新教材2023高中数学第五章一元函数的导数及其应用5.1导数的概念及其意义第2课时导数的几何意义分层演练新人教A版选择性必修第二册

5.1导数的概念及其意义第2课时导数的几何意义A级基础巩固1.下列说法中正确的是()A.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在x=x0处没有切线B.若曲线y=f(x)在x=x0处有切线,则f'(x0)必存在C.若f'(x0)不存在,则曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率不存在D.若曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率不存在,则曲线在该点处的切线的方程不存在解析:f'(x0)的几何意义是曲线y=f(x)在x=x0处的切线的斜率,虽然切线的斜率不存在,但其切线方程可以为x=x0,所以A,B,D三项均错误.答案:C2.如图所示,若函数y=f(x)的图象在点P处的切线方程是y=-x+8,则f(5)+f'(5)=()A.12B.1C.2解析:由题意,知f(5)=-5+8=3.由导数的几何意义,知f'(5)=-1.所以f(5)+f'(5)=3-1=2.答案:C3.曲线y=f(x)=12x2-2在点1,-3A.1 B.π4 C.5π4 D.-解析:f'(1)=limΔx→012(1+Δx)2-答案:B4.曲线y=f(x)=x2-2x+3在点A(-1,6)处的切线方程为4x+y-2=0.解析:因为曲线方程为y=x2-2x+3,切点为点A(-1,6),所以斜率k=limΔx所以切线方程为y-6=-4(x+1),即4x+y-2=0.5.若曲线y=x2+2x在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,则点P的坐标为(0,0).解析:设点P的坐标为(x0,y0),则f'(x0)=limΔx→0(x0因为曲线在点P处的切线垂直于直线x+2y=0,所以曲线在点P处的切线的斜率为2,所以2x0+2=2,解得x0=0,所以y0=0,所以点P的坐标为(0,0).6.求曲线f(x)=x3+2x-1在点P(1,2)处的切线方程.解:由f(x)=x3+2x-1,得f'(x)=limΔx→0ΔyΔx=3x2故曲线在点P处的切线的斜率k=5,所以曲线在点P处的切线方程为y-2=5(x-1),即5x-y-3=0.B级拓展提高7.在平面直角坐标系中,曲线y=x2在点(1,1)处的切线与两条坐标轴围成的三角形的面积为()A.14 B.12 C.1解析:f'(1)=limΔx则曲线在点(1,1)处的切线方程为y-1=2(x-1),即y=2x-1,所以这条切线与两条坐标轴的交点坐标分别为(0,-1),12,0,故它与两条坐标轴围成的三角形的面积为12×1×答案:A8.已知点P在曲线F:y=x3-x上,若曲线F在点P处的切线与直线x+2y=0垂直,则点P的坐标为()A.(1,0)或(1,1) B.(1,1)C.(-1,0)或(1,0) D.(-1,0)解析:设点P的坐标为(x0,y0).由题意,得f'(x0)=limΔx→0ΔyΔx=3x02当x0=-1时,y0=0;当x0=1时,y0=0.故点P的坐标为(-1,0)或(1,0).答案:C9.已知曲线y=2x3上某点处的切线的斜率等于6,求此点的坐标.解:设此点的坐标为(x0,y0).因为y'|x=x0=lim所以6x02=6,解得x0=±当x0=-1时,y0=-2;当x0=1时,y0=2.故此点的坐标为(-1,-2)或(1,2).10.已知函数f(x)=ax2+1(a>0),g(x)=x3+bx,曲线y=f(x)与曲线y=g(x)在它们的交点(1,c)处具有公切线,求a,b的值.解:因为f'(x)=limΔx→0所以f'(1)=2a,即曲线f(x)在点(1,c)处的切线的斜率k1=2a.因为g'(x)=limΔx→0Δy所以g'(1)=3+b,即曲线g(x)在点(1,c)处的切线的斜率k2=3+b.因为曲线f(x)与曲线g(x)在交点(1,c)处有公切线,所以2a=3+b.又因为两条曲线交于点(1,c),所以a+1=c=1+b,即a=b,联立2a=C级挑战创新11.多选题已知直线l过点P(3,5),若直线l与曲线y=x2相切于点A,则切点A的坐标可能是()A.(1,1) B.(1,2)C.(5,25) D.(5,5)解析:y'=limΔx→0Δ设点A的坐标为(x0,y0).因为点A在曲线y=x2上,所以y0=x0又因为A为切点,所以过点A的切线的斜率k=2x0.因为直线l过P(3,5),A