新教材2023高中数学第四章数列4.3等比数列4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列的前n项和公式分层演练新人教A版选择性必修第二册

4.3.2等比数列的前n项和公式第1课时等比数列的前n项和公式A级基础巩固1.若等比数列{an}的公比q=2,前n项和为Sn,则S4a2=(A.2 B.4 C.152 D.答案:C2.(2022·全国乙卷)已知等比数列{an}的前3项和为168,a2-a5=42,则a6=()A.14 B.12 C.6 D.3解析:设等比数列{an}的公比为q,q≠0,由题意知,q≠1.由前3项和为a1+a2+a3=a1(1-q3)1-q=168,a2-a5=a1·q-a1·q4=a1·q(1-q3)=42,可得q=12,a1=96.所以a6=a1·q答案:D3.已知等比数列{an}的各项均为实数,其前n项和为Sn,若S3=74,S6=634,则a8=4.已知{an}是首项为1的等比数列,Sn是{an}的前n项和,若9S3=S6,则数列{an}的前5项和S5=31.解析:显然q≠1,因为9S3=S6,所以9(1-q3)1-q=1-q61-q,化简,得15.已知在等比数列{an}中,a1=1,a5=4a3.(1)求{an}的通项公式;(2)记Sn为{an}的前n项和,当Sm=63时,求m的值.解:(1)设等比数列{an}的公比为q,则an=qn-1.由已知得q4=4q2,解得q=0(舍去),q=-2或q=2.故an=(-2)n-1或an=2n-1.(2)若an=(-2)n-1,则Sn=1-(-由Sm=63,得(-2)m=-188,此方程没有正整数解.若an=2n-1,则Sn=2n-1.由Sm=63,得2m=64,解得m=6.综上,当Sm=63时,m=6.B级拓展提高6.(2020·全国Ⅱ卷,文)记Sn为等比数列{an}的前n项和,若a5-a3=12,a6-a4=24,则Snan=(A.2n-1 B.2-21-nC.2-2n-1 D.21-n-1解析:设等比数列{an}的公比为q,因为a5-a3=12,a6-a4=q(a5-a3)=24,所以q=2,所以a1q4-a1q2=12,所以12a1=12,所以a1=1.所以Sn=1-2n1-2=2n-1,a所以Snan=2n-12故选B.答案:B7.若等比数列{an}的前n项和Sn=3(2n-1),则a12+a22+…+anA.4n-13 B.4n-1C.3(4n-1)解析:因为等比数列{an}的前n项和Sn=3(2n-1),所以a1=S1=3,a2=S2-S1=9-3=6,所以数列{an}的公比q=a2a所以an=3×2n-1,故an2=9×4n-则数列{an2}是首项为9,公比为4所以a12+a22+…+an2=9答案:C8.已知数列{an}的前n项和为Sn,若3Sn+1=4an,则使不等式a1+a2+…+an<1000成立的n的最大值为(A.7 B.8 C.9 D.10解析:因为3Sn+1=4an,所以Sn=43an-1当n=1时,a1=S1=43a1-13,所以a1=当n≥2时,an=Sn-Sn-1=43an-13-43an-1-13=43an所以数列{an}是首项a1=1,公比q=4的等比数列.所以an=a1qn-1=4n-1,即an=4n-1=所以a1+a2+…+an=20+21+…+2n-1=20(1若使不等式a1+a2+…+an<则2n-1<1000,结合n∈N*,解得n≤9,n∈N*,所以n的最大值为9.答案:C9.已知在等比数列{an}中,首项a1=2,公比q=3,an+an+1+…+am=720(n,m∈N*,n<m),则m+n=9.解析:因为等比数列{an}中首项a1=2,公比q=3,所以an,an+1,…,am组成首项为an=2×3n-1,公比为3的等比数列,共m-n+1项,所以an+an+1+…+am=2×3n-1(1-3m-n+1所以3n-1(3m-n+1-1)=9×80=32×5×24.因为3n-1≠5×16,所以3n-1=32,所以n=3,所以3m-3+1-1=5×16,解得m=6,所以m+n=9.10.某商店采用分期付款的方式促销一款价格为6000元/台的电脑.商店规定,购买时先支付货款的13,剩余部分在三年内按每月底等额还款的方式支付欠款,且结算欠款的利息,已知欠款的月利率为0.5%(1)到第一个月底,买家在第一次还款之前,他欠商店多少钱?(2)假设买家每月还商店a元,写出在第i(i=1,2,…,36)个月末还款后,买家对商店欠款的表达式.(3)假如买家在第36个月末恰好还完欠款,求a的值(精确到0.01).解:(1)由题意,知购买电脑时,买家欠商店货款的23即6000×23=4000(元)因为欠款的月利率为0.5%,所以到第一个月底的欠款应为4000×(1+0.5%)=4020(元),即到第一个月底,买家在第一次还款之前,他欠商店4020元.(2)设第i个月底还款后的欠款为yi,则y1=4000×(1+0.5%)-a,y2=y1(1+0.5%)-a=4000×(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a,y3=y2(1+0.5%)-a=4000×(1+0.5%)3-a(1+0.5%)2-a(1+0.5%)-a,……yi=yi-1(1+0.5%)-a=4000×(1+0.5%)i-a(1+0.5%)i-1-…-a(1+0.5%)-a,整理,得yi=4000×(1+0.5%)i-(1+0.5(3)由题意可得y36=0,所以4000×(1+0.5%)36-(1+因此a=4000×(1+11.已知数列{an}的前n项和为Sn,并且满足a1=1,nan+1=Sn+n(n+1).(1)求数列{an}的通项公式;(2)设bn=an2n,数列{bn}的前n项和为Tn,求证:Tn(1)解:因为nan+1=Sn+n(n+1),①所以当n≥2时,(n-1)an=Sn-1+n(n-1).②由①-②,得an+1-an=2(n≥2),又a1=1,a2=S1+1×(1+1)=3,所以数列{an}是首项为1,公差为2的等差数列,所以an=2n-1.(2)证明:由(1)知an=2n-1,则bn=2n所以Tn=121+322+523+…+所以12Tn=122+323+524+…③-④,得12Tn=12+2122+123+…+所以Tn=3-2n+32n,所以TC级挑战创新12.多选题在《算法统宗》中有这样一段叙述:“三百七十八里关,初行健步不为难;次日脚痛减一半,如此六日过其关”(注:“里”是古代长度单位,1千米=2里).下列说法正确的是()A.此人第三天走了48里路B.此人第一天走的路程比后五天走的路程多6里C.此人第二天走的路程占全程的1D.此人前三天走的路程之和是后三天走的路程之和的8倍解析:根据题意,知此人每天行走的路程成等比数列.设此人第n天走an里路,则{an}是首项为a1,公比为q=12的等比数列.所以S6=a1(1-q6)1-q=a1[1-(12)

6]1-1由a1=192,得S6-a1=378-192=186.因为192-186=6,所以B项正确.因为a2=a1q=192×12=96,14S6=94.5<96,所以Ca1+a2+a3=a1(1+q+q2)=192×1+12+14=336,则后3天走的路程为378-336=42,且42×8答案:ABD13.多空题(2021·新高考全国Ⅰ卷)某校学生在研究民间剪纸艺术时,发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为20dm×12dm的长方形纸,对折1次共可以得到10dm×12dm,20dm×6dm两种规格的图形,它们的面积之和S1=240dm2.对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规格的图形,它们的面积之和S2=180dm2.以此类推,对折4次共可以得到不同规格图形的种数为5;如果对折n次,那么∑k=1nSk=720-15解析:因为对折2次共可以得到5dm×12dm,10dm×6dm,20dm×3dm三种规格的图形,所以对折3次共可以得到52dm×12dm,5dm×6dm,10dm3dm,20dm×32dm四种不同规格的图形所以对折4次可得到如下规格的图形:54dm×12dm,526dm,5dm×3dm,10dm×32dm,20dm×34dm,共5易知每次对折后的图形的面积都减小为原来的一半,所以各次对折后的图形,不论规格如何,其面积成公比为12的等比数列,首项为120,第n次对折后的图形面积为120×12n-1.由题易知第n次对折后得到的不同规格图形的种数为n+1,故Sn=设S=∑k=1nSk=120×220+120×3则12S=120×221+120×3两式作差,得12S=240+12012+122+…+12n-1-120(n+1因此S=720-240(n+3)214.多空题若等比数列{an}的前n项和Sn=2n-a,则(1)a=1;(2)比较大小:1a1018+1a1020>2a1019(填“>”“<解析:(1)当n=1时,a1=S1=2-a, ①当n=2时,S2=a1+a2=4-a.