带传动动力学方程的简化求解

带传动动力学方程的简化求解

0带传动动力学带传递通常是摩擦传递。由于带与带轮之间摩擦和运动的相对不稳定性,与其他典型传动部件相比,带传动的动力学方程不能准确地预测各运动参数和尺寸参数之间的关系。在国外,带传动力学研究的历史较长,并取得了较大进展,Euler揭示了带拉力与摩擦因素之间的关系,蠕变理论解释了带速损失的原因,剪切理论说明了带速损失主要是由带的剪切变形引起的,CMM模型描述了带无级变速对带轮的影响。国内也对带传动力学进行了研究,文献中所列的平衡方程没有考虑惯性力的影响,文献只考虑了径向惯性力而忽略了周向惯性力。近年来,随着带传动转速的提高和高弹性带材料的使用,使得周向惯性力的影响因素增大,因此应该在传统的带传动计算公式中增加惯性力的因素。针对带传动应用发展的形势和出现的问题,本文先列出综合考虑周向和径向惯性力影响的动力平衡方程,然后根据方程进行讨论,确定了求解方程的几何关系和边界条件,通过与传统的工程算法进行比较,得出了满意的结论。1主从动轮中带的自然坐标系在由主动轮和从动轮组成的带传动系统中,假定带的变形是线弹性的,并且不考虑带材料和带剖面结构的复杂性;为简化研究对象,将带传动假设为平带传动,主从动轮的轮廓尺寸相同,带轮半径为r,主从动轮分别以角速度ω1和ω2转动。沿带的运动轨迹可建立带的自然坐标系。带在运转过程中,沿运动轨迹的任意点具有不同的位置坐标s,其线速度v(s)、带拉力F(s)、摩擦力f(s)和带之间的正压力N(s)亦随s而变化。带传动运动简图如图1所示,图中,vs、vt分别为松边和紧边线速度;b为中心距。假设带处于平稳的运转状态,其单位长度质量密度为q(s),线速度为v(s),由质量守恒可知质量流率G保持恒定,其值为G=q(s)v(s)(1)1.1微元包角和刚度在图2中,我们将与带轮接触的带取一微元ds,沿微元弧长变化带拉力F,其增量为dF,线速度增量为dv,微元包角为dα。微元受到带轮作用的周向摩擦力和径向单位长度正压力分别为f和N。由带在带轮上的转动特性,可将带微元的运动看作是流体微元运动,根据动量定律,在周向和径向有其中,ds=rdα,由于dα较小,故可用dα/2代替sin(dα/2),用1代替cos(dα/2)。略去微分高次项,式(2)可简化为1.2保持正压及保持压力对于式(3),我们可以做如下讨论:如果带要在带轮上保持正常运转,则带与带轮应保持一定的压力,理论上应该满足F-Gv≥0;如果只考虑径向惯性力而不考虑周向惯性力,即Gdv=0,则与文献的结果相同;如果径向、周向惯性力的影响均不被考虑,则式(3)变为dT=fds,N=T/r(T为主动轮转矩),与文献的结论吻合。2带传动扭矩传递问题的解析摩擦类型的带传动依赖摩擦力传递转矩,摩擦力的大小限制了带传动转矩传递局限在一定范围。在图1中,以传动比i=1的平带传动为例,由于假设带的拉伸变形是线弹性的,带轮轴距不变,在考虑周向和径向带惯性力的条件下,可以用式(3)来求解带传动的扭矩传递问题。已知的条件是带轮直径r、带的初拉力F0、主动轮转矩T及主动轮角速度ω1、带与带轮之间的摩擦因数μ、带的刚度k,求解的目标是从动轮角速度ω2、主从动轮的动角β1和β2、带的拉力F和线速度v分布、带与带轮接触部分的单位长度摩擦力f和单位长度正压力N分布。2.1段内应力与应变的关系尽管我们不对带变形做非线性分析,但确定带材料的力与应变之间的关系并将其引申为带拉力与速度之间的关系,仍有助于带传动问题的求解。在紧边和松边,带不与带轮接触,无约束自由运动。在此两段范围内,应力和应变保持恒定,有如下关系:在接触段,带的周向应变为ε(s)=(Δl-Δl0)/Δl0(5)式中,ε(s)为带上任意点的应变;Δl0为带微元的初始长度;Δl为带微元运转时承受载荷的长度。在线弹性状态下,带拉力与带应变成正比,因此带上任一横截面的拉力与应变有如下关系:F(s)=F0+kε(s)(6)带上任一横截面处速度与应变的关系为v(s)=v0+v0ε(s)(7)式中,v0为带的参考线速度。由式(6)和式(7)可得带拉力与带速之间的关系式:F(s)=F0+k(v(s)/v0-1)(8)2.2紧边和松边的滑动根据带运转过程中受力特点不同,沿自然坐标s,带运转一个周期可分6个阶段,分别是紧边区、主动轮静角区、主动轮动角区、松边区、从动轮静角区、从动轮动角区,利用前述方程式,分别进行求解。假设在带开始运转时主从动轮皆未与带产生滑动,则紧边和松边带的线速度分别为v1=rω1,v2=rω2。再假设带的初始拉力F0=0,则式(8)简化为F(s)=k(v(s)/v0-1)(9)由文献,紧边和松边的拉应力分别为综合式(9)和式(10),可得ω2和v0的计算式:ω2=2F0+2k-Τ/r2F0+2k+Τ/rω1ω2=2F0+2k−T/r2F0+2k+T/rω1(11)v0=2r2ω1k2rF0+Τ+2rkv0=2r2ω1k2rF0+T+2rk(12)式(9)可转化为F(s)=k[(F0k+Τ2rk+1)v(s)rω1-1]F(s)=k[(F0k+T2rk+1)v(s)rω1−1](13)2.2.1带窄边界由式(4)可得2.2.2主扰动连接区域紧边区分成两部分:带与带轮不产生相对弹性滑动的静角段和产生相对滑动的动角段。(1)带加速度—静角段。带与主动轮不产生相对滑动,带维持紧边上的速度,此区域内,v(s)=v1=rω1;同时,带不发生变形,应变ω(s)=0,则带拉力F(s)=F1;在此段内,无速度和拉力增量,即dF=0,dv=0,由式(3),带与带轮间的单位摩擦力f=0。主动轮接触区静角段各参数如下:(2)f2mv32带与带轮产生相对的弹性滑动,带由紧边转向松边过程中,带速逐渐落后于主动轮的线速度,从v1减小为v2。带上单位长度的摩擦力方向与运动方向相反,f=-μN;由式(1)、式(3)和ds=rdα得d(F-Gv)F-Gv=-μdαd(F−Gv)F−Gv=−μdα(16)对式(16)两端进行积分,可得动角:β1=1μlnF1-Gv1F2-Gv2=1μlnF1-mv21F2-mv22=1μlnF0+Τ/(2r)-Gω1rF0-Τ/(2r)-F0-Τ/(2r)+kF0+Τ/(2r)+kGω1r(17)β1=1μlnF1−Gv1F2−Gv2=1μlnF1−mv21F2−mv22=1μlnF0+T/(2r)−Gω1rF0−T/(2r)−F0−T/(2r)+kF0+T/(2r)+kGω1r(17)式中,m为带的质量。已知带由从动轮与紧边的接触点开始,s=0,紧边长为b,则可知带与主动轮接触静角段s∈[b,b+πr-β1r],动角段s∈[b+πr-β1r,b+πr]。由式(16),在动角段积分得F(s)-Gv(s)=(F1-Gv1)e-μs′/r=F0(Τ2rF0-Gω1rF0+1)e-μs′/r(18)F(s)−Gv(s)=(F1−Gv1)e−μs′/r=F0(T2rF0−Gω1rF0+1)e−μs′/r(18)s′=s-b-r(π-β1)联立式(18)、式(10)和式(13),可得动角段拉力、速度、单位长度摩擦力和单位长度压力如下:F(s)=F0[Τ2rF0-Gω1r/F01+Τ/(2rk)+F0/k-Gω1r/k]e-μs′/r+F0Gω1r/F01+F/(2rk)+F0/k-Gω1r/k(19)F(s)=F0[T2rF0−Gω1r/F01+T/(2rk)+F0/k−Gω1r/k]e−μs′/r+F0Gω1r/F01+F/(2rk)+F0/k−Gω1r/k(19)v(s)=rω1[1-11+Τ/(2rk)+F0/k-Gω1r/k]e-μs′/r+rω11+Τ/(2rk)+F0/k-Gω1r/k(20)v(s)=rω1[1−11+T/(2rk)+F0/k−Gω1r/k]e−μs′/r+rω11+T/(2rk)+F0/k−Gω1r/k(20)Ν(s)=F(s)-Gv(s)r=F0r(Τ2rF0-Gω1rF0+1)e-μs′/rN(s)=F(s)−Gv(s)r=F0r(T2rF0−Gω1rF0+1)e−μs′/r(21)f(s)=-μΝ(s)=-μF0r(Τ2rF0-Gω1rF0+1)e-μs′/rf(s)=−μN(s)=−μF0r(T2rF0−Gω1rF0+1)e−μs′/r(22)2.2.3带松边在松边区,带速和带拉力保持不变,即2.2.4从动轮接触区移动带与从动轮接触产生摩擦传递转矩,同主动轮接触区相同,从动轮接触区也分静角段和动角段。(1)r值的计算带与从动轮间不产生相对滑动,摩擦力为0,主要参数计算式如下:F(s)=F0-T/(2r)(24)v(s)=ω2r=ω1rk-Τ/(2r)+F0k+Τ/(2r)+F0v(s)=ω2r=ω1rk−T/(2r)+F0k+T/(2r)+F0(25)f(s)=0(26)Ν(s)=F0r[1-Τ2rF0-k-Τ/(2r)+F0k+Τ/(2r)+F0Gω21r2F0]N(s)=F0r[1−T2rF0−k−T/(2r)+F0k+T/(2r)+F0Gω21r2F0](27)(2)fs计算在此段内,带速由慢转快,带速快于从动轮的线速度,由式(1)和式(3)得d(F-Gv)F-Gv=μdα(28)与主动轮动角求解近似,从动轮动角为β2=1μlnF1-Grω1F2-Grω2=1μlnF1-mv21F2-mv22(29)由图1知,带与从动轮接触静角段s∈[2b+πr,2b+2πr-β2r],动角段s∈[2b+2πr-β2r,2b+2πr]。由式(29),并结合式(10)和式(13)得F(s)=F0[1-Τ2rF0-kGω1r/F0Τ/(2r)+F0-Gω1r]eμs′/r+F0kGω1r/F0Τ/(2r)+F0-Gω1r(30)v(s)=rω1[F0-Τ/(2r)-kF0+Τ/(2r)+k-kΤ/(2r)+F0-Gω1r]eμs′/r+rω1kΤ/(2r)+F0-Gω1r(31)Ν(s)=F0r[1-Τ2rk-F0-Τ/(2r)+kF0+Τ/(2r)+kGω1rF0]eμs′/r(32)f(s)=μF0r[1-Τ2rk-F0-Τ/(2r)+kF0+Τ/(2r)+kGω1rF0]eμs′/r(33)式中,s′为动角弧长,s′=s-2b-πr-r(π-β2)。当静角趋于0,动角取最大值等于包角时,有最大转矩。在本问题中,此时β1=β2=π,最大传递转矩为Τmax=F0r1+eμπ[A+(B+C)1/2](34)A=(1+eμπ)Gω1r-kF0-2B=[(k-Gω1rF0)2+4F0+kF0F0-kF0]e2μπC=2F0-kF02F0+k-Gω1rF0eμπ+(k+Gω1rF0)22.3主从动轮动角段的微元力方程现有的工程设计计算方法没有考虑惯性力的影响,在带传动的6个阶段中,紧边、松边、主从动轮静角段与上述相同,主从动轮动角段不同,其微元力方程简化为dF/F=-μdα(35)动角计算式为β1=β2=1μlnF1Τ2=1μlnF0+Τ/(2r)F0-Τ/(2r)(36)最大传递转矩为Τmax=2F0reμπ-1eμπ+1(37)3惯性力、刚度对计算结果的影响以一皮平带传动为算例。已知带轮直径D=200mm,带长1800mm,单位长度质量q=0.2kg/m,主动轮功率P=6kW,转速n1=1400r/min,带初拉力F0=50N,带与带轮间的摩擦因数μ=0.5。在带刚度k=0.8kN和带刚度k=28kN时,分别在考虑周向和径向惯性力和不考虑任何惯性力两种情况下对带的拉力、从动轮转速、动角和最大传递转矩等进行计算,结果如表1所示。从表1中可发现,计算结果有这样的规律:考虑惯性力时动角的计算数值要比不考虑惯性力时的大,考虑惯性力时最大传递转矩的计算数值趋小;带的刚度对计算结果也有影响,刚度越大,动角计算数值越大,最大传递转矩越小。由表中两种计算结果虽然能看出数据大小的趋势,但差异不大,说明在常规工程计算中,工程计算公式精度足够,所以,考虑惯性力的带传动动力学计算方法应在高速或柔性带的条件下使用。图3为k=0.8kN和k=28kN时带与带轮摩擦力分布图,图中,实线为考虑惯性力曲线,虚线为不考虑惯性力曲线。通过图3可以观察到不同刚度两种算法摩擦力的分布和变化趋势,在考虑惯性力时,动角数值比不考虑惯性力时的数值大,最大传递转矩比不考虑惯性力时的小;柔性带(小刚度带)使动角数值更小且带传递转矩更大。4考虑刚度变化时的计算方法(1)带的动力学分析同时考虑周向惯性