高考函数难点破解应用GGB数形结合研究指对函数图象交点问题

GGB辅助教学典型案例——数形结合探究指、对函数图象交点问题问题：同底的指数函数（）与对数函数（）图象可能有几个交点？这是高中函数教学中困扰广大师生的难点问题．结合GGB的动态直观演示功能，可以数形结合直观地解决这个问题．步骤如下：1．打开GGB工作页面，创建一个滑动条，命名为．2．输入函数和函数．3．拉动滑动条，可以动态观察函数与图象相交的情况．(1)若①拉动滑动条，让足够大，观察发现：两函数图象不相交，无交点（如上图所示）②拉动滑动条，让逐渐变小，观察发现：两函数图象逐渐靠近，在两图像刚好一接触（即相切）的那一刹，两函数图象只有一个公共点．记此时的的值为．③拉动滑动条，当时，观察发现两函数图象有两个交点．(2)若①拉动滑动条，当足够大时，观察发现：两函数只有一个交点．设交点为，过点分别作函数与的切线．此时②拉动滑动条，当逐渐变小时，观察发现：两切线逐渐靠近．在两切线重合的那一刹，即时，两函数图像只有一个交点．设此时的值为．③拉动滑动条，当时，观察发现：两切线的斜率满足，此时两函数图像有3个交点（如图所示三点）．4．如何求出临界值？（其中）①当时，两函数图象有唯一公共点．点在对称轴上，设．此时两函数在点处的切线重合，即对称轴直线．函数，的导函数分别为，，于是，即由式得，代入式得，即，．故临界值．②当时，两函数图象有唯一公共点．点在对称轴上，设．此时两函数在点处的切线重合，于是，即式代入式得，因为，所以，代入式得，即，即．故临界值．5．综上所述，指数函数与对数函数图象的交点情况为：①当时，两函数图象有3个交点；②当时，两函数图象有1个交点；③当时，两函数图象有2个交点；④当时，两函数图象有1交点；⑤当时，两函数图象有2个交点；说明：以上结合GGB软件数形结合动态直观解决交点问题的方法，优点是直观形象，缺点是欠缺严谨性．严谨论证详见附录的论述．附：指数函数与对数函数交点个数问题的严谨论证论题：指数函数与对数函数交点个数问题．论述：分及两种情况进行讨论．（一）当时，过原点作函数的切线，设切点为∵∴切线的斜率又∵∴∴从而(1)当，即，亦即时，点在直线上，∴故，可得∴是与的公共点．(2)当,即，亦即时，与相离,与没有公共点．(3)当,即，亦即时，与有两个公共点,,同理可知,均是与的公共点．下面先证如下引理：当时，与不可能有不在上的公共点．证明：用反证法．假设与有公共点,,若,则①，②，由②可得③∵在上单调递增，又∵∴由此式结合①③可知,这与矛盾．故不能成立．同理时亦不能成立．从而假设不真．引理得证．综上可知：当时,与有两个公共点,当时,与有唯一公共点,当时,与没有公共点．（二）当时,作函数,易知,不妨设,则,过原点作的切线,则切线的斜率(1)当,即时,恒成立．从而在上单调递增,∴有唯一的零点．(2)当,即时,不妨设与交于两点,,()则当时,,当时,,当时,∴的单调递增区间为,,单调递减区间为在处取得极大值,且,在处取得极小值,且,由零点存在定理可知,有3个零点,分别在区间,,之内．下面补充证明，．证明：设（）与的交点为∵∴∴即当时，的函数值小于的函数值，数形结合可知∵（）与的交点为∴从而于是又∵∵，∴，又∵，∴，∴∴，又∵当时,,当时,,当时,∴又∵在区间单减及∴且．证毕．综上可知：当即时，与有唯一公共点,且此公共点在上，当即时，与有三个公共点,且有两个不在直线上，但关于对称，而第三个公共点在直线上．综合以上论述,我们可以得到如下结论：①当时，与有三个公共点,且有两个不在直线上，但关于对称，而第三个公共点在直线上；②当