专题6.3大题易丢分期末考前必做解答30题（提升版）-2022-2023学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍 【苏科版】（解析版）

2022-2023学年八年级数学上学期复习备考高分秘籍【苏科版】专题6.3大题易丢分期末考前必做解答30题（提升版）一．解答题（共30小题）1．（2022秋•盐都区期中）求满足下列条件的x的值：（1）4x2﹣25＝0；（2）（x﹣3）3+125＝0．【分析】（1）方程变形后，利用平方根定义计算即可求出x的值；（2）方程变形后，利用立方根定义计算即可求出x的值．【解析】（1）方程整理得：x2＝，开方得：x＝±；（2）方程整理得：（x﹣3）3＝﹣125，开立方得：x﹣3＝﹣5，解得：x＝﹣2．2．（2022秋•锡山区期中）计算：（1）+|﹣1|+（﹣2）3；（2）+|1﹣|+﹣（）﹣1．【分析】（1）先算乘方，开方，再算加减即可；（2）先算开方，再去绝对值符号，最后算加减即可．【解析】（1）原式＝3+1﹣8＝﹣4；（2）原式＝5+﹣1﹣2﹣2＝．3．（2022秋•高新区校级期中）已知±是2a﹣1的平方根，3是3a+2b﹣3的算术平方根，求a+2b的平方根．【分析】根据题意求出2a﹣1＝5，3a+2b﹣3＝9，解出a，b的值代入a+2b中即可求解．【解析】∵±是2a﹣1的平方根，∴2a﹣1＝（）2，∴2a﹣1＝5，解得：a＝3，∵3是3a+2b﹣3的算术平方根，∴3a+2b﹣3＝9，解得：b＝，当a＝3，b＝时，∴a+2b＝6，∴a+2b的平方根为±．4．（2022秋•东台市校级期中）阅读下面的文字，解答问题：大家知道是无理数，而无理数是无限不循环小数，因此的小数部分我们不可能全部写出来，而1＜＜2，于是可用﹣1来表示的小数部分．请解答下列问题：（1）的整数部分是4，小数部分是﹣4．（2）如果的小数部分为a，的整数部分为b，求a+b﹣的值．【分析】（1）直接利用二次根式的性质得出的取值范围进而得出答案；（2）直接利用二次根式的性质得出，的取值范围进而得出答案．【解析】（1）∵＜＜，∴4＜＜5，∴的整数部分是4，小数部分是：﹣4；故答案为：4；﹣4；（2）∵＜＜，∴2＜＜3，∵的小数部分为a，∴a＝﹣2，∵＜＜，∴3＜＜4，∵的整数部分为b，∴b＝3，∴a+b﹣＝﹣2+3﹣＝1．5．（2022秋•射阳县校级月考）已知点Q（2m﹣6，m+2），试分别根据下列条件，回答问题．（1）若点Q在y轴上，求点Q的坐标．（2）若点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，求点Q的坐标．【分析】（1）根据y轴上的点的横坐标等于零，可得方程，解方程可得答案；（2）根据点Q到两坐标轴的距离相等，可得关于m的方程，解方程可得答案．【解析】（1）点Q在y轴上，则2m﹣6＝0，解得m＝3．所以m+2＝5，故Q点的坐标是（0，5）；（2）当点Q在∠xOy（即第一象限）角平分线上，有2m﹣6＝m+2，解得m＝8．所以2m﹣6＝10．故Q点的坐标是（10，10）．6．（2022春•崇川区期中）已知点A（3a﹣6，a+1），根据条件，解决下列问题：（1）点A的横坐标是纵坐标的2倍，求点A的坐标；（2）点A在过点P（3，﹣2）且与x轴平行的直线上，求线段AP的长．【分析】（1）根据点A（3a﹣6，a+1）的横坐标是纵坐标的2倍，列出方程即可；（2）根据与x轴平行的点纵坐标相同列方程求出A坐标，解答即可．【解析】（1）∵点A（3a﹣6，a+1）的横坐标是纵坐标的2倍，∴3a﹣6＝2（a+1）．∴a＝8．∴3a﹣6＝18，a+1＝9．点A坐标为（18，9）．（2）∵点A与x轴平行，过点P（3，﹣2），∴a+1＝﹣2．∴a＝﹣3．∴3a﹣6＝﹣15．∴点A的坐标为（﹣15，﹣2）．∴AP＝3﹣（﹣15）＝18．7．（2022春•海安市期中）如图，先将三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1．（1）请写出A、B、C的坐标；（2）皮克定理：计算点阵中顶点在格点上的多边形面积公式：s＝a+b÷2﹣1，其中a表示多边形内部的点数，b表示多边形边界上的点数，s表示多边形的面积．若用皮克定理求A1B1C1三角形的面积，则a＝9，b＝5，＝10.5．【分析】（1）利用平移变换的性质求解即可；（2）利用给出的皮克定理，求解即可．【解析】（1）∵A1（﹣1，1），B1（5，2），C2（2，5），三角形ABC向左平移3个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到三角形A1B1C1．∴A（2，5），B（8，6），C（5，9）；（2）由题意，a＝9，b＝5，＝9+2.5﹣1＝10.5．故答案为：9，5，10.5．8．（2022春•海门市期末）在平面直角坐标系xOy中，点A（x1，y1），B（x2，y2），若x2﹣x1＝y2﹣y1≠0，则称点A与点B互为“对角点”，例如：点A（﹣1，3），点B（2，6），因为2﹣（﹣1）＝6﹣3≠0，所以点A与点B互为“对角点”．（1）若点A的坐标是（4，﹣2），则在点B1（2，0），B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）中，点A的“对角点”为点B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）；（2）若点A的坐标是（﹣2，4）的“对角点”B在坐标轴上，求点B的坐标；（3）若点A的坐标是（3，﹣1）与点B（m，n）互为“对角点”，且点B在第四象限，求m，n的取值范围．【分析】（1）、（2）读懂新定义，根据新定义解题即可；（3）根据新定义和直角坐标系中第四象限x、y的取值范围确定m、n的取值范围即可．【解析】（1）根据新定义可以得B2、B3与A点互为“对角点”；故答案为：B2（﹣1，﹣7），B3（0，﹣6）；（2）①当点B在x轴上时，设B（t，0），由题意得t﹣（﹣2）＝0﹣4，解得t＝﹣6，∴B（﹣6，0）．②当点B在y轴上时，设B（0，b），由题意得0﹣（﹣2）＝b﹣4，解得b＝6，∴B（0，6）．综上所述：A的“对角点”点B的坐标为（﹣6，0）或（0，6）．（3）由题意得m﹣3＝n﹣（﹣1），∴m＝n+4．∵点B在第四象限，∴，∴，解得﹣4＜n＜0，此时0＜n+4＜4，∴0＜m＜4．由定义可知：m≠3，n≠﹣1，∴0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．故答案为：0＜m＜4且m≠3，﹣4＜n＜0且n≠﹣1．9．（2021秋•丰县校级月考）在平面直角坐标系xOy中，对于点P（x，y），若点Q的坐标为（ax+y，x+ay），其中a为常数，则称点Q是点P的“a级关联点”例如，点P（1，4）的“3级关联点”为Q（3×1+4，1+3×4），即Q（7，13）．（1）已知点A（2，﹣6）的“级关联点”是点B，求点B的坐标；（2）已知点P的5级关联点为（9，﹣3），求点P坐标；（3）已知点M（m﹣1，2m）的“﹣4级关联点”N位于坐标轴上，求点N的坐标．【分析】（1）根据关联点的定义，结合点的坐标即可得出结论；（2）设点P的坐标为（a，b），根据关联点的定义，结合点的坐标列方程组即可得出结论；（3）根据关联点的定义和点M（m﹣1，2m）的“﹣4级关联点”N位于坐标轴上，即可求出N的坐标．【解答】解（1）∵点A（2，﹣6）的“级关联点”是点B，故点B的坐标为（，）∴B的坐标（﹣5，﹣1）；（2）设点P的坐标为（a，b），∵点P的5级关联点为（9，﹣3），∴，解得，∵P（2，﹣1）；（3）∵点M（m﹣1，2m）的“﹣4级关联点”为M′（﹣4（m﹣1）+2m，m﹣1+（﹣4）×2m），当N位于y轴上时，﹣4（m﹣1）+2m＝0，解得：m＝2，∴m﹣1+（﹣4）×2m）＝﹣15，∴N（0，﹣15）；当N位于x轴上时，m﹣1+（﹣4）×2m＝0，解得m＝，∴﹣4（m﹣1）+2m＝，∴N（，0）；综上所述，点N的坐标为（0，﹣15）或（，0）．10．（2022秋•姑苏区期中）如图，△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，且∠BAC＝∠DAE．（1）求证：BD＝CE；（2）连接DC，若CD＝CE，试说明：AD平分∠BAC．【分析】（1）由∠BAC＝∠DAE，推导出∠BAD＝∠CAE，即可根据全等三角形的判定定理“SAS”证明△ABD≌△ACE，得BD＝CE；（2）由全等三角形的判定定理“SSS”证明△ABD≌△ACD，得∠BAD＝∠CAD，则AD平分∠BAC．【解答】（1）证明：∵△ABC和△ADE都是等腰三角形，BC、DE分别是这两个等腰三角形的底边，∴AB＝AC，AD＝AE，∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC﹣∠CAD＝∠DAE﹣∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△ABD和△ACE中，，∴△ABD≌△ACE（SAS），∴BD＝CE．（2）解：连接CD，∵CD＝CE，BD＝CE，∴BD＝CD，在△ABD和△ACD中，，∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC．11．（2022秋•钟楼区校级月考）如图①：△ABC中，∠A＝∠ABC，延长AC到E，过点E作EF⊥AB交AB的延长线于点F，延长CB到G，过点G作GH⊥AB交AB的延长线于H，且EF＝GH．（1）求证：△AEF≌△BGH；（2）如图②，连接EG与FH相交于点D，若AB＝4，求DH的长．【分析】（1）由AAS即可证明△AEF≌△BGH；（2）证明△EFD≌△GHD（AAS），即可解决问题．【解答】（1）证明：∵AC＝BC，∴∠A＝∠ABC．∵∠ABC＝∠GBH，∴∠A＝∠GBH．∵EF⊥AB，GH⊥AB，∴∠AFE＝∠BHG．在△ADG和△CDF中，，∴△AEF≌△BGH（AAS）．（2）解：∵△AEF≌△BGH，∴AF＝BH，∴AB＝FH＝4．∵EF⊥AB，GH⊥AB，∴∠EFD＝∠GHD．在△EFD和△GHD中，，∴△EFD≌△GHD（AAS），∴．12．（2022秋•启东市期中）若△ABC和△ADE均为等腰三角形，且AB＝AC＝AD＝AE，当∠ABC和∠ADE互余时，称△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”，△ABC的边BC上的高AH叫做△ADE的“余高”．如图，△ABC与△ADE互为“底余等腰三角形”．（1）若连接BD，CE，判断△ABD与△ACE是否互为“底余等腰三角形”：是（填“是”或“否”）；（2）当∠BAC＝90°时，若△ADE的“余高”AH＝3，则DE＝6；（3）当0＜∠BAC＜180°时，判断DE与AH之间的数量关系，并说明理由．【分析】（1）连接BD、CE，由AB＝AC＝AD＝AE，得∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，∠ADB＝∠ABD，∠AEC＝∠ACE，即可由∠ABC+∠ADE＝90°，推导出2（∠ABC+∠ADE）＝180°，则2（∠ADB+∠AEC）＝180°，所以∠ADB+∠AEC＝90°，则△ABD与△ACE互为“底余等腰三角形”，于是得到问题的答案．（2）当∠BAC＝90°时，则△ADE和△ABC都是等腰直角三角形，先证明△ADE≌△ABC，再证明AH＝BH＝CH＝BC＝3，则DE＝BC＝6，于是得到问题的答案；（3）作AF⊥DE于点F，由AD＝AE，得DF＝EF，再证明△DFA≌△AHB，得DF＝AH，则DE＝2DF＝2AH．【解析】（1）如图1，连接BD、CE，∵AB＝AC＝AD＝AE，∴∠ABC＝∠ACB，∠ADE＝∠AED，∠ADB＝∠ABD，∠AEC＝∠ACE，∴∠ABC+∠ACB+∠ADE+∠AED＝2（∠ABC+∠ADE），∠ADB+∠ABD+∠AEC+∠ACE＝2（∠ADB+∠AEC），∵∠ABC+∠ADE＝90°，∴2（∠ABC+∠ADE）＝180°，∴2（∠ADB+∠AEC）＝180°，∴∠ADB+∠AEC＝90°，∴△ABD与△ACE互为“底余等腰三角形”，故答案为：是．（2）如图2，∵∠BAC＝90°，AB＝AC＝AD＝AE，∴∠B＝∠C＝45°，∵∠B+∠D＝90°，∴∠D＝45°，∴∠D＝∠E＝∠B＝∠C＝45°，在△ADE和△ABC中，，∴△ADE≌△ABC（AAS），∵AB＝AC，AH⊥BC，∴BH＝CH，∠HAB＝∠HAC＝45°，∴AH＝BH＝CH＝BC＝3，∴DE＝BC＝6，故答案为：6.（3）DE＝2AH，理由：如图3，作AF⊥DE于点F，∵AD＝AE，∴DF＝EF，∵∠DFA＝∠AHB＝90°，∠B+∠D＝90°，∴∠D＝∠BAH＝90°﹣∠B，在△DFA和△AHB中，，∴△DFA≌△AHB（AAS），∴DF＝AH，∴DE＝2DF＝2AH．13．（2022秋•邗江区期中）如图，△ABO≌△CDO，点E、F在线段AC上，且AF＝CE．试判断FB与ED的关系，并说明理由．【分析】根据全等三角形的性质可得BO＝DO，AO＝CO，进一步可证△BOF≌△DOE（SAS），根据全等三角形的性质可得BF＝DE，∠BFO＝∠DEO，根据平行线的判定可得BF∥ED．【解析】FB＝ED，FB∥ED，理由如下：∵△ABO≌△CDO，∴BO＝DO，AO＝CO，∵AF＝CE，∴OF＝OE，在△BOF和△DOE中，，∴△BOF≌△DOE（SAS），∴BF＝DE，∠BFO＝∠DEO，∴BF∥ED，∴FB＝ED，FB∥ED．14．（2022秋•新北区期中）如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝5，AD是△ABC中线，点E在AD的延长线上，且AD＝DE＝2．（1）求CE的长；（2）求△ABC的面积．【分析】（1）证△ABD≌△ECD（SAS），得出AB＝CE＝3即可；（2）由勾股定理逆定理证得△ACE是直角三角形，求得△ACE的面积，即可得出△ABC的面积．【解析】（1）∵AD是边BC上的中线，∴BD＝CD，在△ABD和△ECD中，，∴△ABD≌△ECD（SAS），∴AB＝CE＝3，即CE的长为3；（2）∵AD＝DE＝2，∴AE＝4，∵AC＝5，CE＝3，∴AE2+CE2＝AC2，∴△ACE是直角三角形，∴S△ABC＝S△ACE＝×3×4＝6．15．（2022秋•姑苏区期中）在如图所示的正方形网格中，每个小正方形的边长都是1，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣3，6），B（﹣1，2），C（﹣5，4）．（1）作出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1．并写出点A1的坐标（3，6）．（2）在第（1）题的变换下，若点M（m，n）是线段AC上的任意一点，那么点M的对应点M1的坐标为（﹣m，n）．（3）在y轴上找一点P，使PA＝PB，则P点坐标为（0，5）．【分析】（1）利用关于y轴对称的点的坐标特征得到点A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；（2）利用关于y轴对称的点的坐标特征求解；（3）作AB的垂直平分线交y轴于P点，从而得到P点坐标．【解析】（1）如图，△A1B1C1为所作，点A1的坐标为（3，6）；（2）点M（m，n）关于y轴的对称点M1的坐标为（﹣m，n）；故答案为：（﹣m，n）；（3）P点坐标为（0，5）；故答案为（0，5）．16．（2022秋•泗阳县期中）如图，△ABC中，AD⊥BC，CE是△ABC的中线，DG垂直平分CE．（1）求证：CD＝AE；（2）若∠B＝50°，求∠BCE的度数．【分析】（1）由直角三角形斜边上的中线可得DE＝AB＝BE＝AE，利用线段垂直平分线的性质可得DE＝DC，进而可证明结论；（2）由等腰三角形的性质及三角形外角的性质可得∠B＝∠EDB＝2∠BCE，即可求解．【解答】（1）证明：∵AD⊥BC，CE是△ABC的中线，∴DE＝AB＝BE＝AE，∵DG垂直平分CE，∴DE＝DC，∴CD＝AE；（2）解：∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠BCE，∴∠EDB＝∠BCE+∠DEC＝2∠BCE，∵DE＝BE，∴∠B＝∠EDB，∴∠B＝2∠BCE，∵∠B＝50°，∴∠BCE＝25°．17．（2022秋•新北区期中）如图，在△ABC中，∠A＝40°，点D，E分别在边AB，AC上，BD＝BC＝CE，连接CD，BE．（1）若∠ABC＝80°，求∠BDC，∠ABE的度数；（2）直接写出∠BEC与∠BDC之间的数量关系（不必说明理由）．【分析】（1）根据等腰三角形的性质得到∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，根据三角形的内角定理得到∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，推出△BCE是等边三角形，得到∠EBC＝60°，于是得到结论；（2）根据等腰三角形的性质得到∠CBE＝∠BEC＝α，再根据△BDC的内角和等于180°，求得β，得出α+β的值，于是得到结论．【解析】（1）∵∠ABC＝80°，BD＝BC，∴∠BDC＝∠BCD＝（180°﹣80°）＝50°，∵∠A+∠ABC+∠ACB＝180°，∠A＝40°，∴∠ACB＝180°﹣40°﹣80°＝60°，∵CE＝BC，∴△BCE是等边三角形，∴∠EBC＝60°，∴∠ABE＝∠ABC﹣∠EBC＝80°﹣60°＝20°；（2）∠BEC与∠BDC之间的关系：∠BEC+∠BDC＝110°，理由：设∠BEC＝α，∠BDC＝β，在△ABE中，α＝∠A+∠ABE＝40°+∠ABE，∵CE＝BC，∴∠CBE＝∠BEC＝α，∴∠ABC＝∠ABE+∠CBE＝∠A+2∠ABE＝40°+2∠ABE，在△BDC中，BD＝BC，∴∠BDC+∠BCD+∠DBC＝2β+40°+2∠ABE＝180°，∴β＝70°﹣∠ABE，∴α+β＝40°+∠ABE+70°﹣∠ABE＝110°，∴∠BEC+∠BDC＝110°．18．（2022秋•滨湖区校级期中）在△ABC中，∠ACB＝90°，点E、F分别是边AB、BC上的两个点，点B关于直线EF的对称点P恰好落在边AC上且满足EP⊥AC．（1）请你利用无刻度的直尺和圆规画出对称轴EF；（保留作图痕迹，不写作法）（2）若BC＝3，AC＝4，则线段EP＝．【分析】（1）作∠ABC的角平分线BP，作线段BP的垂直平分线交AB于E，交BC于F，直线EF即为所求作．（2）设BE＝EP＝PF＝BF＝x，利用平行线分线段成比例定理，求出x，再根据菱形的面积公式求解即可．【解析】（1）如图，直线EF即为所求作．（2）由作图可知，四边形BEFPF是菱形，设BE＝EP＝PF＝BF＝x，∵EP⊥AC，∴∠APE＝∠ACB＝90°，∴PE∥BC，∴，∴，∴x＝，故答案为：．19．（2022秋•常州期中）如图，A、B两点分别在射线OM，ON上，点C在∠MON的内部，且AC＝BC，CD⊥OM，CE⊥ON，垂足分别为D，E，且AD＝BE．（1）求证：OC平分∠MOW；（2）若AD＝3，BO＝4，求AO的长．【分析】（1）根据全等三角形的判定定理推出Rt△ADC≌Rt△BEC，根据全等三角形的性质得出CD＝CE，再得出答案即可；（2）根据全等三角形的性质得出AD＝BE＝3，根据全等三角形的判定定理推出Rt△ODC≌Rt△OEC，Rt根据全等三角形的性质得出OD＝OB，再求出答案即可．【解答】（1）证明：∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠ADC＝∠CEB＝90°，在Rt△ADC和Rt△BEC中，，∴Rt△ADC≌Rt△BEC（HL），∴CD＝CE，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴OC平分∠MON；（2）解：∵Rt△ADC≌Rt△BEC，AD＝3，∴BE＝AD＝3，∵BO＝4，∴OE＝OB+BE＝4+3＝7，∵CD⊥OM，CE⊥ON，∴∠CDO＝∠CEO＝90°，在Rt△DOC和Rt△EOC中，，∴Rt△DOC≌Rt△EOC（HL），∴OD＝OE＝7，∵AD＝3，∴OA＝OD+AD＝7+3＝10．20．（2022秋•镇江期中）国庆节前，学校开展艺术节活动，小明站在距离教学楼（CD）35米的A处，操控一架无人机进行摄像，已知无人机在D点处显示的高度为距离地面30米，随后无人机沿直线匀速飞行到点E处悬停拍摄，此时显示距离地面10米，随后又沿着直线飞行到点B处悬停拍摄，此时正好位于小明的头项正上方（AB∥CD），且显示距离地面25米，已知无人机从点D匀速飞行到点E所用时间与它从点E匀速飞行到点B所用时间相同，你能求出无人机从点D到点E再到点B一共飞行了多少米吗？请写出相应计算过程．【分析】过E作MN⊥AB于M，交CD于N，在Rt△ABM中，BE2＝BM2+EM2，在Rt△DEN中，DE2＝DN2+EN2，根据BE＝DE求出EM，根据勾股定理即可求得结论．【解析】过E作MN⊥AB于M，交CD于N，由题意得AB＝25米，CD＝30米，AC＝35米，AB∥CD，AB⊥AC，EF⊥AC，CD⊥AC，BE＝DE，∴MN⊥CD，∴四边形AMEF，四边形EFCN，四边形ACNM是矩形，∴MN＝AC＝35米，BM＝15米，DN＝20米，EN＝（35﹣EM）米，在Rt△ABM中，BE2＝BM2+EM2，在Rt△DEN中，DE2＝DN2+EN2，∴BM2+EM2＝DN2+EN2，∴152+EM2＝202+（35﹣EM）2，解得EM＝20米，∴BE＝＝25（米），∴BE+DE＝50米．答：无人机从点D到点E再到点B一共飞行了50米．21．（2022秋•江都区期中）同学们都知道，凡是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，称之为“勾股数”．比如3，4，5或11，60，61等．（1）请你写出另外两组勾股数：6，8，10；7，24，25；（2）清朝的扬州籍数学家罗士琳提出了四个构造勾股数的法则，其中有两个法则如下：（I）如果k是大于1的奇数，那么k，，是一组勾股数（Ⅱ）如果k是大于2的偶数，那么k，，是一组勾股数①如果在一组勾股数中，其中有一个数为12，根据法则（I）求出另外两个数；②请你任选其中一个法则证明它的正确性．【分析】（1）根据勾股数的定义解决此题．（2）①根据题干中法则Ⅰ解决此题．②根据整式的运算以及勾股数的定义解决此题．【解析】（1）勾股数分别为6，8，10；7，24，25．故答案为：8，10；24，25．（2）①根据法则（I），则或．∴k＝5或（不是奇数，舍去）．∴k＝5．∴＝13．∴另外两个数为5、13．②选择法则Ⅰ，证明过程如下：＝＝＝＝．∴＝．选择法则Ⅱ，证明过程如下：＝＝＝＝．∴＝．22．（2022秋•玄武区校级期中）如图，在△ABC中，AB边上的垂直平分线DE与AB、AC分别交于点D、E，且CB2＝AE2﹣CE2．（1）求证：∠C＝90°；（2）若AC＝4，BC＝3，求CE的长．【分析】（1）连接BE，根据线段垂直平分线的性质和勾股定理的逆定理即可求解；（2）设CE＝x，则AE＝BE＝4﹣x，在Rt△BCE中，根据BE2﹣CE2＝BC2列出方程计算即可求解．【解答】（1）证明：连接BE，∵AB边上的垂直平分线为DE，∴AE＝BE，∵CB2＝AE2﹣CE2，∴CB2＝BE2﹣CE2，∴CB2+CE2＝BE2，∴∠C＝90°；（2）解：设CE＝x，则AE＝BE，在Rt△BCE中，BE2﹣CE2＝BC2，∴（4﹣x）2﹣x2＝32，解得：x＝，∴CE的长为．23．（2022春•崇川区期中）定义：在平面直角坐标系xOy中，对于任意一点P（x，y）如果满足y＝2|x|，我们就把点P（x，y）称作“和谐点”．（1）在直线y＝6上的“和谐点”为（3，6）或（﹣3，6）；（2）求一次函数y＝﹣x+2的图象上的“和谐点”坐标；（3）已知点P，点Q的坐标分别为P（2，2），Q（m，5），如果线段PQ上始终存在“和谐点”，直接写出m的取值范围是m≤．【分析】（1）由“和谐点”定义可求解；（2）由题意可得“和谐点”在直线y＝2x或直线y＝﹣2x上，联立方程组，可求一次函数y＝﹣x+2的图象上的“和谐点”；（3）画出“和谐点”函数图象，利用特殊点可求解．【解析】（1）∵y＝2|x|，且y＝6，∴x＝±3，∴在直线y＝6上的“和谐点”为（3，6）或（﹣3，6），故答案为：（3，6）或（﹣3，6）；（2）∵y＝2|x|，∴y＝2x或y＝﹣2x，∴“和谐点”在直线y＝2x或直线y＝﹣2x上，由题意可得：或，解得或，∴一次函数yy＝﹣x+2的图象上的“和谐点”为（，）或（﹣2，4）；（3）如图，做直线y＝2，y＝5，线段PQ一定在y＝2，y＝5之间，如果线段PQ上始终存在“和谐点”，线段PQ与y＝2|x|一定有交点，当Q（m，5），在直线y＝2x上时，∴m＝，∴当m≤时，线段PQ上始终存在“和谐点”；当Q（m，5），在直线y＝﹣2x上时，∴m＝﹣，∴当m≤﹣时，线段PQ上始终存在“和谐点”；综上所述：当m≤时，线段PQ上始终存在“和谐点”．故答案为：m≤．24．（2022•盐城）小丽从甲地匀速步行去乙地，小华骑自行车从乙地匀速前往甲地，同时出发．两人离甲地的距离y（m）与出发时间x（min）之间的函数关系如图所示．（1）小丽步行的速度为80m/min；（2）当两人相遇时，求他们到甲地的距离．【分析】（1）用路程除以速度即可得小丽步行的速度；（2）求出小华的速度，即可求出两人相遇所需的时间，进而可得小丽所走路程，即是他们到甲地的距离．【解析】（1）由图象可知，小丽步行的速度为＝80（m/min），故答案为：80；（2）由图象可得，小华骑自行车的速度是＝120（m/min），∴出发后需要＝12（min）两人相遇，∴相遇时小丽所走的路程为12×80＝960（m），即当两人相遇时，他们到甲地的距离是960m．25．（2022春•通州区期末）文具超市出售某品牌的水笔，每盒标价50元，为了促销，超市制定了A，B两种方案：A：每盒水笔打九折；B：5盒以内（包括5盒）不打折，超过5盒后，超过的部分打8折．（1）若购买水笔x盒，请分别直接写出用A方案购买水笔的费用y1（元）和用B方案购买水笔的费用y2（元）关于x（盒）的关系式；（2）若你去购买水笔，如何选择哪种方案更优惠？请说明理由．【分析】（1）根据题意直接得出函数解析式即可；（2）分0≤x≤5和x＞5两种情况，分别计算所需费用，然后比较大小即可．【解析】（1）A方案：y1＝50×0.9x＝45x；B方案：，∴y1关于x（盒）的关系式为y1＝45x；y2关于x（盒）的关系式为；（2）①当0＜x≤5的整数时，∵y1＝45x，y2＝50x，∴y1＜y2，∴选择A方案更优惠；②当x＞5的整数时，∵y1＝45x，y2＝50+40x，∴分三种情况：（i）当y1＝y2时，即45x＝50+40，∴x＝10；（ii）当y1＞y2时，即45x＞50+40x，∴x＞10；（iii）当y1＜y2时，即45x＜50+40x，∴x＜10；综上所述，当购买10盒时，A、B两种方案一样的优惠；当购买小于10盒时，A方案更优惠；当购买大于10盒时，B方案更优惠．26．（2022春•海门市期末）定义：形如的函数称为正比例函数y＝kx（k≠0）的“分移函数”，其中b叫“分移值”．例如，函数y＝2x的“分移函数”为，其中“分移值”为1．（1）已知点（1，2k）在y＝kx（k≠0）的“分移函数”的图象上，则k＝2；（2）已知点P1（2，1﹣m），P2（﹣3，2m+1）在函数y＝2x的“分移函数”的图象上，求m的值；（3）已知矩形ABCD顶点坐标为A（1，0），B（1，2），C（﹣2，2），D（﹣2，0）．函数y＝kx的“分移函数”的“分移值”为3，且其图象与矩形ABCD有两个交点，直接写出k的取值范围．【分析】（1）待定系数法求解析式即可；（2）将点P1（2，1﹣m），P2（﹣3，2m+1）代入函数y＝2x的“分移函数”的解析式，可得关于m和b的二元一次方程组，求解即可；（3）根据函数y＝kx的“分移函数”图象与矩形ABCD的性质，通过计算函数图象分别过点B和过点D时k的值，即可确定图象与矩形ABCD有两个交点时k的取值范围．【解析】（1）将点（1，2k）代入y＝kx+2，得k+2＝2k，解得k＝2，故答案为：2；（2）根据题意，将点P1（2，1﹣m）代入y＝2x+b，得4+b＝1﹣m①，将点P2（﹣3，2m+1）代入y＝2x﹣b，得﹣6﹣b＝2m+1②，①+②得﹣2＝m+2，∴m＝﹣4，（3）∵函数y＝kx的“分移函数”的“分移值”为3，∴，当k＞0时，函数图象与矩形ABCD没有交点，当k＜0时，当函数图象经过点B时，如图所示：此时函数图象与矩形ABCD有一个交点，将点B（1，2）代入y＝kx+3，得k+3＝2，解得k＝﹣1，当函数图象经过点D时，此时函数图象与矩形ABCD有三个交点，将点D（﹣2，0）代入y＝kx﹣3，得﹣2k﹣3＝0，解得k＝，∴当函数图象与矩形ABCD有两个交点时，k的取值范围是．27．（2022春•海州区期末）某地区为绿化环境，计划购买甲、乙两种树苗共计n棵．有关甲、乙两种树苗的信息如图所示．信息1．甲种树苗每棵60元；2．乙种树苗每棵90元；3．甲种树苗的成活率为90%；4．乙种树苗的成活率为95%．（1）当n＝400时，如果购买甲、乙两种树苗公用27000元，那么甲、乙两种树苗各买了多少棵？（2）实际购买这两种树苗的总费用恰好为27000元，其中甲种树苗买了m棵．①写出m与n满足的关系式；②要使这批树苗的成活率不低于92%，求n的最大值．【分析】（1）设甲种树苗购买了x棵，乙种树苗购买了y棵，根据n＝400，购买甲、乙两种树苗共用27000元列方程组求解即可；（2）①设甲种树苗的数量为m棵，则乙种树苗的数量为（n﹣m）棵，根据购买甲、乙两种树苗共用27000元可列方程解答；②根据这批树苗的成活率不低于92%可列出不等式求解．【解析】（1）设甲种树苗购买了x棵，乙种树苗购买了y棵，根据题意，得，解得，所以甲种树苗购买了300棵，乙种树苗购买了100棵；（2）①甲种树苗的数量为m棵，则乙种树苗的数量为（n﹣m）棵，60m+90（n﹣m）＝27000，∴m＝3n﹣900；②根据题意，得90%m+95%（n﹣m）≥92%n，把m＝3n﹣900带入，得90%（3n﹣900）+95%（900﹣2n）≥92%n，解得n≤375，所以n的最大值为375．28．（2022•淮安模拟）小华早起锻炼，往返于家与体育场之间，离家的距离y（米）与时间x（分）的关系如图所示．回答下列问题：（1）小华家与体育场的距离是2400米，小华在体育场休息5分钟；（2）小华从体育场返回家的速度是160米/分；（3）小明与小华同时出发，匀速步行前往体育场，假设小明离小华家的距离y（米）与时间x（分）的关系可以用y＝kx+400来表示，而且当小华返回到家时，小明刚好到达体育场．求k的值并在图中画出此函数的图象（用黑水笔描清楚）．【分析】（1）由图象直接可得小华家与体育场的距离是2400米，小华在体育场休息5分钟；（2）由速度＝路程÷时间可得小华从体育场返回家的速度是160米/分；（3）把（40，2400）代入y＝kx+400得k＝50，画出图象即可．【解析】（1）由图象可知小华家与体育场的距离是2400米，小华在体育场休息25﹣20＝5（分钟）；故答案为：2400，5；（2）小华从体育场返回家的速度是2400÷（40﹣25）＝160（米/分）；故答案为：160；（3）根据题意知图象经过（40，2400），代入y＝kx+400得：2400＝40k+400，∴k＝50，画出函数的图象如下：29．（2021秋•广陵区校级期末）如图1，在矩形OACB中，点A，B分别在x轴、y轴正半轴上，点C在第一象限，OA＝8，OB＝6．（1）请直接写出点C的坐标；（2）如图②，点F在BC上，连接AF，把△ACF沿着AF折叠，点C刚好与线段AB上一点C′重合，求线段CF的长度；（3）如图3，动点P（x，y）在第一象限，且点P在直线y＝2x﹣4上，点D在线段AC上，是否存在直角顶点为P的等腰直角三角形BDP，若存在，请求出直线PD的解析式；若不存