矩形板弹性弯曲的弹性力学分析

矩形板弹性弯曲的弹性力学分析

弹性矩形板是土木工程中常用的结构形式。例如,桥梁工程中的桥面板,高速公路中的水泥混凝土路面以及各种房屋建筑中的楼板等。本文就四周固结平板受力位移提供几种解法的比较。板是典型的工程构件,当板的厚度h与最小特征尺寸L之比:h:L<1/5时,称为薄板。如果薄板在弯曲荷载作用下,板内的最大挠度Wmax小于板厚度的五分之一,即Wmax<h/5时,则称为薄板小挠度弯曲问题。本文就垂直于板中面的荷载引起的薄板弯曲通过弹性力学以及有限元法作分析。1薄膜中面的变形(1)变形前垂直于中面的直线段在变形后仍然垂直于变形后的中面,且长度保持不变;(2)薄板中面各点都没有平行于中面的位移;(3)平行于中面的板内各层互不挤压,在计算变形时可忽略挤压应力σz。2弹性材料的dz、qy在板挠度很小情况下,根据弹性理论中变形分量与位移关系有:εx=∂u∂x‚εy=∂v∂y‚γxy=∂v∂x+∂u∂y垂直于X轴的横截面上Μx=∫h/2-h/2σxzdz=-D(∂2w∂x2+v∂2w∂y2)Μy=∫h/2-h/2σyzdz=-D(∂2w∂y2+v∂2w∂x2)Μxy=∫h/2-h/2Τxyzdz=-D(1-v)∂2w∂x∂y弹性薄板的基本微分方程:Dᐁ2ᐁ2w=q结合弹性力学知识可得以下各式:Qx=-D∂∂x(∇2w)；Qy=-D∂∂y(∇2w)σx=12Μxh3z;σy=12Μyh3z;rxy=12Μxyh3z;rxz=32Qxh(1-4z2h2);ryz=32Qyh(1-4z2h2)式中:D=Eh312(1-v2)为板的抗弯刚度。3用弹性模量求钢板挠度设有四边固定的矩形薄板(如图1),长为2a,宽为2b,受垂直于板面的均布载荷q0作用,厚度为t,弹性模量为E,泊松比μ=0.3,取坐标轴如图,求薄板的挠度。3.1中央挠度函数形式解:(1)设置薄板的挠度函数为w=∑mcmwm=(x2-a2)2(y2-b2)2(c1+c2x2+c3y2+⋯)(1)显然,式(1)满足薄板四周固定的位移边界条件,可以认为式(1)也满足了静力边界条件,因此,可用伽辽金法求解。(2)由满足式∫∫D(ᐁ4w)wmdxdy=∫∫qwmdxdy确定c1,设式(1)中只取一项系数:w=c1(x2-a2)2(y2-b2)2=c1w1∇4w=8[3(y2-b2)2+3(x2-a2)2+4(3x2-a2)(3y2-b2)]c1a∫-ab∫-b8D[3(y2-b2)2+3(x2-a2)2+4(3x2-a2)(3y2-b2)]c1(x2-a2)2(y2-b2)2dxdy=a∫-ab∫-bq0(x2-a2)2(y2-b2)2dxdy∴c1=7q0128(a4+b4+47a2b2)D(3)将c1代入式(1),得薄板的挠度为:w=7q0128(a4+b4+47a2b2)D(x2-a2)2(y2-b2)2对于正方形薄板(a=b),有:c1=49q02304Da4w=49q02304Da4(x2-a2)2(y2-b2)2wmax=(w)x=y=049q0a42304D=0.0213q0a4D若将挠度函数取为:w=∑m∑nCmn(1+cosmπxa)(1+cosnπyb)由边界条件,x=±a时,w=0‚∂w∂x=0;y=±b时,w=0‚∂w∂y=01+cosmπ(±a)a=0‚1+cosnπ(±b)b=0(其中m‚n为奇数)又∂w∂x=∑m∑nCmn-mπasinmπxa(1+cosnπyb)∂w∂y=∑m∑nCmn-nπbsinmπyb(1+cosnπxa)∴x=±a‚y=±b上有∂w∂x|x=±a=0‚∂w∂y|y=±b=0因此满足边界条件。假定在上述w的三角级数式中只取一项,即:w=C11(1+cosπxa)(1+cosπyb)利用迦辽金法取:w=w1=(1+cosπxa)(1+cosπyb)∇4w=∂4w∂x4+2∂4w∂x2∂y2+∂4w∂y4=C11[(πa)4sinπxa(1+cosπyb)+(πb)4sinπyb(1+cosπxa)+2π4a2b2cosπxacosπyb]利用a∫0b∫0D(∇4w)w1dxdy=a∫0b∫0qw1dxdy得:w=4q0a4(1+cosπxa)(1+cosπyb)π4D(3+2a2b2+3a4b4)正方形薄板时(a=b),有w=q0a42π4D(1+cosπxa)(1+cosπyb)wmax=(w)x=y=0=0.0205q0a4/D分析:最大挠度分别比精确解(0.0202q0a4/D)大了5.4%、1.5%。由此可见,此挠度方程式比式(1)的挠度方程更接近于薄板的实际挠度曲面。3.2单元划分单元弹性薄板弯曲问题矩形单元的单元刚度矩阵为[Κ]e=Et3360ab(1-μ2)[Κ11Κ21Κ22对称Κ31Κ32Κ33Κ41Κ42Κ43Κ44)式中:[Κ11]=[21-6μ+30(b2a2+a2b2)3(1+4μ)b+30a2b-3(1+4μ)a-30b2a3(1+4μ)b+30a2b8(1-μ)b2+40a2-30μab-3(1+4μ)a-30b2a-30μab8(1-μ)a2+40b2][Κ21]=[-21+6μ+15(a2b2-b2a2)-3(1+4μ)b+15a2b3(1-μ)a+30b2a-3(1+4μ)b+15a2b-8(1-μ)b2+20a20-3(1-μ)a-30b2a0-2(1-μ)a2+20b2][Κ31]=[21-6μ-15(a2b2-b2a2)3(1-μ)b-15a2b-3(1-μ)a+15b2a-3(1-μ)b+15a2b2(1-μ)b2+10a203(1-μ)a-15b2a02(1-μ)a2+10b2][Κ41]=[-21+6μ+15(b2a2-a2b2)-3(1-μ)b-30a2b3(1+4μ)a-15b2a3(1-μ)b+30a2b-2(1-μ)b2+20a203(1+4μ)a-15b2a0-8(1-μ)a2+20b2][Κ22]=[21-6μ+30(a2b2+b2a2)3(1+4μ)b+30a2b3(1+4μ)a+30b2a3(1+4μ)b+30a2b8(1-μ)b2+40a230μab3(1+4μ)a+30b2a30μab8(1-μ)a2+40b2][Κ32]=[-21+6μ+15(b2a2-2a2b2)-3(1-μ)b-30a2b-3(1+4μ)a+15b2a3(1-μ)b+30a2b-2(1-μ)b2+20a20-3(1+4μ)a+15b2a0-8(1-μ)a2+20b2][Κ42]=[21-6μ-15(a2b2+b2a2)3(1-μ)b-15a2b3(1-μ)a-15b2a3(1-μ)b+30a2b2(1-μ)b2+10a20-3(1-μ)a+15b2a02(1-μ)a2+10b2][Κ33]=[21-6μ+30(a2b2+b2a2)-3(1+4μ)b-30a2b3(1+4μ)a+30b2a-3(1+4μ)b-30a2b8(1-μ)b2+40a2-30μab3(1+4μ)a+30b2a-30μab8(1-μ)a2+40b2][Κ43]=[-21+6μ+15(a2b2-2b2a2)3(1+4μ)b-15a2b-3(1-μ)a-30b2a3(1+4μ)b-15a2b-8(1-μ)b2+20a203(1-μ)a+30b2a0-2(1-μ)a2+20b2][Κ44]=[21-6μ+30(a2b2+b2a2)-3(1+4μ)b-30a2b-3(1+4μ)a-30b2a-3(1+4μ)b-30a2b8(1-μ)b2+40a230μab-3(1+4μ)a-30b2a30μab8(1-μ)a2+40b2]解:(1)单元划分为了简单起见,采用最简单的2×2网格,即把薄板分成四个矩形单元。由于对称性,只需计算一个单元,例如图1中阴影的单元,单元的节点编号为1,2,3,4。(2)计算节点荷载矩形单元受均布法向荷载q0作用,这时{FR}e=q0a1b1[1b13-a131b13a131-b13a131-b13-a13]Τ(3)边界条件对称轴边界:法线转角=0;固定边界:挠度=0(或已知值);边线转角=0(或已知值);法线转角=0(或已知值)这是只有一个单元的计算对象,因此,结构的总刚度方程就是单元1的单元刚度方程。引入支承条件后,在总刚度矩阵中只取第一行第一列元素,在方程组右端项{FR}e中只保留第一个元素。于是结构的代数方程为:Et3360a1b1(1-μ)2Κ11w1=q0a1b1其中Κ11=21-6μ+30(b12a12+a12b12)即:Et3360a1b1(1-μ2)[21-6μ+30(b12a12+a12b12)]w1=q0a1b1∴w1=360q0a12b12(1-μ2)Et3[21-6μ+30(b12a12+a12b12)]正方形薄板时a1=b1=a/2时,w1=360q0(a2)2(a2)2(1-μ2)Et3(21-6μ+30×2)=360q0a416(1-μ2)Et3(81-6μ)=360192(81-6μ)⋅q0a4D(D=Et312(1-μ2))μ=0.3时,w1=0.02367q0a4/D;采用4×4网格时,w1=0.0224q0a4/D;采用8×8网格时,w1=0.0208q0a4/D分析:最大挠度分别比精确解(0.0202q0a4/D)大了17.2%、