带传动弹性滑动的分析

带传动弹性滑动的分析

1拉伸弹性滑动摩擦损失带的传动通过带和带之间的摩擦来传输运动和动力。由于带被看作弹性体,在传动过程中,紧边和松边的不同拉力造成带不同的拉伸弹性变形,使带传动发生似蚯蚓爬行一样的蠕动,产生弹性滑动。它是带传动中所固有的、不可避免的物理现象。这一现象在诸多文献中一般只有定性描述。本文应用摩擦理论对带传动中的弹性滑动进行了定量的综合分析。2带传动弹性滑动角的fn带在带轮上的受力如图1所示。其中紧边拉力为F1,松边拉力为F2。长度为Rdφ带元两侧面的受力分别为F及F+dF,底面受有随角度位置φ而变化的二个单位力,带轮正压力N(φ)和摩擦力fN(φ),以及带在工作时出现的恒定的单位均布离心力Nc。Nc=qRω2(1)式中q为带单位长度的质量,R为带轮的半径,ω为带轮的角速度。对于图1中所示承受力的带元Rdφ,将各径向分力、切向分力分别相加可得:Ν(φ)Rdφ+ΝcRdφ-Fsindφ2-(F+dF)sindφ2=0(2)fΝ(φ)Rdφ+Fcosdφ2-(F+dF)cosdφ2=0(3)N(φ)Rdφ+NcRdφ−Fsindφ2−(F+dF)sindφ2=0(2)fN(φ)Rdφ+Fcosdφ2−(F+dF)cosdφ2=0(3)取极限并忽略高阶小量,式(2)、(3)化为:N(φ)R+NcR-F=0(4)fN(φ)Rdφ-dF=0(5)在带速不变时,NcR为常量,表示离心力对带拉力的影响。令:Fc=NcR=qR2ω2=qv2(6)于是式4化为:F=N(φ)R+Fc(7)对式(7)微分得:dF=RdN(φ)(8)式(8)带入式(5)得:fdφ=dΝ(φ)Ν(φ)(9)fdφ=dN(φ)N(φ)(9)对式(9)积分得:f∫φ0dφ=∫Ν(φ)Ν0dΝ(φ)Ν(φ)(10)f∫φ0dφ=∫N(φ)N0dN(φ)N(φ)(10)N(φ)=N0efφ(11)式(11)表示带受带轮单位正压力N(φ)按指数律分布,且:{Νmin=Ν(0)=Ν0Νmax=Ν(φ1)=Ν0efφ1=Ν1(12)式中φ1为弹性滑动角,如图1所示,在φ1角范围内带传动发生弹性滑动。这里N(φ)较大的变化是造成带不均匀磨损的重要原因。而在静角φ′1范围内,由于带与带轮之间无相对滑动,所以N(φ)保持N1大小不变。N(φ)可总结为:{Ν(φ)=Ν0efφ(0≤φ≤φ1)Ν(φ)=Ν0efφ1=Ν1(φ1≤φ≤α1)(13)N(φ)分布图如图1所示。在弹性滑动角φ1范围内,带受带轮单位摩擦力fN(φ)也按指数律分布,且:{[fΝ(φ)]min=fΝ(0)=fΝ0[fΝ(φ)]max=fΝ(φ1)=fΝ1(14)而在静角φ′1范围内,fN(φ)为零(实际由于带的切向塑性变形,也部分地在静角范围内传递摩擦力,一般计算不考虑。)fN(φ)可总结为:{fΝ(φ)=fΝ0efφ(0≤φ≤φ1)fΝ(φ)=0(φ1≤φ≤α1)(15)fN(φ)分布图如图1所示。式(7)表示带受拉力F(φ)的变化规律。其值由两部分组成,一部分是离心力所产生的离心拉力Fc,另一部分是单位正压力N(φ)引起的N(φ)R。在弹性滑动角φ1范围内,F(φ)也按指数律变化。且{Fmin=Ν(0)R+Fc=Ν0R+Fc=F2Fmax=Ν(φ1)R+Fc=Ν1R+Fc=F1(16)而在静角φ′1范围内,F(φ)大小不变为F1。F(φ)可总结为:{F(φ)=Ν0efφR+Fc(0≤φ≤φ1)F(φ)=F1(φ1≤φ≤α1)(17)3弹性滑动角的位置和大小3.1弹性滑动角分布于主动带轮上,带实践表明,弹性滑动角的位置总出现在每个带轮的出端,如图2中的角φ1和φ2位置所示。现从理论上给予证明。在图2所示两带轮上,装有截面积为A0(不受拉力时)的带。在工作时,紧边受拉力F1,带截面积变为A1,松边受拉力为F2,带截面积变为A2。若紧边和松边带的密度为ρ1、ρ2,速度为V1、V2,则按每个截面单位时间内通过的带质量相等的条件可得:A1ρ1V1=A2ρ2V2(18)设在F1、F2拉力作用下,带的应变量为ε1、ε2,带的泊松比为γ,则得:{A1=A0(1-γε1)2A2=A0(1-γε2)2(19)若带在不受力时的密度为ρ0,则由一段带在受力前后质量不变的条件可得:{ρ1=ρ0/[(1+ε1)(1-γε1)2]ρ2=ρ0/[(1+ε2)(1-γε2)2](20)将式(19)、(20)带入式(18)可得:V1=(1+ε1)(1+ε2)V2(21)由ε1=F1/EA0,ε2=F2/EA0,E为带的弹性模量,可得V1大于V2,如图2所示。在主动带轮上,E1G1段是静弧,带在E1点以主动带轮的表面速度V1进入主动带轮,带与带轮表面之间无相对滑动。在E1G1段,带与带轮表面速度是相等的,都为V1。而在带进入弹性滑动弧G1L1段时,带速会逐渐小于带轮表面速度V1,在出端终点L1,带以速度V2离开主动带轮,而主动带轮表面速度始终为V1。由此可知,由于带中拉力逐渐降低的缘故,带在弹性滑动弧G1L1段发生了与带轮表面运动方向相反的弹性滑动,主动带轮对带的作用摩擦力与带的运动方向一致,如图2所示。此分布摩擦力对主动带轮转动中心O1之矩与带传动的驱动力矩M1方向相同。在从动带轮上,E2G2段是静弧,带在E2点以从动带轮的表面速度V2进入从动带轮,带与带轮表面之间无相对滑动。在E2G2段,带与带轮表面速度是相等的,都为V2。而在带进入弹性滑动弧G2L2段时,带速会逐渐大于带轮表面速度V2,在出端终点L2,带以速度V1离开从动带轮,而从动带轮表面速度始终为V2。由此可知,由于带中拉力逐渐增大的缘故,带在弹性滑动弧G2L2段发生了与带轮表面运动方向相同的弹性滑动。从动带轮对带的作用摩擦力与带的运动方向相反,如图2所示。此分布摩擦力对从动带轮转动中心O2之矩与带传动的工作阻力矩M2方向相同。若假定弹性滑动角的位置出现在每个带轮的进端,应用同上类似的分析方法,可得出在主动带轮上带轮对带作用的分布摩擦力对主动带轮转动中心O1之矩与带传动的驱动力矩M1方向相反,这是不可能的。而在从动带轮上带轮对带作用的分布摩擦力对从动带轮转动中心O2之矩与带传动的工作阻力矩M2方向相反,这也是不可能的。这就证明了弹性滑动角的位置只能出现在每个带轮的出端。3.2弹性滑动角中带轮抗拉力如图2所示,主动带轮作用在带弹性滑动弧G1L1段上的分布摩擦力对主动带轮转动中心O1之矩即为带传动的驱动力矩M1,则:M1=∫φ10R·fN(φ)Rdφ=fR2∫φ10N(φ)dφ(22)式(13)代入式(22)得:M1=fN0R2∫φ10efφdφ=N0R2(efφ1-1)(23)由式(23)可知驱动力矩M1随弹性滑动角φ1也按指数律变化。根据式(16)得:Ν0=F2-FcR(24)又驱动力矩M1可写成:M1=(F1-F2)R(25)式(24)、(25)代入式(23)得:F1-FcF2-Fc=efφ1(26)得主动带轮上的弹性滑动角φ1为:φ1=1flnF1-FcF2-Fc(27)类似地可证得从动带轮上的弹性滑动角φ2为:φ2=1flnF1-FcF2-Fc(28)式(27)、(28)分别给出了主、从动带轮上弹性滑动角φ1和φ2的大小计算公式,可见它们是相等的。应该指出,弹性滑动角φi(i=1,2)不是常量,随着工作阻力矩的增加,紧边拉力F1与松边拉力F2之差也增加,使得φi(i=1,2)也增加,直到φi(i=1,2)增加到小带轮的包角α1,如图2所示,而α1是一个仅决定于带传动几何尺寸的常量,此时打滑就会首先发生在小带轮上了。4弹性滑动量和弹性滑动率4.1弹性滑动量的计算如图1所示,对应角φ的带元Rdφ上引起带弹性滑动的内力为dF,由式(5)得:dF=fN(φ)Rdφ对上式积分得对应角φ的带截面处引起带弹性滑动的内力ΔF(φ)为:ΔF(φ)=∫φ1φfN(φ)Rdφ=N0R(efφ1-efφ)(29)由线弹性虎克定律得:dl(φ)Rdφ=ΔF(φ)EA0(30)对式(30)积分得对应角φ处带截面的弹性滑动量l(φ)为:l(φ)=∫φ1φΔF(φ)EA0Rdφ(31)式(29)代入式(31)得:l(φ)=∫φ1φΝ0R2(efφ1-efφ)EA0dφ=Ν0R2EA0[efφ1(φ1-φ)-1f(efφ1-efφ)](32)在出端终点L处带截面沿带轮表面的弹性滑动量l(φ)达到最大值,为:l(φ)|φ=0=l(0)=Ν0R2EA0[efφ1φ1-1f(efφ1-1)](33)4.2滑动速度l对应角φ处带截面沿带轮表面的弹性滑动速度dl(φ)/dt为:dl(φ)dt=dl(φ)dφ⋅dφdt=-ω⋅dl(φ)dφ=Ν0R2ωEA0(efφ1-efφ)(34)在出端终点L处即φ=0处dl(φ)/dt达到最大值。此最大值就是带传动的滑动速度V1-V2。则:V1-V2=dl(φ)dt|φ=0=Ν0R2ωEA0(efφ1-1)(35)弹性滑动率ζ为:ζ=V1-V2V1=Ν0REA0(efφ1-1)=F1-F2EA0=ε1-ε2=Δε(36)由此可见,弹性滑动率ζ等于带紧边应变量ε1与松边应变量ε2之差Δε。在正常工作情况下,ζ与有效拉力F1-F2成正比(假设E为常数)。5弹性滑动对传动比和传动功率损失的影响5.1传动比的影响实际传动比i实为:i实=ω1ω2=V1V2⋅R2R1=R2R1(1-ζ)=i理1-ζ(37)式中i理为理想传动比,i理=R2R1,当采用一般带材料时,ζ=1～2%,所以弹性滑动使带传动的实际传动比增加。5.2弹性滑动功率损耗率带传动功率损耗的影响因素较多,在此仅讨论弹性滑动对传动功