专题05利用基本不等式求最值（原卷版）

专题05利用基本不等式求最值考点预测：1.重要不等式，有，当且仅当时，等号成立.2.基本不等式如果，，则，当且仅当时，等号成立.叫做正数，的算术平均数，叫做正数，的几何平均数.基本不等式表明：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.3.与基本不等式相关的不等式（1）当时，有，当且仅当时，等号成立.（2）当，时，有，当且仅当时，等号成立.（3）当时，有，当且仅当时，等号成立.4.利用基本不等式求最值已知，，那么（1）如果积等于定值，那么当时，和有最小值；（2）如果和等于定值，那么当时，积有最大值.【典型例题】例1．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）（1）已知，求的最小值；（2）已知，，且，求的最小值．例2．（2022·山东·惠民县第二高一阶段练习）已知正数满足.(1)求的取值范围；(2)求的最小值.例3．（2022·全国·高一课时练习）为响应国家扩大内需的政策，某厂家拟在2019年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x万件与年促销费用t(t≥0)万元满足(k为常数)．如果不搞促销活动，则该产品的年销量只能是1万件．已知2019年生产该产品的固定投入为6万元，每生产1万件该产品需要再投入12万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分)．(1)将该厂家2019年该产品的利润y万元表示为年促销费用t万元的函数；(2)该厂家2019年的年促销费用投入多少万元时厂家利润最大？例4．（2022·河南·郑州市回民高级高一阶段练习）（1）已知，，求的取值范围；（2）已知x，y，z都是正数，求证：．【过关测试】一、单选题1．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）的最大值为（

）A． B． C． D．2．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）已知x，y为非零实数，则下列不等式不恒成立的是（

）A． B． C． D．3．（2022·吉林·东北师大附中高一阶段练习）的最小值为（

）A．1 B．2 C．3 D．44．（2022·全国·高一课时练习）某大型广场计划进行升级改造．改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体，该项目由矩形核心喷泉区（阴影部分）和四周的绿化带组成．规划核心喷泉区的面积为，绿化带的宽分别为2m和5m（如图所示）．当整个项目占地面积最小时，核心喷泉区的边的长度为（

）A．20m B．50m C．m D．100m5．（2022·全国·高一课时练习）三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中，对勾股定理的证明可用现代数学表述为如图所示，我们教材中利用该图作为几何解释的是（

）A．如果，那么B．如果，那么C．如果，那么D．对任意实数a和b，有，当且仅当时，等号成立6．（2022·青海青海·高一期末）已知x，y都是正数，若，则的最小值为（

）A． B． C． D．17．（2022·湖北·沙市高一阶段练习）若两个正实数满足，若至少存在一组使得成立，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．8．（2022·全国·高一课时练习）若不等式对任意正数a，b恒成立，则实数x的最大值为（

）A． B．3 C． D．1二、多选题9．（2022·江苏省如皋高一开学考试）下列命题中，真命题的是（

）A．，都有 B．，使得C．任意非零实数，都有 D．函数的最小值为10．（2022·全国·高一专题练习）设，，则下列结论正确的是（

）A． B． C． D．11．（2022·湖南·株洲高一开学考试）若正实数满足，则下列说法正确的是（

）A．有最小值 B．有最大值C．有最小值 D．有最小值12．（2022·湖北黄石·高一期末）下列说法正确的有（

）A．若，则的最大值是-1B．若，，都是正数，且，则的最小值是3C．若，，，则的最小值是2D．若实数，满足，则的最大值是三、填空题13．（2022·河南·高一阶段练习）若，则的最小值为___________.14．（2022·全国·高一阶段练习）若“，不等式恒成立”为真命题，则实数a的取值范围是______．15．（2022·全国·高一单元测试）已知为正实数，则的最小值为__________．16．（2022·四川南充·高一期末（文））若实数，满足，则的取值范围为______．四、解答题17．（2022·江苏省如皋高一开学考试）（1）求函数的最小值.（2）已知，，且，求的最小值.18．（2022·福建省永泰县第一高一开学考试）（1）已知，且，求的最大值.（2）已知a，b是正数，且满足，求的最小值.19．（2022·全国·高一课时练习）已知a，b，c均为正实数.(1)求证：.(2)若，求证：.20．（2022·全国·高一专题练习）如图，某人计划用篱笆围成一个一边靠墙（墙的长度没有限制）的矩形菜园．设菜园的长为xm，宽为ym．(1)若菜园面积为72m2，则x，y为何值时，可使所用篱笆总长最小？(2)若使用的篱笆总长度为30m，求的最小值．2