多元函数积分

[整理]多元函数积分[整理]多元函数积分/[整理]多元函数积分多元函数积分利用积分地域的对称性化简多元函数的积分1.1利用积分地域的对称性化简多元函数的重积分题型一计算积分地域拥有对称性，被积函数拥有奇偶性的重积分种类（一）计算积分地域拥有对称性、被积函数拥有奇偶性的二重积分常用下述命题简化计算二重积分.命题1若f(x,y)在积分地域D上连续，且D关于y轴（或x轴）对称，则（1）f(x,y)是D上关于x（或y）的奇函数时，有f(x,y)dxdy0；D（2）f(x,y)是D上关于x（或y）的偶函数时，有f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy；其DD1中D1是D落在y轴（或x轴）一侧的那一部分地域.命题2若D关于x轴、y轴对称，D1为D中对应于x≥0,y≥0（或x≤0,y≤）的部分，0则4f(x,y)dxdy,f(x,y)f(x,y)f(x,y),f(x,y)dxdyD1D0,f(x,y)或f(x,y)f(x,y).命题3设积分地域D对称于原点，对称于原点的两部分记为D1和D2.（1）若(x,)(,),则f(,)d2f(,)d;fyfxyxyxyDD1（2）若(x,)(,),则f(,)d0.fyfxyxyD命题4积分地域D关于x,y拥有轮换对称性，则f(x,y)df(y,x)d1f(y,x)]d[f(x,y)DD2D记D位于直线y=x上半部分地域为D1则,f(x,y)dxdy2f(x,y)dxdy,f(y,x)f(x,y),D1D0,f(y,x)f(x,y),种类（二）计算积分地域拥有对称性，被积函数拥有奇偶性的三重积分.常用下述命题简化拥有上述性质的三重积分的计算.命题1若Ω关于xOy平面对称，而Ω1是Ω对应于z≥0的部分，则0,f(x,y,z)f(x,y,z),(x,y,z),f(x,y,z)d2f(x,y,z)d,f(x,y,z)f(x,y,z),(x,y,z);1若Ω关于yOz平面（或zOx平面）对称，f关于x（或y）为奇函数或偶函数有近似结论.命题2若Ω关于xOy平面和xOz平面均对称（即关于x轴对称），而Ω1为Ω对应于z≥0,y≥0的部分，则4f(x,y,z)d,当关于为偶函数，fy,zf(x,y,z)d1，当关于或为奇函数；0fyz若Ω关于xOz平面和yOz平面均对称（即关于z轴对称），也许关于xOy平面和yOz平面均对称，那么也有近似结论.命题3若是积分地域Ω关于三个坐标平面对称，而Ω1是Ω位于第一象限的部分，则8f(x,y,z)d当关于均为偶函数，,fx,y,zf(x,y,z)d1，当关于或或为奇函数；0fxyz命题4若积分地域Ω关于原点对称，且被积函数关于x,y,z为奇函数，即f(x,y,z)f(x,y,z),则f(x,y,z)d0.题型三计算积分地域拥有轮换对称性的三重积分命题5若是积分地域关于变量x,y,z拥有轮换对称性（即x换成y,y换成z,z换成x，其表达式不变），则f(x,y,z)df(y,z,x)df(z,x,y)d1.f(y,z,x)f(z,x,y)]d[f(x,y,z)31.2利用积分地域的对称性化简第一类曲线积分、曲面积分题型一计算积分曲线（面）拥有对称性的第一类曲线（面）积分种类（一）计算积分曲线拥有对称性的第一类曲线积分命题设曲线L关于y轴对称，则2f(x,y)ds,关于是偶函数，L1f(x,y)ds其中L1是L在x≥0的那段L0，关于是奇函数，f(x,y)x曲线，即L1是L在y轴右侧的部分；若曲线L关于x轴对称，则有上述近似结论.命题设f(x,y)在分段圆滑曲线L上连续，若L关于原点对称，则0,若f(x,y)关于为奇函数，1为L的右半平f(x,y)ds(x,y)，L若关于为偶函数，f(x,y)L(x,y)面或上半平面部分.种类（二）计算积分曲面拥有对称性的第一类曲面积分第一类曲面积分的奇偶对称性与三重积分近似，可利用下述命题简化计算.命题设积分曲面Σ关于yOz对称，则0,f(x,y,z)dS2f(x,y,z)dS1

当f(x,y,z)关于x为奇函数，其中Σ1是Σ在yOz当f(x,y,z)关于x为偶函数，面的前侧部分.若Σ关于其他两坐标面有对称性，则有近似结论.注意不能够把Σ向xOy面上投影，因第一类曲面积分的Σ投影域面积不能够为0.题型二计算平面积分曲线关于y=x对称的第一类曲线积分命题若L关于直线y=x对称，则f(x,y)dsf(y,x)ds.LL题型三计算空间积分曲线拥有轮换对称性的第一类曲线积分命题若曲线Γ方程中的三变量x,y,z拥有轮换对称性，则xdsydszds,x2dsy2dsz2ds.1.3利用积分地域的对称性化简第二类曲线积分、曲面积分题型一计算积分曲线拥有对称性的第二类曲线积分第二类曲线积分的奇偶对称性与第一类曲线积分相反，有下述结论.命题1.3.1设L为平面上分段圆滑的定向曲线，P(x,y),Q(x,y)连续，（1）L关于y轴对称，L1是L在y轴右侧部分，则0,P(x,y)dxL2P(x,y)dx,L10,Q(x,y)dyL2Q(x,y)dy,L1

若P(x,y)关于x为奇函数，若P(x,y)关于x为偶函数；若Q(x,y)关于x为偶函数，若Q(x,y)关于x为奇函数.（2）L关于x轴对称，L1为L在x轴上侧部分，则0,P(x,y)dxP(x,y)dx,L2L10,Q(x,y)dyQ(x,y)dy,L2L1

若P(x,y)关于y为偶函数，若P(x,y)关于y为奇函数；若Q(x,y)关于y为奇函数，若Q(x,y)关于y为偶函数.（3）L关于原点对称，L1是L在y轴右侧或x轴上侧部分，则P(x,y)dxQ(x,y)dy0,若P(x,y),Q(x,y)关于(x,y)为偶函数，2L1PdxQdy,若P(x,y),Q(x,y)关于(x,y)为奇函数.LL（4）L关于y=x对称，则P(x,y)dxQ(x,y)dyP(y,x)dyQ(y,x)dxP(y,x)dyQ(y,x)dx.LLL即若L关于y=x对称，将x与y对调，则L关于直线y=x翻转，即L化为L—.所以第二类曲线积分没有轮换对称性.题型二计算积分曲面拥有对称性的第二类曲面积分命题设Σ关于yOz面对称，则2P(x,y,z)dydz,当P(x,y,z)关于为奇函数，P(x,y,z)dydz1x当P(x,y,z)关于为偶函数0,x.其中Σ1是Σ在yOz面的前侧部分.这里对坐标y和z的第二类曲面积分只能考虑Σ关于yOz面的对称性，而不能够考虑其他面，这一点也与第一类曲面积分不同样.交换积分次序及变换二次积分题型一交换二次积分的积分次序※直接例题，无讲解.题型二变换二次积分变换二次积分是指将极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分变换成直角坐标系（或极坐标系）下的二次积分.由极坐标系（或直角坐标系）下的二次积分的内外层积分限写出相应的二重积分地域D的极坐标（或直角坐标）表示，再确定该地域D在直角坐标系（或极坐标系）中的图形，尔后配置积分限.计算二重积分题型一计算被积函数分地域给出的二重积分含绝对值符号、最值符号max或min及含符号函数、取整函数的被积函数，实质上都是分地域给出的函数，计算其二重积分都需分块计算.题型二计算圆域或部分圆域上的二重积分当积分地域的界线由圆弧、过原点的射线（段）组成，而且被积函数为xnymf(x2y2)或xnymf(y/x)的形状时，常作坐标变换xrcos,yrsin，利用极坐标系计算比较简单.为此，引进新变量r,θ,获取用极坐标（r，θ）计算二重积分的公式：f(x,y)dxdyf(rcos,rsin)rdrd（其中rdθdr是极坐标系下的面积元素）.DD'用极坐标系计算的二重积分，就积分地域来说，常是圆域（或其一部分）、圆环域、扇形域等，可按其圆心所在地址分为下述六个种类（其中a,b,c均为常数）.种类（一）2≤a上的二重积分.计算圆域x2+y种类（二）2≤2ax上的二重积分.计算圆域x2+y种类（三）2≤-2ax上的二重积分.计算圆域x2+y种类（四）2≤2ay上的二重积分.计算圆域x2+y种类（五）2≤-2ay上的二重积分.计算圆域x2+y种类（六）计算圆域x2+y2≤2ax+2by+c上的二重积分.计算三重积分题型一计算积分地域的界线方程均为一次的三重积分当积分地域Ω主要由平面围成时，宜用直角坐标系计算，若是积分地域Ω的界线方程中含某个坐标变量的方程只有两个，则可先对该坐标变量积分。题型二计算积分地域为旋转体的三重积分可采用柱面坐标计算。特别当被积函数是两个变量的二次齐式时，常用柱面坐标计算。题型三计算积分地域由球面或球面与锥面所围成的三重积分积分地域为球面或球面与锥面所围成的三重积分，采用球面坐标系计算能够减少计算工作量，特别当被积函数为形如xmynzlf(x2y2z2)的形式时，常用球面坐标系计算三重积分。用球面坐标计算三重积分时，第一，应明确球面坐标变换xsincos，yrsinsin，rcos及其参数ρ，θ，φ几何意义；其次，要记住球面坐标变换后的体积元素为dV2sinddd；最后，依照积分地域的几何形状及ρ，θ，φ的几何意义正确定出三重积分的积分限。本题型还可以够采用柱面坐标及先二后一的方法进行计算。题型四计算被积函数最少缺两个变量的三重积分法一用先二后一法（截面法）计算当被积函数最少缺两个变量且平行于所缺两变量的坐标面的截面面积又易求时，可用下述公式将三重积分化为定积分求之。为方便计，设被积函数为f(x)，则z2z2f(z)dz，f(z)dvf(z)dzdxdz(D(z)的面积)z1z1D(z)其中z1，z2是Ω向z轴投影而获取的投影区间[z1，z2的端点，而D(z)是用垂直于z轴（平]行于xOy平面）的平面截Ω所得的截面，如D(z)的面积易求出，则上述积分即可求出。易知当积分地域Ω由椭球面、球面、柱面、圆锥面或旋转面等曲面或其一部分所围成时，相应截面D(x)或D(y)或D(z)为圆域，其面积S(x)或S(y)或S(z)易求出。若是被积函数又最少缺两个变量，可先对所缺的两个变量积分，用先二后一法计算其三重积分。法二用重心计算公式求之当被积函数只有一个变量，而Ω的体积又易求出，则可利用重心计算公式求其三重积分。题型五计算易求出其截面地域上的二重积分的三重积分可用先二后一法计算。诚然这时界面地域上的二重积分不等于其面积，但由于易求出其值，再计算一个单积分，该三重积分也就求出。这时对被积函数不能作要求。当截面为圆域或其一部分，被积函数又为f(x2y2)型，常采用上法计算其三重积分，且常用极坐标计算其截面地域上的二重积分。所以当Ω为旋转体时，其上的三重积分也可用上法求之。计算曲线积分题型一计算第一类平面曲线积分计算这类曲线积分的主要方法是依照积分曲线方程的种类（直角坐标、极坐标、参数方程），正确写出弧长元素ds的表达式，将第一类曲线积分转变为定积分（其下限必不高出上限）的计算。计算中要向来注意利用曲线方程化简被积函数（由于在积分过程中动点向来沿着曲线移动，从而其坐标满足曲线方程），这是计算曲线（面）积分特有的方法，所以可用曲线方程化简被积函数。代换后归纳为计算kdSkL，而L的弧长是已知的或易求的。L其他，还应注意曲线的对称性及被积函数的奇偶性和周期性和物质曲线的重心简化计算。注意若曲线有对称性，诚然整个被积函数不用然关于x（或y）为奇、偶函数，但可进一步察看其某一部分可否拥有奇偶性，尽量利用对称性简化计算。题型二求解平面上与路径没关的第二类曲线积分有关问题种类（一）判断（证明）平面曲线积分与路径没关，并求该积分定理5.1满足以下四条件之一，则积分PdxQdy在L所围的地域D内与路径没关：L（1）存在u(x,y)使得duPdxQdy((x,y)D)；（2）若D为单连通地域，且QP((x,y)D)（；但若D不是单连通地域，QPxyxy在D内建立，不能够证明PdxQdy在D内与路径没关）L（3）PdxQdy0，l为D内任一分段圆滑闭曲线；L（4）若D为有唯一奇点M0的复连通域，存在一条环绕M0的路径C，使PdxQdy0。C关于单连通地域D，为证Pdx+Qdy存在原函数u(x,y)，使du=Pdx+Qdy常考据PQyx建立。若在单连通地域D内积分与路径没关，则可在D中采用特其他路径计算u(x1,y1)(x1,y1)Qdy，其中右端积分为终点变动的积分，平时取D中平行于坐标轴的Pdx(x0,y0)折线路径计算，设(x00为D内任一点有,y)(x1,y1)Qdyx1P(x,y0)dxy1u(x1,y1)Pdxx0Q(x1,y)dy，(x0,y0)y0或u(x1,y1)(x1,y1)y1y1PdxQdyP(x0,y)dyQ(x,y1)dx.(x0,y0)y0y0若找到了原函数u(x,y),则LPdxQdyLdu(x,y)(x1,y1)u(x0,y0).u(x,y)(x0,y0)u(x1,y1)种类（二）求平面上与路径没关的第二类平面曲线积分被积式中的待定函数或常数在单连通地域内由PQ或其他与积分路径没关的等价条件建立待定函数(或常数)yx所满足的微分方程,求解次微分方程即可确定所求函数(或常数).种类（三）证明Pdx+Qdy存在原函数u(x,y)并求出u(x,y).定理5.2设P(x,y),Q(x,y)在地域D上连续,则PdxQdy在D内与路径没关的充要条件是L在D内存在函数u(x,y)使du(x,y)PdxQdy(即uP,uQ).xy值得注意的是,定理5.2只要P,Q在地域D上连续,对地域D是单连通或复连通都建立.由该定理可知,谈论PdxQdy可否与路径没关与谈论Pdx+Qdy可否存在原函数是一回L事.题型三计算平面上与路径有关的第二类曲线积分诚然题型不同样,计算第二类曲线积分方法有别,但将曲线L的方程代入被积式,化简被积函数,及利用各种对称性简化计算是计算第二类曲线积分的各种题型都采用的方法和技巧.种类（一）计算平面上与路径有关的平面曲线积分求法一用格林公式求之由PQ知,曲线积分PdxQdy与路径有关,所以不能够改变其积分路径求积分,其yxL值可用格林公式求之.该法是计算平面上第二类曲线积分的重要方法.常有以下三种情况:(1)曲线积分满足格林公式的各个条件,可使用该公式将曲线积分转变为二重积分求之.(2)曲线不封闭,增加辅助线(比方增加平行于坐标轴的直线段使之组成封闭曲线),尔后用格林公式把求曲线积分转变为易求的二重积分及辅助线上的曲线积分.L所围地域含P,Q不连续点时,想法使用格林公式.这时L所围地域为复连通地域,想法去掉P,Q不连续的点,常用下述各法求出其积分.方法一将L的方程代入被积函数,有时可去掉其不连续的点.方法二构造单连通地域D.常用抠除P,Q不连续点的小(椭)圆与曲线L和其他曲线围成单连通地域D,再在D上使用格林公式.方法三使用下述复连通域上的格林公式求之.命题5.1(复连通域上的格林公式)设P(x,y),Q(x,y)在D内有一阶连续偏导数,且Q在D内各处建立.L1,L2是任意两条通向闭路径,且在各自所围的地域内有同样的不yx属于D的点(称为奇点或洞点),则PdxQdyPdxQdy.L1L2求法二写出积分曲线的参数方程化为定积分计算计算与路径有关又不便使用格林公式的第二类曲线积分时,常写出其参数方程,化为定积分计算.题型四计算空间第二类曲线积分计算沿空间闭合曲线的第二类曲线积分常用下述各法..法一借助曲线的参数方程,化为定积分计算.法二投影到坐标面上,化为平面上第二类曲线积分计算.因第二类曲线积分是对坐标的曲线积分,dx,dy,dz是有向弧长元素在各坐标轴上的投影,可将空间曲线上的第二类曲线积分投影到坐标面上去计算.当曲线方程含一次方程时,常将一个变量用其他两个变量表示的式子代入被积式,被积函数就化成二元函数,积分曲线就向相应坐标面上投影,空间曲线积分就化为平面曲线积分.再用格林公式可化为二重积分计算.法三用斯托克斯公式转变为曲面积分计算.特别当曲线Γ封闭,且被积函数为x,y,z的一次或二次多项式,空间曲线所张成的曲面为平面片或为部分球面比较简单常常用此法求之.求时要注意由Γ的定向按右手法规确定曲面的定向.特别当F(P,Q,R),rotF0时,可选择特其他积分路径求PdxQdyRdz.※使用上述三法计算时,还应注意将曲线方程代入被积函数以化简被积式,空间第二类曲线积分对称性的情况同平面曲线第二类曲线积分近似,且同样要加以充分利用以化简计算.法四当Pdx+Qdy+Rdz的原函数存在并易求时,经过求原函数求得曲线积分.计算曲面积分题型一计算第一类曲面积分种类（一）计算与曲面外法线向量没关的第一类曲面积分这类曲面积分算法是将曲面积分化为投影地域上的二重积分,为此,需按以下步骤进行(1)确定曲面Σ的方程,积分曲面的显式表示应当是单值函数,否则需将曲面Σ分片,使分片后的各片曲面为单值函数;(2)由曲面Σ的方程(比方z=z(x,y))算出曲面微元dS(比方dS1zx'2zy'2dxdy);(3)由曲面方程及题中所指出的范围确定曲面在相应的坐标面(例如xOy平面)上的投影地域(比方Dxy),尔后将Σ的方程及dS的表达式代入被积式,且将积分地域变为投影地域,余下的就是计算二重积分.上述求解过程可归纳为必然(曲面Σ的方程)、二求（曲面微元dS）、三代（将Σ的方程及dS的表示式代入被积式）、四代替（将积分地域Σ用投影地域代替）、五计算（二重积分）.由于第一类曲面积分不考虑曲面的侧,利用对称性的情况与重积分近似,且解题中同样要充分利用,其他还可以够利用物质曲面的重心简化计算.种类（二）计算与曲面外法线向量有关的第一类曲面积分利用第一类与第二类曲面积分之间的关系,有时将第一类曲面积分转变为第二类曲面积分,再用高斯公式:AdSAndSdivAdv,PdydzQdzdxRdxdz(PcosQcosRcos)dS(PQR)dv.xyz或利用斯托克斯公式化为第二类曲线积分rotFndSFds计算.题型二计算第二类曲面积分法一化为投影地域上的二重积分计算以计算R(x,y,z)dxdy为例的计算步骤为(1)确定积分曲面Σ的方程z=z(x,y)及其在xOy面上的投影地域Dxy,并确定曲面的侧是上侧还是下侧;(2)把曲面方程z=z(x,y)代入被积函数中,获取R(x,y,z)dxdy若曲面Σ是由方程z=z(x,y)所给出的曲R(x,y,z(x,y))dxdy,Dxy面上侧,取正号,否则取负号.其他,两个积分P(x,y,z)dydz及Q(x,y,z)dzdx可近似计算.这样需将一个完满的积分向三个坐标面投影.若是曲面方程由z=z(x,y)给出,也可由下述命题,将三个坐标面上的积分转变为一个坐标面上的积分.此法常成为合一投影法.利用上述方法计算曲面积分时,仍需注意利用奇偶性、对称性简化计算.命题6.1若定曲面Σ由方程z=z(x,y)给出,Σ在xOy平面上的投影地域为Dxy,z(x,y)在Dxy上有连续的偏导数,P,Q,R在Σ上连续,则PdydzQdzdxRdxdyP(x,y,z(x,y))zQ(x,y,z(x,y))zR(x,y,z(x,y))dxdyxy其中正负号由Σ的定向确定:法向量指向上侧取正号,否则取负号.若将Σ投影到yOz或zOx平面可得近似计算公式.设曲面Σ由方程z=z(x,y)给出,当Σ取上侧时,有coszx'zy,cos1,,cos'2'2'2'2'2'21zxzy1zxzy1zxzy而dxdycosdS,dzdxcosdS,dzdycosdS,故dSdydzdzdxdxdy,coscoscos即dydzcosdxdyzx'dxdy,dzdxcosdxdyz'ydxdy.coscos于是PdydzQdzdxRdxdy(z'Pz'QRdxdy,xy)这样三个坐标面上的积分就转变为一个坐标面上的积分.同样,若曲面Σ由方程x=x(y,z)或y=y(x,z)表示且将Σ投影到yOz或zOx平面也可获取近似公式.一般地,若是曲面方程由z=z(x,y)给出较简单.比方,曲面为平面或为旋转抛物面等可用上述合一投影法求其上的第二类曲面积分.法二使用高斯公式求之高斯公式设空间闭地域是由分片圆滑的闭曲面Σ所围成,函数P(x,y,z),Q(x,y,z),R(x,y,z)在地域Ω上拥有一阶连续偏导数,则有PdydzQdzdxRdxdyPQRdv,xyz或(PcosQcosRcos)dSPQRdv.xyz这里Σ是Ω的外侧,cosα,cosβ,cosγ是Σ的外法向量的方向余弦.以上两式均为高斯公式.在以上两式中令P=x,Q=y,R=z即得V(的体积)1ydzdxzdxdy,xdydz3或V(的体积)1ycoszcos)dS.(xcos3使用高斯公式计算第二类曲面积分有下述几种情况:曲面积分PdydzQdzdxRdxdy满足高斯公式的多个条件(