层次分析法中相对权重的确定方法

层次分析法中相对权重的确定方法

1算法的基本公式包括“和行”、“方根”和“20世纪70年代初，美国t.l.satt教授首次提出了一套三级分析理论（ahp），主要用于比较和分类特定问题的各种方案，并选择方案。层次分析法的核心在于求解准则层的相对权重(排序向量),目前确定相对权重的算法主要有:和行归一法、方根法和乘幂法。其中前2种算法的公式简单,便于编程计算,但由于只是将判断矩阵每行求和并进行归一化或方根化处理,用以代替对应准则的权重,所以算法精确度不高,特别当判断矩阵不一致时,误差比较大;乘幂法虽然采用迭代的方法,并且可以控制迭代次数、提高精度和减少误差,是最常用的算法,但是该算法自身也存在以下2个问题:1)怎样选取迭代初值直接影响迭代的次数;2)算法本身的收敛速度是线性的,比较慢。笔者主要通过优化迭代初值和应用Aitken加速技术对层次分析中的乘幂法进行改进,试图解决以上2个问题,取得更快的收敛效果。2ait坤加快乘用算法是优化迭代基数的算法2.1改进乘常用乘物法迭代初始参考文献中选取迭代初值的方法,首先利用和行归一法和方根法分别求出2组近似相对权重,设比较矩阵为A=(aij)n×n,公式如下。和行归一法:W1=(w1i)n×1,式中w1i=n∑j=1aij/n∑i=1n∑j=1aij‚i=1,⋯,n;方根法:W2=(w2i)n×1,式中w2i=n√n∏j=1aij/n∑i=1n√n∏j=1aij‚i=1,⋯,n.然后借助和行归一法与方根法的结论,求出2者的平均值,作为改进乘幂算法的迭代初值,即令V0=(W1+W2)/2。文献中只是二选一确定初值,而平均后不仅降低了可能产生的偏差,而且有效地减少了迭代次数,一定程度上解决了迭代初值的选取问题。2.2城市湿地公园收敛明显定义1:设数列{pn}∞n=0,称Δpn=pn+1-pn,n≥0为向前微分,又称Δkpn=Δk-1(Δpn),k≥2为k阶向前微分。定义2:设数列{pn}∞n=0收敛到p,若有limn→∞p-pn+1p-pn=a成立,其中a≠0,则称数列{pn}∞n=0线性收敛。在文献中,作者已经给出了Aitken加速定理,但未予证明。笔者参照该定理,在简化已知条件之后,提出如下定理,并给予证明。定理:设数列{pn}∞n=0收敛到p,且∀n≥0,都有p-pn≠0;如果该数列满足:limn→∞p-pn+1p-pn=a且0<a<1,则定义新数列{qn}:qn=pn-(Δpn)2Δ2pn;然后可得到如下结论:{qn}∞n=0也收敛到p,且收敛速度比{pn}∞n=0快,即有limn→∞qn-ppn-p=0成立。证明:首先根据向前微分和数列{qn}的定义可知:qn=pn-(pn+1-pn)2pn+2-2pn+1+pn.其次由limn→∞p-pn+1p-pn=a‚0＜a＜1,可知数列{pn}∞n=0是线性收敛的;且必然存在数列{εn}∞n=0收敛到0,使得pn+1-ppn-p=a+εn成立。同时令pn-p=en,则有en+1en=a+εn‚en+1=aen+enεn‚从而有en+1=aen+o(en),(1)同理en+2=a2en+ao(en)+o(en+1),(2)因此‚qn-p=pn-p-(pn+1-pn)2pn+2-2pn+1+pn=pn-p-[(pn+1-p)-(pn-p)]2[(pn+2-p)-2(pn+1-p)+(pn-p)]‚将式(1)、(2)带入上式可得qn-p=en-[(a-1)en+o(en)]2[a2en+ao(en)+o(en+1)-2aen-2o(en)+en]=en-(a-1)2e2n+[o(en)]2+2(a-1)eno(en)(a2-2a+1)en+(a-2)o(en)+o(en+1),由∀n≥0,都有pn-p=en≠0,可得qn-ppn-p=1-(a-1)2e2n+[o(en)]2+2(a-1)eno(en)(a2-2a+1)e2n+(a-2)eno(en)+eno(en+1)=1-(a-1)2+[o(en)]2/e2n+2(a-1)o(en)/en(a2-2a+1)+(a-2)o(en)/en+o(en+1)/en,又由当n→∞时,数列{en}∞n=0→0,可得(a-1)2+[o(en)]2/e2n+2(a-1)o(en)/en(a2-2a+1)+(a-2)o(en)/en+o(en+1)/en→(a-1)2(a2-2a+1)=1.从而有limn→∞qn-ppn-p=0,再由已知条件{pn}∞n=0→p,可得{qn}∞n=0也收敛到p,且序列{qn-p}∞n=0是序列{pn-p}∞n=0的高阶无穷小,即{qn}∞n=0收敛速度快于{pn}∞n=0。证毕。2.3计算加速后的近似相对权重由参考文献可知,利用乘幂法求出的序列收敛速度是线性的,且符合上述定理的条件,从而可以借助Aitken加速技术结合选取的迭代初值改进原乘幂法,得到优化迭代初值的Aitken加速乘幂算法,步骤如下。1)确定决策层的比较矩阵An×n、相对权重和主特征值的绝对误差限ε、最大迭代次数m。2)确定初始相对权重:W1=(w1i)n×1,W2=(w2i)n×1,i=1,…,n。令迭代初值V0=(W1+W2)/2,其中V0是n维列向量。3)利用迭代公式V*i+1=AVi计算出V*i+1和近似主特征值:μi+1=‖V*i+1‖∞,并规范迭代向量:Vi+1=V*i+1/μi+1,求出近似相对权重Vi+1;同理利用公式组:V*i+2=AVi+1,μi+2=‖V*i+2‖∞,Vi+2=V*i+2/μi+2,求出μi+2,Vi+2。4)利用Aitken加速技术,计算出加速后的近似相对权重Wi=Vi-(Vi+1-Vi)2Vi+2-2Vi+1+Vi和近似主特征值λi=μi-(μi+1-μi)2μi+2-2μi+1+μi。5)利用公式组:V*i+3=AVi+2,μi+3=‖V*i+3‖∞,Vi+3=V*i+3/μi+3,求出μi+3,Vi+3;利用公式组:Wi+1=Vi+1-(Vi+2-Vi+1)2Vi+3-2Vi+2+Vi+1‚λi+1=μi+1-(μi+2-μi+1)2μi+3-2μi+2+μi+1‚求出Wi+1和λi+1。6)计算出最大误差:Δ=maxk{|wi+1k-wik|,|λi+1-λi|}‚其中wi+1k是列向量Wi+1的第k个分量,并判断Δ<ε是否成立,若不等式成立,对Wi+1进行归一化处理,求出准则层相对权重V=Wi+1/∑k=1nwi+1k,主特征值λ=λi+1,结束计算;若不然,令Vi=Vi+1,Vi+1=Vi+2,Vi+2=Vi+3,Wi=Wi+1,返回步骤5)求出新的Vi+3、Wi+1和λi+1,并带入步骤6)重新判断;若迭代次数超过m,停止计算。3迭代初始化计算考虑到判断矩阵主要有互反、互补2种类型,下面将以互反型矩阵A1和模糊一致性互补矩阵A2为例,验证上述加速算法。设互反型矩阵A1=[1.00001.07120.54401.31520.93351.00000.51001.22881.83831.90801.00002.41390.76030.81380.41431.0000],当判断矩阵为A1时,首先设V0=T,计算精度为10-6,并利用和行归一法和方根法求出W1=[0.2214140.2068740.4033620.168348]T,(W1+W2)/2=[0.2213680.2068730.4034280.168329]T。然后利用乘幂法计算相对权重,当迭代初值为V0、W1、(W1+W2)/2时,迭代次数分别为5、4、3,相对权重为:[0.2213160.2068650.4035110.168306]T。最后利用改进的乘幂法计算相对权重,当迭代初值为V0、(W1+W2)/2时,迭代次数分别为3和1,相对权重同上。设模糊一致性互补矩阵A2=[0.50.640.780.360.50.640.220.360.5],当判断矩阵为A2时,首先设V0=T,计算精度为10-6,并利用和行归一法和方根法求出(W1+W2)/2=[0.4293940.3336390.236966]T。然后利用乘幂法计算相对权重,当迭代初值为V0、(W1+W2)/2时,迭代次数分别为7和6,相对权重为:[0.4321330.3333330.234533]T。最后利用改进的乘幂法