专题04 一元二次方程压轴题型专训（解析版）

专题04一元二次方程压轴题型专训【一元二次方程30道压轴题型专训】1．（2023·浙江温州·校考一模）关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根，则下列选项成立的是（

）A．若﹣1＜a＜0，则 B．若，则0＜a＜1C．若0＜a＜1，则 D．若，则-1＜a＜0【答案】B【分析】根据一元二次方程的根的情况利用判别式求得a与b的数量关系，再代入方程求k的值，然后结合a的取值范围和分式加减法运算法则计算求解．【详解】解：∵关于x的一元二次方程（ab≠0）有两个相等的实数根k，∴，，又∵，∴a-b-1=0，即a=b+1，∴ax2-2ax+a=0，解得：x1=x2=1，∴k=1，当时，即，即，∴a（a-1）<0，即或解得0<a<1当时，即，即，∴a（a-1）>0，即或解得：a>1或a<0．故选：B．【点睛】本题考查一元二次方程的根的判别式，根据一元二次方程根的情况求得a与b之间的等量关系是解题关键．2．（2023春·八年级课时练习）方程x3+x﹣1＝0的实数根所在的范围是（）A．＜x＜0 B．0＜x＜ C．＜x＜1 D．1＜x＜【答案】C【分析】当时，方程无解，可知，方程两边都除以x，得，根据可得的范围，从而得到缩小的x的范围，进一步根据，再得到缩小的的范围，进而可确定x的更小范围．【详解】解：将代入方程得，∴x≠0，∴原方程可化为，∵，∴，∴，当时，，∴，∴，∴，故选C．【点睛】本题考查了高次方程根的估计方法．两边除以x，得到降次的方程是本题的关键．3．（2023春·八年级课时练习）已知，是方程的两根，则代数式的值是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】由根与系数的关系可得：a+b=1，再由a与b是方程的两根可得a2=a+1，b2=b+1，把a3与b3采用降次的方法即可求得结果的值．【详解】∵a与b是方程的两根∴a+b=1，a2-a-1=0，b2-b-1=0∴a2=a+1，b2=b+1∵，同理：∴故选：D．【点睛】本题考查了一元二次方程的解的概论、一元二次方程根与系数的关系，求代数式的值，灵活进行整式的运算是解题的关键．4．（2022秋·全国·九年级专题练习）若四个互不相等的正实数a，b，c，d满足，，则的值为（

）A． B． C．2012 D．2011【答案】A【分析】根据题意可将a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，把所求的式子被减数利用积的乘方逆运算变形后换为x1x2，把方程整理后，利用根与系数的关系表示出x1x2，代入整理后的式子中，即可求出所求式子的值．【详解】解：设a2012与b2012看做方程（x-c2012）（x-d2012）=2012的两个解，方程整理得：x2-（c2012+d2012）x+（cd）2012-2012=0，则（ab）2012-（cd）2012=x1x2−(cd)2012，又x1x2=（cd）2012-2012，则（ab）2012-（cd）2012=x1x2−(cd)2012=（cd）2012-2012-（cd）2012=-2012．故选：A．【点睛】此题考查了根与系数的关系的运用，利用了方程的思想，其中当一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）有解，即b2-4ac≥0时，设方程的两个根分别为x1，x2，则有x1+x2=，x1x2=．5．（2023春·福建南平·九年级专题练习）两个关于的一元二次方程和，其中，，是常数，且，如果是方程的一个根，那么下列各数中，一定是方程的根的是（

）A．2020 B． C．-2020 D．【答案】C【分析】根据一元二次方程的定义以及一元二次方程的解法即可求出答案．【详解】∵，，a+c=0∴，∵ax2+bx+c=0和cx2+bx+a=0，∴，，∴，，∵是方程的一个根，∴是方程的一个根，∴是方程的一个根，即是方程的一个根故选：C．【点睛】本题考查了一元二次方程，解题的关键是熟练运用一元二次方程的定义以及方程的解的概念．6．（2022秋·九年级课时练习）要使关于x的一元二次方程有两个实数根，且使关于x的分式方程的解为非负数的所有整数的个数为（

）A．5个 B．6个 C．7个 D．8个【答案】B【分析】根据一元二次方程根的情况得到且解得：且，再把分式方程化简求值得：，因为解为非负数，且即且，所以且，即可得出满足题意的整数解．【详解】解：关于x的一元二次方程有两个实数根则且关于x的分式方程去分母得：解得：分式方程的解为非负数且即且且满足题意的整数的值为故答案为：B．【点睛】本题考查一元二次方程根的情况、分式方程的解，注意二次项系数不为0及分式方程的解要有意义，这是此题的易错点．7．（2022秋·全国·九年级专题练习）对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立；④若是一元二次方程的根，则．其中正确的有（

）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】A【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、一元二次方程的求根公式等对各选项分别讨论，可得答案．【详解】解：①若x=1时，方程ax2+bx+c=0，则a+b+c=0，∵无法确定a-b+c=0．故①错误；②∵方程ax2+c=0有两个不相等的实根，∴△=0-4ac＞0∴-4ac＞0则方程ax2+bx+c=0的判别式，△=b2-4ac＞0∴方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根，故②正确；③∵c是方程ax2+bx+c=0的一个根，则ac2+bc+c=0∴c（ac+b+1）=0若c=0，等式仍然成立，但ac+b+1=0不一定成立，故③错误；④若x0是一元二次方程ax2+bx+c=0的根，则由求根公式可得：或，∴或∴b2−4ac＝(2ax0+b)2，故④错误．故选：A．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的实数根与判别式的关系，牢固掌握二者的关系并灵活运用，是解题的关键．8．（2023春·浙江·八年级期末）若方程的两个不相等的实数根满足，则实数p的所有值之和为（

）A．0 B． C． D．【答案】B【分析】先根据一元二次方程解的定义和根与系数的关系得到，，进而推出，则，，即可推出，然后代入，得到，再根据判别式求出符号题意的值即可得到答案．【详解】解：∵是方程的两个相等的实数根，∴，，∴，∴，∴，∴，同理得，∵，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，解得，∵，∴，∴，∴不符合题意，∴∴符合题意，故选B．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，一元二次方程解的定义，熟知一元二次方程的解是使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．9．（2022秋·重庆·九年级西南大学附中校考阶段练习）对于多项式记为，即；若令，，即；下面几个结论正确的个数有（

）个．（1）存在实数x使成立，则k的取值范围是；（2）若，则；（3）若，则或；（4）存在整数，使成立．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】由，得，根据，得，可判断①正确；由，得同号，可判断②错误；由，则可得或，当时，，当时，3，可判断③错误；若，可得，由y为整数，知x不是整数，可判断④错误．【详解】解：若，则，即，∵存在实数x使成立，∴有实数根，即，∴，解得，故①正确，符合题意；若，∴，∴同号，∴或，故②错误，不符合题意；若；∴，∴或，当时，，当时，3，∴③错误，不符合题意；若，则，∴，∴，∴，即，若y为整数，则x不是整数，∴不存在整数x、y，使成立，故④错误，不符合题意；∴正确的有①，共1个；故选：A．【点睛】本题考查不等式的解集，涉及一元二次方程根的判别式，不等式，代数式的值等知识，解题的关键是掌握一元二次方程根的判别式及代数式的变形．10．（2022春·湖南长沙·八年级校考期末）对于一元二次方程，有下列说法：①若，则方程必有一个根为1；②若方程有两个不相等的实根，则方程必有两个不相等的实根；③若是方程的一个根，则一定有成立．其中正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个【答案】B【分析】按照方程的解的含义、一元二次方程的实数根与判别式的关系、等式的性质、因式分解法解一元二次方程等知识对各选项分别讨论，可得答案．【详解】解：①当时，，所以方程必有一个根为，故①错误．②方程有两个不相等的实根，则，那么，故方程必有两个不相等的实根，故②正确．③由是方程的一个根，得．当，则；当，则不一定等于0，故③不一定正确．故选：B．【点睛】本题主要考查一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、因式分解法解一元二次方程、等式的性质，熟练掌握一元二次方程的根、一元二次方程的根的判别式、等式的性质是解决本题的关键．11．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知关于x的方程的两根均大于1且小于2，则的取值范围是_____.【答案】【分析】先化简分式方程得一元二次方程，再根据根与系数的关系列出两个根与a，b，的关系式，最后根据根的范围，求出的取值范围.【详解】解：，去分母得，，设的两个根为，，由根与系数的关系可知，，，∴，∵，，均大于1且小于2，∴，，∴．∴．∴．故答案为：【点睛】本题考查根与系数的关系和代数式取值范围问题，熟练进行解方程，解不等式，正确运算是解题的关键.12．（2023春·浙江·七年级专题练习）已知，为实数，且满足，记的最大值为，最小值为，则___________．【答案】【分析】根据题意得出，进而根据关于的方程有实数解，得出，即可求解．【详解】解：∵，∴，∴，∵已知，为实数，且满足，∴关于的方程有实数解，∴，∴，的最大值为，的最大值为：，即，当时，的最小值为：，即，．故答案为：．【点睛】本题考查了一元二次方程根的判别式，熟练掌握一元二次方程的根的判别式是解题的关键．13．（2023秋·浙江宁波·八年级校考期末）已知平行四边形，，，点在边上，将平行四边形沿翻折，使点落在边的处，且满足，则______．【答案】/【分析】过点作于点，交的延长线于点，得出是等腰直角三角形，设，则，在中，，求得，在中，，得出，即可求解．【详解】解：如图，过点作于点，交的延长线于点，设，则，∵，四边形是平行四边形，∴，，，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴∴，在中，，即解得：或（舍去）在中，，∴解得：∴，故答案为：．【点睛】本题考查了折叠的性质，平行四边形的性质，勾股定理，解一元二次方程，正确的作出图形是解题的关键．14．（2023春·八年级单元测试）对于实数a，b，定义运算“*”：，例如：4*2，因为，所以，若、是一元二次方程的两个根，则的值是______．【答案】或【分析】求出一元二次方程的解，代入新定义对应的表达式即可求解．【详解】∵，∴，∴，或，∴，，或，，当，时根据，∴，当，时根据，∴，故答案为：或【点睛】此题主要考查了根与系数的关系，对新定义的正确理解是解题的关键．15．（2022秋·江苏宿迁·九年级统考阶段练习）对于实数a、b，定义运算“*”；，关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则的取值范围是___________．【答案】/【分析】根据新定义的运算，分两种情况得出两个关于的一元二次方程，再由关于的方程恰好有三个实数根，得到关于的两个一元二次方程的根的情况，然后分情况讨论，确定t的取值范围．【详解】解：由新定义的运算可得关于的方程为：当时，即时，有，即：，其根为：是负数，当时，即，时，有，即：，要使关于的方程恰好有三个不相等的实数根，则和都必须有解，∴，∴，（1）当时，即时，方程只有一个根，∵当时，，∴，，∴此时方程只有一个根符合题意，∴不符合题意；（2）当时，方程的两个根都符合题题意，∵当时，，∴，，∴方程只有一个根符合题意，∴当时，恰好有三个不相等的实数根；（3）∵当时，方程的一个根，另外一个根，∴此时方程只有一个根符合题意，∵，，∴当时，方程最多有一个根符合题意，∴当时不可能有三个不相等的实根；综上分析可知，的取值范围是．故答案为：．【点睛】本题考查了新运算及利用一元二次方程根的情况求字母的取值范围，读懂题意，进行分类讨论，是解题的关键．16．（2022秋·北京西城·九年级北京四中校考阶段练习）已知双曲线与直线交于点，.（1）若，则______；（2）若时，，则k______0，b______0（填“”、“”或“”）.【答案】0【分析】（1）联立两个函数解析式，整理为：再由根与系数的关系求解从而得到：，关于原点对称，从而可得答案；（2）由（1）的结论，结合，可得：＞，由可得结合：，可得＞，从而可得答案．【详解】解：（1）由题意得：，且两函数的交点为：，．，，为与的交点，由两函数的交点的性质可得：，关于原点对称，，互为相反数，故答案为：（2）由（1）得：同理可得：，当时，，且＞，，故答案为：，．【点睛】本题考查的是一次函数与反比例函数的交点问题，一次函数与反比例函数的图像与性质，同时考查了一元二次方程的根与系数的关系，不等式的性质，掌握以上知识是解题的关键．17．（2023·山东枣庄·统考一模）将关于x的一元二次方程变形为，就可以将表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，又如…，我们将这种方法称为“降次法”，通过这种方法可以化简次数较高的代数式．根据“降次法”，已知：，且．则的值为_______．【答案】【分析】先将变形为，再利用“降次法”将转化为，然后解一元二次方程，求出，再代入求值即可．【详解】解：，∴．∴，，，，，，．∵，，∴∴，∵，；∴原式．故答案为：．【点睛】本题考查代数式求值和解一元二次方程．理解并掌握“降次法”，是解题的关键．18．（2022秋·江苏盐城·九年级统考期中）对于一切不小于2的自然数n，关于x的一元二次方程的两个根为，则__________．【答案】【分析】由根与系数的关系得，，所以，则，然后代入即可求解．【详解】由根与系数的关系得，，所以，则，则．故答案为：．【点睛】本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据根与系数的关系求出一般形式再进行代入求值．19．（2022春·陕西西安·八年级高新一中校考期末）（1）若，且有，则的值是______．（2）如果方程的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数k的取值范围是______．【答案】【分析】（1）根据非负数的性质可得再变形可得可得是方程的两个根，再根据根与系数的关系可得答案；（2）先解方程可得或设的两根分别为可得再利用列不等式，再解不等式即可得到答案．【详解】解：（1）∵，∴则则是方程的两个根，（2），∴或设的两根分别为解得：由三角形的三边关系可得：而所以解得：综上：k的取值范围是故答案为：（1）；（2）【点睛】本题考查的是非负数的性质，高次方程的解法，一元二次方程根与系数的关系，一元一次不等式组的解法，三角形三边关系的应用，构建新的一元二次方程，再利用根的判别式与根与系数的关系解题是关键．20．（2023春·江苏·八年级期末）韦达是法国杰出的数学家，其贡献之一是发现了多项式方程根与系数的关系，如一元二次方程的两实数根分别为，则方程可写成，即，容易发现根与系数的关系：．设一元三次方程三个非零实数根分别，现给出以下结论：①，②；③；④，其中正确的是__________（写出所有正确结论的序号）．【答案】①③【分析】仿照题意所给的方法，得到原方程为，由此求解即可．【详解】解；∵一元三次方程三个非零实数根分别，∴，∴，∴，∴，∴，，，∴①③正确，②不正确；∵，∴④不正确，故答案为：①③．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，分式的化简，多项式乘法的应用，正确理解题意是解题的关键．21．（2022春·八年级单元测试）对于任意实数k，方程总有一个根是1(1)求实数a，b；(2)求另一个根的范围．【答案】(1)，；(2)方程的另一个根的范围是．【分析】（1）将代入方程有，根据题意知对于任意实数k恒成立，据此可得；（2）将a、b的值代入方程，并将方程变形为，据此可得方程的另一个根为，再结合的取值范围可得答案．【详解】（1）解：将代入方程有，根据题意知对于任意实数k恒成立，∴，即，则；（2）解：由（1）知方程为，即，所以方程的另一个实数根为，当时，∵，∴，；当时，∵，，∴，；∴方程的另一个根的范围是．【点睛】本题主要考查估算一元二次方程的近似解，解题的关键是掌握一元二次方程的解的定义和解一元二次方程的能力．22．（2023·四川南充·统考一模）关于的一元二次方程中，、、是的三条边，其中．(1)求证此方程有两个不相等的实数根；(2)若方程的两个根是、，且，求．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据求根公式，写出一元二次方程的，再根据、、是的三条边，结合，即可解答。（2）根据韦达定理得，，再用完全平方公式化简得，代入即可解答。【详解】（1）解：关于的一元二次方程去括号，整理为一般形式为：，，、、是的三条边，其中，，，，此方程有两个不相等的实数根；（2）方程的两个根是、，，，，，即，，，，，，，，，．【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式,根与系数的关系以及勾股定理的应用，掌握当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根是解题的关键．23．（2023春·浙江·八年级期中）相传，大禹治水时，洛水中出现了一个“神龟背上有妙的图案，史称“洛书”，用现在的数字翻译出来，就是三级幻方．三阶幻方是最简单的幻方，又叫九宫格，它是由九个数字组成的一个三行三列的矩阵其对角线、横行、纵向的数字之和均相等，这个和叫做幻和，正中间那个数叫中心数．如图1，是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，其幻和为15，中心数为5．(1)如图2也是由1、2、3、4、5、6、7、8、9所组成的一个三阶幻方，则x的值为______．(2)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的幻方称为基本三阶幻方，在此基础上各数再加或减一个相同的数，可组成新三阶幻方，新三阶幻方的幻和也随之变化，如图3，是由基本三阶幻方中各数加上m后生成的新三阶幻方，该新三阶幻方的幻和为的4倍，且，求的值．(3)由1、2、3、4、5、6、7、8、9生成的基本三阶幻方中每个数都乘以或除以一个不为0的数也可组成一个新三阶幻方，如图4，是由基本三阶幻方中各数乘以p再减2后生成的新三阶幻方，其中为9个数中的最大数，且满足求P及的值．【答案】(1)(2)15(3)，【分析】（1）由题意可知，，解方程即可．（2）由题意新三阶幻方是由图1生成的，可得中心数，幻和为：，进而可得，解方程即可．（3）由数中最大的数，可得，，，，根据，可得，由，得，可得②由，得，进而得，则带入②得，求得，进而可求得，，可得，．【详解】（1）由题意可知，，解得，故答案为：4；（2）解：由题意得：中心数，幻和为：，又∵新三阶幻方的幻和为的4倍，∴，∴，又∵，∴∴，即，∴，∴（3）∵数中最大的数，∴，，，∴，∵，∴，即：，又∵，∴又∵①∴②又∵，∴即∴，∴带入②得∴，∴，∴，∴，，∴，∴，．【点睛】本题考查规律型问题，幻方图等知识，解题的关键是理解题意，学会构建方程解决问题，属于中考常考题型．24．（2023春·浙江·八年级期中）正月十五是中华民族传统的节日——元宵节，家家挂彩灯、户户吃汤圆已成为世代相沿的习俗．位于北关古城内的盼盼手工汤圆店，计划在元宵节前用21天的时间生产袋装手工汤圆，已知每袋汤圆需要0.3斤汤圆馅和0.5斤汤圆粉，而汤圆店每天能生产450斤汤圆馅或300斤汤圆粉（每天只能生产其中一种）．(1)若这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套，且全部及时加工成汤圆，则总共生产了多少袋手工汤圆？(2)为保证手工汤圆的最佳风味，汤圆店计划把达21天生产的汤圆在10天内销售完毕．据统计，每袋手工汤圆的成本为13元，售价为25元时每天可售出225袋，售价每降低2元，每天可多售出75袋．汤圆店按售价25元销售2天后，余下8天进行降价促销，第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店，若最终获利40500元，则促销时每袋应降价多少元？【答案】(1)总共生产了袋手工汤圆(2)促销时每袋应降价3元【分析】（1）设总共生产了袋手工汤圆，利用这21天生产的汤圆馅和汤圆粉恰好配套做等量关系列出方程即可；（2）设促销时每袋应降价元，利用最终获利40500元做等量关系列出方程即可．【详解】（1）设总共生产了袋手工汤圆，依题意得，解得，经检验是原方程的解，答：总共生产了袋手工汤圆（2）设促销时每袋应降价元，当刚好10天全部卖完时，依题意得，整理得：，∴方程无解∴10天不能全部卖完∴第10天结束后将还未售出的手工汤圆以15元/袋的价格全部卖给古城小吃店的利润为∴依题意得，解得∵要促销∴即促销时每袋应降价3元．【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及一元二次方程的应用，解题的关键：（1）找准等量关系，正确列出一元一次方程；（2）找准等量关系，正确列出一元二次方程，需要注意分情况讨论．25．（2023春·福建南平·九年级专题练习）已知关于的方程有实数根．(1)若方程的两根之和为整数，求的值；(2)若方程的根为有理根，求整数的值．【答案】(1)(2)0或10或或12【分析】（1）根据关于的方程有两个根，且为实数根，先利用一元二次方程的根的判别式确定的取值范围，再根据一元二次方程的根与系数的关系，可知，若方程的两根之和为整数，即为整数，即可确定的值；（2）分两种情况讨论：当时，此时关于的方程为，求解可得，符合题意；当时，对于关于的方程可有，若方程的根为有理根，且为整数，则为某一有理数的平方，据此分析即可获得答案．【详解】（1）解：∵关于的方程有两个根，且为实数根，∴，且，根据一元二次方程的根与系数的关系，可知，若方程的两根之和为整数，即为整数，∵，∴是整数，∴，当时，，不符合题意；当时，，，为整数，符合题意；∴的值为；（2）当时，此时关于的方程为，解得；当时，对于关于的方程的根为：，若方程的根为有理根，且为整数，则为完全平方数，设（为正整数），则：，∵为整数，设（为正整数），∴，∴或或或，解得：或或（不合题意，舍去）或（不合题意，舍去）∴或；当时，解得或（舍去）；当时，解得或，综上所述，若方程的根为有理根，则整数的值为0或10或或12．【点睛】本题主要考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系以及公式法解一元二次方程等知识，熟练掌握并灵活运用相关知识是解题关键．26．（2023春·四川南充·九年级阆中中学校考阶段练习）已知方程的两根是、．(1)求的值；(2)求的值；(3)求作一个新的一元二次方程，使其两根分别等于、的倒数的立方．（参考公式：．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）利用一元二次方程根与系数的关系可得，再求得的值，进而求得的值．（2）先根据二次根式的性质将化为，然后通分化简可得，最后将代入计算即可；（3）由题意可得新一元二次方程的两个根为和，然后求得和的值，然后根据一元二次方程根与系数的关系即可解答．【详解】（1）解：∵方程的两根是、∴∴∴；（2）解：由（1）可知：，，∴（负值舍去）；（3）解：由题意可得新一元二次方程的两个根为和则所以新的一元二次方程．【点睛】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、完全平方公式的应用、二次根式的混合运算等知识点，灵活运用相关运算法则成为解答本题的关键．27．（2023春·浙江·八年级期末）（1）是关于的一元二次方程的两实根，且，求的值．（2）已知：，是一元二次方程的两个实数根，设，，…，．根据根的定义，有，，将两式相加，得，于是，得．根据以上信息，解答下列问题：①直接写出，的值．②经计算可得：，，，当时，请猜想，，之间满足的数量关系，并给出证明．【答案】（1）1；（2）①，；②，证明见解析【分析】（1）根据一元二次方程根与系数的关系可得出，．由，可得，即得出关于k的一元二次方程，解出k的值，再根据一元二次方程根的判别式验证，舍去不合题意的值即可；（2）①根据一元二次方程根与系数的关系可得出，，进而可求出，；②由一元二次方程的解的定义可得出，两边都乘以，得：①，同理可得：②，再由①+②，得：．最后结合题意即可得出，即．【详解】解：（1）∵是关于的一元二次方程的两实根，∴，，∴，整理，得：，解得：，．当时，，∴此时原方程没有实数根，∴不符合题意；当时，，∴此时原方程有两个不相等的实数根，∴符合题意，∴的值为1；（2）①∵，∴．∵，是一元二次方程的两个实数根，∴，，∴，；②猜想：．证明：根据一元二次方程根的定义可得出，两边都乘以，得：①，同理可得：②，由①+②，得：，∵，，，∴，即．【点睛】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程根的判别式，一元二次方程的解的定义．掌握一元二次方程的根的判别式为，且当时，该方程有两个不相等的实数根；当时，该方程有两个相等的实数根；当时，该方程没有实数根．熟记一元二次方程根与系数的关系：和是解题关键．28．（2023秋·重庆北碚·九年级重庆市兼善中学校考期末）对任意一个三位数，如果满足各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，那么称这个数为“快乐数”．例如：，因为，所以是“快乐数”．(1)请通过计算判断是不是“快乐数”，并直接写出最大的“快乐数”；(2)已知一个“快乐数”（、、，、、为自然数），且使关于的一元二次方程有两个相等的实数根，若，求满足条件的所有的值．【答案】(1)不是“快乐数”；最大的“快乐数”为(2)【分析】（1）根据“快乐数”的定义解答即可；（2）根据“快乐数”可得出，根据一元二次方程根的情况可得，再结合及、、，、、为自然数可得出、、的值，最后结合“快乐数”的定义即可得出答案．【详解】（1）解：∵，∴不是“快乐数”，∵各个数位上的数字都不为零，且十位上的数字等于百位上的数字与个位上的数字的平均数，各个数位上的数字最大为，又∵，∴最大的“快乐数”为．（2）∵为“快乐数”，∴，∵关于的一元二次方程有两个相等的实数根，∴，即，∴，解得：，，，∴，综上