新教材2023高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大小值第3课时导数的应用分层演练新人教A版选择性必修第二册

5.3导数在研究函数中的应用5.3.2函数的极值与最大（小）值第3课时导数的应用A级基础巩固1.已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)之间的关系为y=-13x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为(A.13万件 B.11万件C.9万件 D.7万件解析:y'=-x2+81,令y'=0,解得x=9(负值舍去).当x∈(0,9)时,y'>0;当x>9时,y'<0,所以函数y=-13x3+81x-234在区间(0,9)内单调递增,在区间(9,+∞)上单调递减所以x=9是函数的极大值点.又因为函数y在区间(0,+∞)上只有一个极大值点,所以函数y在x=9处取得最大值.答案:C2.一周长为l的扇形,当面积达到最大值时,扇形的半径为()A.l3 B.l6 C.l4解析:设半径为r0<r<l2S扇形=12(l-2r)·r=-r2+12rl.令S'扇形=-2r+l2=0,得当r∈0,l4时,S'扇形>0,S扇形单调递增;当r∈l4,l2时,S'扇形<0,S扇形单调递减,答案:C3.用一根长为24m的钢筋做成一个长方体框架,若这个长方体框架的底面为正方形,则这个长方体的最大体积为8m3.解析:设长方体的底面边长为xm,则高为(6-2x)m,所以x∈(0,3),则体积V=x2(6-2x)=6x2-2x3,V'=12x-6x2.令V'=0,得x=2或x=0(舍去),所以当x∈(0,2)时,V'>0,V单调递增,当x∈(2,3)时,V'<0,V单调递减,所以当x=2时,Vmax=8.4.一房地产公司有50套公寓要出租,当月租金定为1000元时,公寓会全部租出去,月租金每增加50元,租出去的公寓就会减少一套,而租出去的公寓每套每月需由该公司承担100元的维修费,则租金定为1800元时该公司可获得最大收入.

解析:设月租金定为x元,收入为y元,则y=50-x-100050(则y'=3600-令y'=0,得x=1800.当x<1800时,y'>0,当x>1800时,y'<0,所以x=1800是极大值点,y极大值=57800.所以当x=1800时,y取得最大值.5.某单位用木料制作如图所示的框架,框架的下部是两邻边分别为xm,ym的矩形,上部是等腰直角三角形,要求框架围成的总面积为8m2,当x,y分别为多少时用料最省?(精确到0.001)解:依题意有xy+12x·x2所以y=8x-x4(0<x<42则框架用料总长度L=2x+2y+2×2x2=32+2x+16x,则L'=令L'=0,即32+2-16x2=0,解得x1=8-42,x2=42-8(当0<x<8-42时,L'<0;当8-42<x<42时,L'>0.所以当x=8-42时,L取得最小值,此时x=8-42≈2.343,y=22≈2.828.故当x≈2.343,y≈2.828时,用料最省.B级拓展提高6.内接于半径为R的球并且体积最大的圆柱的高为()A.233R B.3C.12 D.解析:设圆柱底面半径为r,高为h,则r2=R2-h22,所以V(h)=πrπR2-h24h,V'(h)=πR2-34h2.令V'(h)=0,得h=2答案:A7.一个帐篷,它下部的形状是高为1m的正六棱柱,上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥(如图所示).当帐篷的体积最大时,帐篷的顶点O到底面中心O1的距离为()A.32m B.1mC.3m解析:设OO1为xm(1<x<4),底面正六边形的面积为Sm2,帐篷的体积为Vm3.由题意得正六棱锥底面边长为32-(x-1)2=8+2x-x2(m),所以底面正六边形的面积为S=6×34帐篷的体积V=13×332(8+2x-x2)(x-1)+332(8+2x-x2)=32(8+2x-x2)[(x-1)+3]=32(16+12x-x3),V'=3令V'=0,解得x=2或x=-2(不合题意,舍去).当1<x<2时,V'>0;当2<x<4时,V'<0.所以当x=2时,V最大.答案:D8.已知圆柱的表面积为定值S,当圆柱的体积最大时,圆柱的高h为6πS解析:设圆柱的底面半径为r,所以S=2πr2+2πrh,所以h=S-2πr22πr,圆柱的体积V(r)=V'(r)=S-6πr22,令V'(r)=0,得S=6πr2,r=S6π(负值舍去),所以h=2因为在定义域内只有一个极值点,所以当h=6πS3π9.已知函数f(x)=ex+3ax.(1)讨论函数f(x)的单调性;(2)若函数f(x)≥0在区间(0,+∞)上恒成立,求a的取值范围.解:(1)因为f(x)=ex+3ax,x∈R,所以f'(x)=ex+3a.①当a≥0时,f'(x)>0,故f(x)在R上单调递增;②当a<0时,令f'(x)=0,解得x=ln(-3a).所以x∈(-∞,ln(-3a))时,f'(x)<0,f(x)单调递减;x∈(ln(-3a),+∞)时,f'(x)>0,f(x)单调递增.综上所述,当a≥0时,f(x)在R上单调递增.当a<0时,f(x)在区间(-∞,ln(-3a))上单调递减,f(x)在区间(ln(-3a),+∞)上单调递增.(2)由题意,知ex+3ax≥0在区间(0,+∞)上恒成立,即a≥-ex3x在区间(0,+∞所以a≥-ex3x设g(x)=-ex3x,则g'(x)当0<x<1时,g'(x)>0,g(x)单调递增;当x>1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;故g(x)max=g(1)=-e3所以a≥-e310.某地建一座桥,两端的桥墩已建好,两桥墩相距mm,后期需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元,距离为xm的相邻两桥墩之间的桥面工程费用为(2+x)x万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素,记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数解析式;(2)当m=640时,需新建多少个桥墩才能使y最小?解:(1)设需要新建n个桥墩,则(n+1)x=m,即n=mx-1(n∈N*)所以y=f(x)=256n+(n+1)(2+x)x=256mx-1+(2+=256mx+mx+2m-256(0<x<m(2)由(1),知f'(x)=-256mx2+12mx-12令f'(x)=0,得x32所以x=64.当0<x<64时,f'(x)<0,故函数f(x)在区间(0,64)内单调递减;当64<x≤640时,f'(x)>0,故函数f(x)在区间(64,640]上单调递增.所以函数f(x)在x=64处取得最小值,此时n=mx-1=64064-1=故当m=640时,需新建9个桥墩才能使y最小.C级挑战创新11.多空题某车间要靠墙壁盖一间底面为矩形的小屋,现有的砖只够砌20m长的墙壁,则应围成长为10m,宽为5m的矩形才能使小屋面积最大.解析:设长为xm,宽为ym,则x+2y=20,y=10-x2矩形面积S=xy=x10-x2=10x-x22(0令S'=0,得x=10.当0<x<10时,S'>0,S单调递增;当10<x<20时,S'<0,S单调递减,所以当x=10时,S取得最大值,此时y=5.12.多空题要做一个底面为矩形的带盖的长方体箱子,其体积为72m3,底面两邻边的边长之比为1∶2,则当它的长为6m,高为4m时,表面积最小.解析: