有限元课件第5讲结构单元

有限元课件第5讲结构单元结构单元是有限元分析的基本单元，将结构体离散为有限数量的节点，使用单元来模拟实际的结构物。本课件将深入讲解结构单元的分类、应力、应变、位移的计算，以及误差控制、实例分析等内容。什么是结构单元？1基本单元离散结构体为有限个数的节点，在分析结构问题时使用单元模拟实际结构物的物理特性。2建立模型结构单元的分类特点决定了它们的具体适用场景。建立结构单元模型是有限元分析的第一步。3实际应用广泛在土木工程学、电力热力学、矿业等多个领域得到广泛的应用。分类和特点一维结构单元最简单的结构单元常用于弹簧、棒件、柱件等简化分析模型只有一个自由度二维结构单元平面三角形单元、平面矩形形单元广泛应用于平面应力和平面应变分析中具有二个或三个自由度三维结构单元在三维空间中描述结构具有六个自由度包括四面体单元和六面体单元单元刚度矩阵的推导杆单元梁单元描述杆单元长度和横截面积的物理特征描述梁单元长度和弹性模量、截面积、转动惯量等物理特征节点编号和约束条件节点编号通过编号将所有节点进行区分约束条件在分析时将某些自由度限定为0，如固定端和滑动端等，对应的节点称为约束节点。本地坐标系和全局坐标系1本地坐标系每个结构单元都有自己的本地坐标系，用于描述自身的几何状态和物理特性。2全局坐标系将所有单元的本地坐标系进行合并，构成全局坐标系。3计算时的转换利用旋转角度或矩阵乘法，将本地坐标系的结果转换至全局坐标系系统中。单元应力、应变和位移的计算应力单元应力的计算在很大程度上决定了有限元分析结果的准确性。通过施加载荷、求解位移和应变，进而求解应力。应变根据物体在受力情况下内部的尺寸变化的比率来表征为应变。应变和位移之间有着密切的联系。位移有限元分析的一个重要目的是求解物体中的位移分布，从而求解性质变量如位势、应变和应力等。平面应力问题中的三角形单元特点构成平面问题的基本单元，适用于对称性较强的结构分析。应用广泛用于公园大楼、体育场馆等建筑结构分析中。优势优势在于简单和精度，易于计算。平面应力问题中的矩形形单元优势适用于比较复杂的非对称结构分析，计算结果精度高。平面应变问题中的四边形单元1特点描述平面应变问题中的基本单元。适用于各种结构的实际应用问题。2构造和推导四个节点，包括位移与应变之间的表达式。构造弹性矩阵求解等式，可以得到位移与受力之间的关系。3优点能够适应复杂结构的实际应用问题，构造巧妙，计算速度快。平面应变问题中的六边形单元特点适用于更为复杂的应变问题。具有六个节点，且各节点间能够相互扫面形成三角形。应用广泛应用于石油、化工等领域的高压油罐、管道分析中。优势对于不规则几何区域应变分析能力强，计算效率也高。四面体单元和六面体单元四面体单元代表立方体的具体形式，优点在于准确性和适用于各种规范情况。常被应用于复杂的空间应变问题分析中。六面体单元常用于整体性问题或者结构组合分析，如工程结构的承重分析等。分布荷载的施加方法分布荷载的本质将给定分布荷载进行离散，计算每个单元的载荷后对于所有自由度组合得到总体载荷。Gauss法分布荷载以节点为界限，通过加权求和近似计算。数学上，Gauss法是通过多项式的积分值来逼近分布荷载产生的效应。荷载向量法将节点位移表达为多项式的形式，代入到偏微分方程得到系数矩阵。该方法的优势在于适用性强，不需要用到常用的特殊分布荷载。单元刚度矩阵的组装1组装顺序对于某个节点，从顶部开始，逆时钟顺序组装没个单元对应自由度的刚度矩阵。2横向组装将不同单元共用的边界协调起来，可以检查刚度矩阵的正确性，并处理重叠区域的问题。3纵向组装逐步组装整个结构体的总刚度矩阵。这是最后一步，最终将矩阵求解并统计结果。有限元分析中的误差及其控制方法1误差来源误差来自于对结构单元的离散化处理，以及计算中使用的数值积分方法。2控制方法加密网格；采用高阶有限元；改变计算积分方法等。3误差评估使用常见的误差范数计算方法对分析结果进行评估，包括能力范数、向量范数、逐点误差等。工程实例分析与计算民用建筑用有限元分析对建筑结构进行分