图，直线AB、CD相交于点O，∠AOC=70°，∠2=40°，则∠1的度数为A．30° B．35° C．40° D．70°2．如图，直线AB和CD相交于点O，若∠AOD=134°，则∠AOC的度数为A．134° B．144° C．46° D．32°3．如图，把一块直角三角板的直角顶点放在直尺的一边上，若∠1=48°，则∠2的度数为A．48° B．42° C．40° D．45°4．如图，已知AB⊥GH，CD⊥GH，直线CD，EF，GH相交于一点O，若∠1=42°，则∠2等于A．130° B．138° C．140° D．142°5．如图，直线l1∥l2，CD⊥AB于点D，若∠1=50°，则∠BCD的度数为__________°．6．如图，点B，C，E，F在同一直线上，AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，则∠D=__________度．7．如图，ABCD为一长条形纸带，AB∥CD，将ABCD沿EF折叠，A、D两点分别与A'、D'对应．若∠1=65°，则∠2=__________°．8．如图，在△ABC和△DEF中，B、E、C、F在同一直线上，已知AB=DE，AC=DF，BE=CF．求证：AB∥DE．9．如图，四边形中，分别取，的延长线上一点和，连接，分别交，于点和，若∠1=∠2，∠3=∠4，求证：∠=∠．1．（2018·邵阳）如图所示，直线AB，CD相交于点O，已知∠AOD=160°，则∠BOC的大小为A．20° B．60° C．70° D．160°2．（2018·金华）如图，∠B的同位角可以是A．∠1 B．∠2 C．∠3 D．∠43．（2018·衢州）如图，直线a，b被直线c所截，那么∠1的同位角是A．∠2 B．∠3 C．∠4 D．∠54．（2018·沈阳）如图，AB∥CD，EF∥GH，∠1=60°，则∠2补角的度数是A．60° B．100° C．110° D．120°5．（2018·宿迁）如图，点D在△ABC的边AB的延长线上，DE∥BC，若∠A=35°，∠C=24°，则∠D的度数是A．24° B．59° C．60° D．69°6．（2018·孝感）如图，直线，若，，则的度数为A． B． C． D．7．（2018·安顺）如图，直线，直线与直线，分别相交于、两点，过点作直线的垂线交直线于点，若，则的度数为A． B． C． D．8．（2018·锦州）如图，直线l1∥l2，且分别与直线l交于C，D两点，把一块含30°角的三角尺按如图所示的位置摆放．若∠1=52°，则∠2的度数为A．92° B．98° C．102° D．108°9．（2018·大连）如图是用直尺和一个等腰直角三角尺画平行线的示意图，图中∠α的度数为A．45° B．60°C．90° D．135°10．（2018·台湾）如图，锐角三角形ABC中，BC>AB>AC，甲、乙两人想找一点P，使得∠BPC与∠A互补，其作法分别如下：（甲）以A为圆心，AC长为半径画弧交AB于P点，则P即为所求；（乙）作过B点且与AB垂直的直线l，作过C点且与AC垂直的直线，交l于P点，则P即为所求.对于甲、乙两人的作法，下列叙述何者正确？A．两人皆正确 B．两人皆错误C．甲正确，乙错误 D．甲错误，乙正确11．（2018·淄博）如图，直线a∥b，若∠1=140°，则∠2=__________°．12．（2018·辽阳）将一张矩形纸条与一块三角板如图放置，若∠1=36°，则∠2=__________．13．（2018·青海）如图，直线，直线EF与AB、CD相交于点E、F，的平分线EN与CD相交于点．若，则__________．学_科网14．（2018·阜新）如图，已知AB∥CD，点E，F在直线AB，CD上，EG平分∠BEF交CD于点G，∠EGF=64°，那么∠AEF的度数为__________．15．（2018·铜仁）如图，m∥n，∠1=110°，∠2=100°，则∠3=__________°．16．（2018·湘西州）如图，DA⊥CE于点A，CD∥AB，∠1=30°，则∠D=__________．17．（2018·湘潭）如图，点E是AD延长线上一点，如果添加一个条件，使BC∥AD，则可添加的条件为__________．（任意添加一个符合题意的条件即可）18．（2018·广安）一大门栏杆的平面示意图如图所示，BA垂直地面AE于点A，CD平行于地面AE，若∠BCD=150°，则∠ABC=__________度．19．（2018·通辽）如图，∠AOB的一边OA为平面镜，∠AOB=37°45′，在OB边上有一点E，从点E射出一束光线经平面镜反射后，反射光线DC恰好与OB平行，则∠DEB的度数是__________．20．（2018·重庆A卷）如图，直线AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=54°，求∠2的度数．21．（2018·重庆B卷）如图，AB∥CD，△EFG的顶点F，G分别落在直线AB，CD上，GE交AB于点H，GE平分∠FGD．若∠EFG=90°，∠E=35°，求∠EFB的度数．22．（2018·益阳）如图，AB∥CD，∠1=∠2，求证：AM∥CN．变式拓展变式拓展1．【答案】C【解析】①相等的角不一定是对顶角，错误；②互补的角不一定是邻补角，错误；③两条直线相交，可构成2对对顶角，正确；④对顶角、邻补角都有一个共同特点：两个角有公共的顶点，正确，正确的有2个，故选C．4．【解析】∵∠COE=∠DOF（对顶角相等），∠COE+∠DOF=50°（已知），∴∠COE=×50°=25°．∵∠BOE=70°，∴∠BOC=∠BOE-∠COE=70°-25°=45°．∵∠AOD=∠BOC（对顶角相等），∴∠AOD=45°，∴∠BOD=180°-∠AOD=180°-45°=135°．5．【答案】B【解析】根据定义A、C、D均不能判定两直线平行，B选项中，，，即：同旁内角互补，两直线平行，故选B．6．【答案】AA．7．【解析】∵EF∥AD，∴∠2=∠3．∵∠1=∠2，∴∠1=∠3，∴AB∥DG（内错角相等，两直线平行），∴∠BAC+∠AGD=180°（两直线平行，同旁内角互补），∵∠BAC=87°，∴∠AGD=93°．考点冲关考点冲关1．【答案】A【解析】∵∠AOC=70°，∴∠BOD=70°，∵∠2=40°，∴∠1=70°−40°=30°，故选A．2．【答案】C【解析】∵∠AOD+∠AOC=180°，∴∠AOC=180°-134°=46°，故选C．3．【答案】B【解析】如图，∵∠1=48°，∴∠3=∠1=48°，∴∠2=90°-48°=42°，故选B．4．【答案】B2=180°-∠BPF=180°-42°=138°，故选B．5．【答案】40【解析】∵l1∥l2，∴∠1=∠ABC=50°．∵CD⊥AB于点D，∴∠CDB=90°．∴∠BCD+∠DBC=90°，即∠BCD+50°=90°．∴∠BCD=40°，故答案为：40．6．【答案】36【解析】∵AB∥DC，DE∥GF，∠B=∠F=72°，∴∠DCE=∠B=72°，∠DEC=∠F=72°，在△CDE中，∠D=180°-∠DCE-∠DEC=180°-72°-72°=36°，故答案为：36．9．【解析】∵∠1=∠AHE，∠1=∠2，∴∠AHE=∠2，∴AD∥BC，∴∠3+∠C=180°，∵∠3=∠4，∴∠4+∠C=180°，∴AB∥CD，∴∠E=∠F．直通中考直通中考1．【答案】D【解析】∵∠AOD=160°，∠BOC与∠AOD是对顶角，∴∠BOC=∠AOD=160°，故选D．2．【答案】D【解析】∠B的同位角可以是：∠4．故选D．3．【答案】C【解析】由同位角的定义可知，∠1的同位角是∠4．故选C．4．【答案】D【解析】∵AB∥CD，∴∠1=∠EFH，∵EF∥GH，∴∠2=∠EFH，∴∠2=∠1=60°，∴∠2的补角为120°，故选D．5．【答案】B【解析】∵∠A=35°，∠C=24°，∴∠DBC=∠A+∠C=35°+24°=59°，又∵DE∥BC，∴∠D=∠DBC=59°，故选B．6．【答案】C【解析】∵∠1=42°，∠BAC=78°，∴∠ABC=60°，又∵AD∥BC，∴∠2=∠ABC=60°，故选C．7．【答案】C【解析】∵AC⊥BA，∴∠BAC=90°，∴∠ACB=90°-∠1=90°-58°=32°，∵直线a∥b，∴∠ACB=∠2，∴∠2=∠ACB=32°．故选C．学_科网8．【答案】B【解析】如图，∵l1∥l2，∴∠1=∠3=52°，又∵∠4=30°，∴∠2=180°-∠3-∠4=98°．故选B．9．【答案】A【解析】如图，∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠1=45°，∵l∥l'，∴∠α=∠1=45°，故选A．10．【答案】D【解析】甲：如图1，∵AC=AP，∴∠APC=∠ACP，∵∠BPC+∠APC=180°，∴∠BPC+∠ACP=180°，∴甲错误；乙：如图2，∵AB⊥PB，AC⊥PC，∴∠ABP=∠ACP=90°，∴∠BPC+∠A=180°，∴乙正确，故选D．11．【答案】40【解析】∵a∥b，∴∠1+∠2=180°，∵∠1=140°，∴∠2=180°-∠1=40°，故答案为：40．12．【答案】126°【解析】如图，由三角形的外角性质得，∠3=90°+∠1=90°+36°=126°，∵直尺的两边互相平行，∴∠2=∠3=126°．故答案为：126°．13．【答案】【解析】∵，，∴，∵平分，∴，∴，故答案为：．14．【答案】52°【解析】∵AB∥CD，∠EGF=64°，∴∠BEG=∠EGF=64°，又∵EG平分∠BEF，∴∠BEF=2∠BEG=128°，∴∠AEF=180°-128°=52°，故答案为：52°．15．【答案】150【解析】如图，∵m∥n，∠1=110°，∴∠4=7