痛点五-导数中的综合问题(解析版)

痛点五导数中的综合问题一、单选题1．函数的大致图象是（）．A． B．C． D．【答案】A【解析】由题意可知，的定义域为，令，得，排除选项D；又，当时，，所以在区间和上单调递减；当时，，所以在区间上单调递增；结合图像可知选项A正确.2．已知的导函数为，且满足，则（）A． B． C． D．【答案】B【解析】，则，取，则，则，故，.3．已知函数（）若对任意，恒成立，则的取值范围是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】条件等价于对任意.恒成立，设（）.则在上单调递减，则在上恒成立，得（）恒成立，∴（对，仅在时成立），故的取值范围是.4．已知函数的导数，则数列的前项和是（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，则，得，，，因此，数列的前项和.5．若函数的定义域是，，，则不等式的的解集为（）A． B．C． D．【答案】A【解析】构造函数，则不等式可转化为，则，∵，∴，则函数在上单调递减，∵，∴，则的解集为，则不等式的解集为.6．曲线：与曲线：公切线的条数是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【解析】设公切线与的切点为，公切线与的切点为，的导数为；的导数为，则在切点处的切线方程为，即，则在切点处的切线方程为，即，整理得到，令，则，；，在区间上单调递减，在区间上单调递增，，即函数与的图象，如下图所示由图可知，函数与有两个交点，则方程有两个不等正根，即曲线：与曲线：公切线的条数有2条。7．若函数在是增函数，则的最大值是（）A． B． C． D．【答案】A【解析】，则，由题意可知对任意的恒成立，则.对于函数，对于任意的恒成立，所以，函数在区间上单调递增，所以，函数在x=1处取得最小值，即，.因此，实数的最大值为.8．已知函数的定义域为，部分对应值如下表，的导函数的图象如图所示.当时，函数的零点个数为（）-1023412020A．4 B．5 C．6 D．7【答案】D【解析】由导函数的图像和原函数的关系得，原函数的大致图像如图：，函数，令，得，或，当时，与有三个交点，当时，即，与有四个交点，所以的零点有个.9．设函数有两个极值点，，且，则的取值范围是()A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意函数定义域为，.有两个极值点，，且，有两个正实根，，即方程有两个正实根，，且，，，且...设，则.,在上单调递增，，即，即.10．设曲线在点处的切线上有一动点，曲线.上有一点，则线段长度的最小值为（）A． B． C． D．【答案】C【解析】，，切线斜率，故曲线在处的切线方程为.又，令，则或（舍去）.又，故g（x）在处的切线方程为，与直线平行，这两条平行线间的距离为，故线段长度的最小值为.11．已知关于x的方程为则其实根的个数为（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【解析】将方程变形为,设，即，则，解得或，设，则所以在上单调递减，在上单调递增，在上单调递减.又，，且当时，，所以函数的大致图像如下,所以由或，即有2个根，有1个根.所以方程有3个实数根.12．已知函数的图象上有且仅有四个不同的点关于直线的对称点在的图象上,则实数的取值范围是()A． B． C． D．【答案】A【解析】直线关于直线的对称直线为，则直线与的函数图像有个交点，当时，，当时，，当时，，在上单调递增，在上单调递减，作出与直线的函数图像，如图所示：设直线与相切，切点为，则，解得，设直线与相切，切点为，则，解得，与的函数图像有个交点，直线与在和上各有个交点，。二、填空题13．函数的图象在处的切线被圆截得弦长为2，则实数a的值为________.【答案】或2【解析】因为，所以，代入切点横坐标，可知切线的斜率.又，所以切点坐标为，所以函数的图象，在处的切线方程为.又因为圆，圆心坐标为，半径为，所以圆心到切线的距离.因为切线被圆截得弦长为2，则，解得实数的值是或.14．已知函数,,实数,若使得对,都有成立,则的最大值为__________.【答案】6【解析】，,,又,故在单调递减,在单调递增，，又因为对任意,存在,使得，则只需要,令,得,或，由,可得,且，所以.15．设函数．若函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在点、处的切线互相垂直，则实数的取值范围为_____．【答案】【解析】由，则，，由于函数的图象上存在不同的两点、，使得曲线在点、处的切线互相垂直，则，即，即.解得.因此，实数的取值范围是.16．已知函数若函数的零点有2个或3个，则实数a的取值范围为_____．【答案】【解析】时，，，当时，，递增，当时，，递减，且此时，时，，，当时，，递增，当时，，递减，且此时，所以极小值，极大值，，在且，，的示意图如图所示，所以当它与有2个或3个交点时，．三、解答题17．已知函数的图象过原点，且在原点处的切线与直线垂直．（为自然对数的底数）．（1）讨论的单调性；（2）若对任意的，总有成立，求实数的取值范围．【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）.【解析】（1）依题意，，即，故，由在原点处的切线与直线垂直可知，，则，，①当时，在上恒成立，此时函数在上单调递增；②当时，由解得或，由解得，此时函数在，上单调递增，在上单调递减；③当时，由解得或，解得，此时函数在，上单调递增，在上单调递减；（2）由（1）可知，，则对任意上恒成立，，在上恒成立，设，则，令，则，由解得，易知当时，，单调递增，当时，，单调递减，，在上单调递减，，，即实数的取值范围为．18．已知函数函数与直线相切，设函数其中a、c∈R，e是自然对数的底数.（1）讨论h(x)的单调性；（2）h(x)在区间内有两个极值点.①求a的取值范围；②设函数h(x)的极大值和极小值的差为M，求实数M的取值范围.【答案】（1）答案见解析（2）①②【解析】设直线与函数相切与点，

函数在点处的切线方程为：，，

把，代入上式得，．所以，实数c的值为2．所以，，则，当时,，故函数在上单调递减，无增区间，当时，，，所以函数在上单调递增，无减区间，当时，令，解得，所以当或时，，当时，，所以函数在上单调递增，在上单调递减.综上，当时，函数在上单调递减；当时，函数在上单调递增；当时，函数在上单调递增，在上单调递减.由知，设函数在区间内有两个极值点，，令，则，设因为，故只需，所以，．

因为，所以

．由，得，且．．

设，，令，

，

在上单调递减，从而，所以，实数M的取值范围是.19．已知函数，.（1）讨论函数在上的单调性；（2）当时，设为函数图象上任意一点.直线的斜率为，求证：.【答案】（1）答案见解析.（2）证明见解析【解析】（1）∵，∴，当时，，函数在上单调递减；当时，由，得(舍负)当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.（2）证明：由已知，即证.∵，∴即证，①设，∴，∴，∵，∴，∴为增函数∴，∴为增函数∴，∴，即，即，∴，即，②构造函数，∵，，∴，∴在上为减函数，∴，∴在上为减函数，∴，∴，∴，即成立.由①②可知，∴成立.20．已知函数（Ⅰ）讨论极值点的个数；（Ⅱ）若是的一个极值点，且，证明：【答案】（Ⅰ）当时,无极值点；当时,有1个极值点；当或,有2个极值点.（Ⅱ）见解析【解析】（Ⅰ）由题得,的定义域为,ⅰ.若,则,所以当时,单调递减,当时,单调递增.所以,是唯一的极小值点,无极大值,故此时有且仅有1个极值点.ⅱ.,令①当时,,则当时,单调递增,当,单调递减.所以,分别是极大值点和极小值点,故此时有两个极值点.②当时,是的不变号零点,且故此时在上单调递增,无极值点.③当时,,则时,单调递增,当时,单调递减.所以,分别是极小值点和极大值点,此时有2个极值点.综上,当时,无极值点；当时,有1个极值点；当或,有2个极值点.（Ⅱ）证明：若是的一个极值点,由（Ⅰ）知,或,且,,令,则,所以，故，所以,当时,单调递增；当时,单调递减,所以是唯一极大值点也是最大值点,即.从而,即.21．已知函数.（1）当时，讨论的单调性；（2）若有两个不同零点，，证明：且.【答案】（1）分类讨论，详见解析；（2）详见解析.【解析】（1）.因为，由得或.i）即时，在单调递减，在单调递增，在单调递减；ii）即时，在单调递减；iii）即时，在单调递减，在单调递增，在单调递减.（2）由（1）知，时，的极小值为，时，的极小值为，时，在单调，故时，至多有一个零点.当时，易知在单调递减，在单调递增.要使有两个零点，则，即，得.令，（），则，所以在时单调递增，，.不妨设，则，，，.由在单调递减得，，即.22．已知函数.（1）当时，求在点处的切线方程；（2）若函数在上单调递增，求实数的取值范围；（3）证明：当时，不等式成立.【答案】（1）；（2）；（3）证明见解析【解