专题1.4 三角形的外角【十大题型】（举一反三）（浙教版）（原卷版）

专题1.4三角形的外角【十大题型】【浙教版】TOC\o"1-3"\h\u【题型1应用三角形的外角性质求角度】 1【题型2应用三角形的外角性质比较角度大小】 2【题型3三角形的外角性质与角平分线的综合】 3【题型4三角形的外角性质与平行线的综合】 4【题型5三角形的外角性质与垂线的综合】 5【题型6应用三角形的外角性质解决折叠问题】 6【题型7应用三角形的外角性质解决三角板组合问题】 7【题型8三角形中角的不等关系的证明】 8【题型9应用三角形外角的性质解决角度测量问题】 10【题型10三角形有关角度关系的探究题】 11【知识点三角形的外角】概念：三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫做三角形的外角．性质：①三角形的外角和为360°；②三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和；③三角形的一个外角大于和它不相邻的任何一个内角．【题型1应用三角形的外角性质求角度】【例1】（2023春·重庆忠县·八年级统考期末）如图所示，点D是∠ACB内一点，若∠1=35°，∠2=40°，∠ADB=145°，则∠ACB的大小为（

）A．75° B．70° C．65° D．60°【变式1-1】（2023春·海南省直辖县级单位·八年级统考期末）若一个三角形两个外角之和为280°，那么这个三角形是（

）A．直角三角形 B．锐角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形【变式1-2】（2023春·山东滨州·八年级统考期中）如图，D是△ABC的BC边上一点，∠B=∠1，∠3=80°，∠BAC=70°．则∠2的大小是（

）A．20° B．25° C．30° D．35°【变式1-3】（2023春·广东江门·八年级台山市新宁中学校考期中）如图，已知△ABC中，∠BAC=3∠ABC=3∠ACB，CD是AB边上的高，求∠ACD度数．

【题型2应用三角形的外角性质比较角度大小】【例2】（2023春·山东威海·八年级统考期中）如图，∠1，∠A．∠1=∠2+∠3 B．2∠2=∠1+∠3 C．∠3>∠2>∠1 D．∠1>∠2>∠3【变式2-1】（2023春·陕西榆林·八年级统考期末）如图，点D为△ABC的边BC延长线上一点，关于∠B与∠ACD的大小关系，下列说法正确的是(

)A．∠B>∠ACD B．∠B=∠ACD C．∠B<∠ACD D．无法确定【变式2-2】（2023春·浙江杭州·八年级统考阶段练习）如图，点P是△ABC内一点，连接BP并延长交AC于D，连接PC，则图中∠1,∠2,∠A的大小关系是（

）A．∠A>∠2>∠1 B．∠A>∠1>∠2 C．∠2>∠1>∠A D．∠1>∠2>∠A【变式2-3】（2023春·甘肃张掖·八年级校考期末）如图，∠A、∠DOE和∠BEC的大小关系是(

).A．∠A＞∠DOE＞∠BEC B．∠DOE＞∠A＞∠BECC．∠BEC＞∠DOE＞∠A D．∠DOE＞∠BEC＞∠A【题型3三角形的外角性质与角平分线的综合】【例3】（2023春·黑龙江大庆·八年级校考期末）如图，在△ABC中，∠A=m°，∠ABC和∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC和∠A1CD的平分线交于点A2，得∠A2；…

【变式3-1】（2023春·天津·八年级校考期中）如图，△ABC中，AF是∠BAC的外角∠EAB的平分线，交CB的延长线于点F，BG是∠ABC的外角∠DBC的平分线，交AC的延长线于点G，若AF=BG=AB，则∠F的大小=（度）．【变式3-2】（2023春·广东肇庆·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AN是∠BAC的角平分线，∠B=50°，∠ANC=80°．求∠BAC和∠C的度数．【变式3-3】（2023春·浙江杭州·八年级校考开学考试）如图，在△ABC中，BO,CO分别平分∠ABC,∠ACB，交于点O,CE为外角∠ACD的平分线，BO的延长线交CE于点E．以下结论①∠OCE=90°，②∠1=2∠2，③∠BOC=90°+12∠1，④∠BOC=3∠2【题型4三角形的外角性质与平行线的综合】【例4】（2023春·广东清远·八年级期末）如图，已知直线AB∥CD，∠C=125°，∠A=40°，那么∠E的大小为（

）A．75° B．85° C．90° D．95°【变式4-1】（2023春·河南郑州·八年级河南省实验中学校考开学考试）如图，AB∥EF，A．β=α+γ B．α+β+γ=180°C．β+γ-α=90° D．α+β-γ=90°【变式4-2】（2023春·安徽安庆·八年级统考期末）如图，在△ABC中，E，F分别是AB，AC上的点，且EF∥BC，AD是∠BAC的平分线，分别交EF，BC于点H，D，则∠1、∠2和∠3之间的数量关系为（

A．∠1=∠2+∠3 B．∠1=2∠2+∠3 C．∠1+∠2=2∠3 D．∠1+∠3=2∠2【变式4-3】（2023春·江西吉安·八年级统考期末）已知：AB∥CD,∠AEB=∠BFC．(1)如图1，求证：∠AEB=∠ABE+∠DCF；(2)如图2，连接BC，∠BCF=2∠ABE，点P在射线AB上，∠BCP=12∠BCD，射线CP交EF于点M【题型5三角形的外角性质与垂线的综合】【例5】（2023春·广东东莞·八年级校考期中）如图，已知DF⊥AB于点F，且∠A=45°，∠D=30°，求∠ACD的度数．

【变式5-1】（2023春·湖北荆州·八年级统考期末）如图，在△ABC中，AD平分∠BAC，点E在射线BC上，EF⊥AD于F，∠B=40°，∠ACE=76°，则∠E的度数为（）A．32° B．34° C．56° D．58°【变式5-2】（2023春·江苏南京·八年级统考期末）在Rt△ABC中，∠A=90°，BD平分∠ABC，交AC于点D，M为直线AC上一点，ME⊥BC，垂足为E，∠AME的平分线交直线AB

(1)如图①，当点M在线段AC上，且∠C=50°时，求证BD∥(2)当点M在边AC的延长线上时，补全图②，判断BD与MF的位置关系并证明．【变式5-3】（2023春·广西南宁·八年级校考期中）在△ABC中.(1)如图1，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，AE平分∠BAC，AE，CD相交于点F，请直接写出线段CF与CE的数量关系；(2)如图2，∠ACB=90°，CD是AB边上的高，△ABC的外角∠BAG的平分线交CD的延长线于点F，其反向延长线与BC的延长线交于点E，则（1）中的结论还成立吗？请说明理由；

(3)如图3，AB上存在一点D，使得∠ACD=∠B，∠BAC的平分线AE交CD于点F．△ABC的外角∠BAG的平分线所在直线MN与BC的延长线交于点M．请求出∠M与∠CFE的数量关系．【题型6应用三角形的外角性质解决折叠问题】【例6】（2023春·湖北武汉·八年级校联考期中）如图1，△ADC中，点E和点F分别为AD，AC上的动点，把△ADC纸片沿EF折叠，使得点A落在△ADC的外部A'处，如图2所示．若∠1-∠2=42°，则∠A度数为A．20° B．21° C．21.5° D．22.5°【变式6-1】（2023春·重庆涪陵·八年级校考期中）如图，将△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在点A'处，且BA'平分∠ABC，CA'平分∠ACBA．60° B．65° C．70° D．75°【变式6-2】（2023春·广东湛江·八年级岭师附中校联考期末）如图，将纸片△ABC沿DE折叠，点A落在边BC上点F处，已知∠1+∠2=100°，则∠A=．

【变式6-3】（2023春·辽宁沈阳·八年级沈阳市第七中学校考期末）如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在图中的A'处，若∠A=28°，∠BDA'=90°，则【题型7应用三角形的外角性质解决三角板组合问题】【例7】（2023春·江苏·八年级开学考试）如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α的度数为（）A．45° B．50° C．75° D．80°【变式7-1】（2023春·四川泸州·八年级统考期末）如果将一副三角板按如图方式叠放，那么∠1等于（

）A．45° B．60° C．105° D．120°【变式7-2】（2023春·安徽淮北·八年级统考期中）将一副三角板按如图的方式摆放，若∠1=70°，则∠2的度数是（

）A．140° B．150° C．155° D．160°【变式7-3】（2023春·山东滨州·八年级统考期末）一副三角板如图所示摆放，则∠α与∠β的数量关系为（

）A．∠α=∠β+15° B．∠α+∠β=180°C．∠α+∠β=225° D．∠α=∠β【题型8三角形中角的不等关系的证明】【例8】（2013春·河北邯郸·八年级统考期末）如图：CD是△ABC中∠ACB的外角平分线，请猜测∠BAC和∠B的大小关系，并说明理由.【变式8-1】（2023春·八年级课时练习）已知：如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．求证：∠1＞∠2．【变式8-2】（2023春·内蒙古赤峰·八年级统考期中）实验与探究：在（

）内填写理论根据．在横线上填写结论在△AC中，如果AB>AC，那么我们可以将△ABC折叠，使边AC落在AB上，点C落在AB边上的D点，折线交BC于点E，则∠C=∠ADE．∵∠ADE=∠B+∠BED（

）∴∠ADE>∠B（

）∴∠C>∠B（

）结论：在一个三角形中，如果＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿那么＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿利用此结论，回答下面的问题：（1）在△ABC中，已知BC>AB>AC，那么∠A、∠B、∠C有怎样的大小关系？（用“>”表示出来）（2）如果一个三角形中最大的边所对的角是锐角，这个三角形一定是锐角三角形吗？为什么？（写出已知、求证、证明）【变式8-3】（2023春·河南周口·八年级阶段练习）如图，O是△ABC内任意一点，连接OB、OC．（1）求证：∠BOC＞∠A；（2）比较AB+AC与OB+OC的大小，并说明理由．【题型9应用三角形外角的性质解决角度测量问题】【例9】（2023春·广东梅州·八年级校考阶段练习）工人师傅生产了一种如图所示的零件，要求AB∥CD，工人师傅量出∠BAE=30°，∠AED=70°，∠EDC=40°，则该零件（填“合格”或“不合格【变式9-1】（2023春·山东济宁·八年级统考期中）一个零件的形状如图，按规定∠A＝90°，∠B＝∠D＝25°，判断这个零件是否合格，只要检验∠BCD的度数就可以了．量得∠BCD＝150°，这个零件（填“合格”不合格”）．【变式9-2】（2023春·江西南昌·八年级统考阶段练习）如图，有一个“工”字形零件，经测量，∠BMN=100°,∠MNC=70°，那么直线AB与CD所成的锐角的大小是．

【变式9-3】（2023春·八年级课时练习）下图是某工人加工的一个机器零件（数据如图），经过测量不符合标准．标准要求是：∠EFD=120°，且∠A、∠B、∠C保持不变为了达到标准，工人在保持∠E不变情况下，应将图中∠D（填“增大”或“减小”）度．【题型10三角形有关角度关系的探究题】【例10】（2023春·广东河源·八年级校考开学考试）△ABC中，∠C=80∘，点D，B分别是△ABC边AC，BC上的点，点P是一动点，令∠PDA=∠1，∠PEB=∠2，(1)若点P在边AB边上，且∠α=50°，如图1，则∠1+∠2=__．(2)若点P在边AB上运动，如图2所示．则∠α，∠1，∠2之间有何关系？猜想并说明理由．(3)若点P运动到边AB的延长线上，如图3，则∠α，∠1，∠2之间有何关系？猜想并说明理由．【变式10-1】（2023春·广东河源·八年级校考期末）如图1所示的图形，像我们常见的学习用品——圆规．我们不妨把这样图形叫做“规形图”，请发挥你的聪明才智，解决以下问题：(1)观察“规形图”，试探究∠BDC与∠A、(2)请你直接利用以上结论，解决以下三个问题：①如图2，把一块三角尺XYZ放置在△ABC上，使三角尺的两条直角边XY、XZ恰好经过点B、C，若∠A=50°，直接写出②如图3，DC平分∠ADB，EC平分∠AEB，若∠DAE=50°,∠DBE=130°，求∠DCE的度数；③如图4，∠ABD,∠ACD的10等分线相交于点G1、G2、⋯【变式10-2】（2023春·陕西西安·八年级统考期中）在△ABC中，∠C>∠B，AE平分∠BAC，F为射线AE上一点(不与点E重合)，且FD⊥BC于D．(1)如果点F与点A重合，且∠C=50°，∠B=