专题08函数的性质单调性奇偶性最大（小）值（原卷版）

专题08函数的性质：单调性、奇偶性、最大（小）值考点预测：1.单调性与最大（小）值（1）增函数设函数的定义域为I,区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数.（2）减函数设函数的定义域为I，区间DI.如果，，当时，都有,那么就称函数在区间D上单调递增.特别地，当函数在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数.（3）单调性、单调区间、单调函数如果函数在区间D上单调递增或单调递减，那么就说函数在区间D上具有（严格的）单调性，区间D叫做的单调区间.如果函数在某个区间上具有单调性，那么就称此函数在这个区间上是单调函数.（4）证明函数在区间D上单调递增或单调递减，基本步骤如下：=1\*GB3①设值：设，且；=2\*GB3②作差：；=3\*GB3③变形：对变形，一般是通分，分解因式，配方等.这一步是核心，要注意变形到底；=4\*GB3④判断符号，得出函数的单调性.（5）函数的最大值与最小值=1\*GB3①最大值：设函数的定义域为I，如果存在实数M满足:（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么我们称M是函数的最大值.=2\*GB3②最小值：设函数的定义域为I，如果存在实数m满足:（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得.那么我们称是函数的最小值.2.奇偶性（1）偶函数设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做偶函数.关于偶函数有下面的结论：=1\*GB3①偶函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为偶函数的一个必要条件；=2\*GB3②偶函数的图象关于轴对称.反之也成立；=3\*GB3③偶函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相反.（2）奇函数设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做奇函数.关于奇函数有下面的结论：=1\*GB3①奇函数的定义域一定关于原点对称.也就是说定义域关于原点对称是函数为奇函数的一个必要条件；=2\*GB3②奇函数的图象关于坐标原点对称.反之也成立；=3\*GB3③如果奇函数当时有意义，那么.即当有意义时，奇函数的图象过坐标原点；=4\*GB3④奇函数在关于原点对称的两个区间上的增减性相同.【典型例题】例1．（2022·浙江·温州市第二十二高一开学考试）函数，(1)若在上是奇函数，求的值；(2)当时，求在区间上的最大值和最小值；(3)设，当时，函数既有最大值又有最小值，求的取值范围（用表示）例2．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，．(1)求当x＞0时，函数的解析式；(2)解不等式．例3．（2022·全国·高一课时练习）已知“函数的图象关于原点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”，可以推广为：“函数的图象关于点成中心对称图形”的充要条件是“函数为奇函数”．(1)若函数满足对任意的实数m，n，恒有，求的值，并判断此函数的图象是否是中心对称图形．若是，请求出对称中心的坐标；若不是，请说明理由．(2)若（1）中的函数还满足当时，，求不等式的解集．例4．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在上的奇函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在上的单调性，并用定义证明；(3)解不等式：.例5．（2022·全国·高一课时练习）已知函数对任意的m，都有，且时，．(1)求的值：(2)证明在R上为增函数；(3)设，若在上的最小值和最大值分别为a，b，且，证明：．【过关测试】一、单选题1．（2022·全国·高一单元测试）已知函数在上单调递减，则不等式的解集为（

）A． B． C． D．2．（2022·江苏·高一单元测试）已知函数是定义域为的偶函数，且，若在上是单调递减的，那么在上是（

）A．单调递增 B．单调递减 C．先增后减 D．先减后增3．（2022·江苏·高一单元测试）若函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则当时，函数的解析式为（

）A． B． C． D．4．（2022·全国·高一课时练习）已知图象开口向上的二次函数，对任意，都满足，若在区间上单调递减，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．5．（2022·全国·高一单元测试）定义在上的偶函数满足：对任意的，有，则、、的大小关系为（

）A． B．C． D．6．（2022·全国·高一课时练习）已知函数在上单调递减，则实数a的取值范围是（

）A． B．C． D．7．（2022·全国·高一课时练习）若函数在上的最大值为M，最小值为N，且M＋N＝2024，则实数t的值为（

）A．－506 B．506 C．2022 D．20248．（2022·全国·高一单元测试）已知偶函数的定义域为，当时，，则的解集为（

）A． B．C． D．二、多选题9．（2022·江苏·高一单元测试）下列说法不正确的是（

）A．函数在定义域内是减函数B．若是奇函数，则一定有C．已知函数在上是增函数，则实数的取值范围是D．若的定义域为，则的定义域为10．（2022·江苏·高一单元测试）已知函数，则（

）A．函数为偶函数B．函数为奇函数C．函数为奇函数D．是函数图象的对称轴11．（2022·浙江·永嘉高一竞赛）设函数，则下列说法正确的是（

）A．若，则在上单调递减 B．若，无最大值，也无最小值C．若，则 D．若，则12．（2022·全国·高一专题练习）定义在R上的函数满足，当时，，则下列说法正确的是（

）A．B．为奇函数C．在区间上有最大值D．的解集为三、填空题13．（2022·全国·高一课时练习）已知函数是定义在R上的奇函数，在上的图象如图所示，则使的x的取值集合为______．14．（2022·全国·高一专题练习）对于三个数字a，b，c，用表示这三个数中最小数，例如，．如果，则的取值范围是_________.15．（2022·全国·高一课时练习）若对任意，不等式恒成立，则实数m的取值范围是_________．16．（2022·全国·高一单元测试）函数为奇函数，是定义在上的减函数，若，则实数的取值范围为______．四、解答题17．（2022·江苏·高一单元测试）已知函数.(1)若，判断的奇偶性并加以证明.(2)若对任意恒成立，求实数的取值范围.18．（2022·天津南开·高一期末）已知函数f（x）的定义域为R，且对任意a，b∈R，都有f（a+b）=f（a）+f（b），且当x>0时，f（x）<0恒成立.(1)求f（0）；(2)证明：函数y=f（x）是奇函数；(3)证明：函数y=f（x）是R上的减函数.19．（2022·全国·高一单元测试）已知函数，且.(1)求函数的解析式；(2)判断函数在区间上的单调性并用定义法加以证明.20．（2022·全国·高一课时练习）在①，②这两个条件中任选一个，补充到下面问题的横线中，并求解该问题．已知函数．(1)当时，求函数在区间上的值域；(2)若______，，求实数a的取值范围．21．（2022·全国·高一课时练习）函数的图象关于坐标原点成中心对称的充要条件是函数为奇函数，有同学发现可以将其推广为：函数的图象关于点成中心对称的充要条件是函数是奇函数.(1)依据推广结论，求函数的图象的对称中心；(2)请利用函数的对称性的值；(3)类比上述推广结论，写出“函数的图像