新教材2023高中数学第三章圆锥曲线的方程3.1椭圆3.1.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆的几何性质及应用分层演练新人教A版选择性必修第一册

3.1椭圆3.1.2椭圆的简单几何性质第2课时椭圆的几何性质及应用A级基础巩固1.若直线y=kx+2与椭圆x23+y22=1相切,则斜率k的值是A.63B.-C.±63 D.±解析:由y=kx+2,x23+y22=1,得(3k2+2)x2+12kx+6=0.由题意,知Δ=144k答案:C2.若直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,则过点P(m,n)的直线与椭圆x29+y24=1的交点个数为A.0 B.1C.2 D.0或1解析:因为直线mx+ny=4与圆O:x2+y2=4没有交点,所以4m2+n2>2.所以0<m2+n2<4,所以m29+n24<1,所以点P(答案:C3.过椭圆x2+2y2=4的左焦点作倾斜角为π3的弦AB,则弦AB的长为()A.67 B.C.716 D.解析:椭圆x2+2y2=4的左焦点为(-2,0),所以直线的方程为y=3(x+2).由y=3(x+2),x2+2y2=4消去y,整理得7x2+122x+答案:B4.椭圆C:x24+y23=1的左、右顶点分别为A1,A2,点P在椭圆C上,且直线PA2的斜率的取值范围是[-2,-1],那么直线PA1的斜率的取值范围是A.[12,34] B.[38C.[12,1] D.[34解析:由题意,知A1(-2,0),A2(2,0).设点P的坐标为(x0,y0),则x024+y023=1,kP于是kPA1·kPA2=y02x02-因为kPA2∈[-2,-1],所以k答案:B5.若点O和点F分别为椭圆x24+y23=1的中心和左焦点,点P为椭圆上的任意一点,则OP·解析:由椭圆方程x24+y23=1可得F(-1,0).设P(x,y),-2≤x≤2,则OP=(x,y),FP=(x+1,y),所以OP·FP=x2+x+y2=x214x2+x+3=14(x+2)2+2,当x=2时,OP·FP取得最大值6.已知点P(x,y)是椭圆x29+y24=1上的任意一点,则点P到直线l:y=x+解析:设直线y=x+m与椭圆相切,由x29+y24=1,y=x+m,得因为Δ=(18m)2-4×13×(9m2-36)=0,所以m=±13,所以切线方程为y=x+13和y=x-13,与l距离较远的是直线y=x-13,所以所求最大距离为d=|-13-57.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的一个顶点为A(2,0),离心率为22,直线y=k(x-(1)求椭圆C的方程;(2)当△AMN的面积为103时,求k的值解:(1)由题意,得a=2,所以椭圆C的方程为x24+y2(2)由y=k(x-1),x24+y22=1,得(1+2k2设点M,N的坐标分别为(x1,y1),(x2,y2),则y1=k(x1-1),y2=k(x2-1),x1+x2=4k21+2k2,x1所以|MN|=(=(=2(又因为点A(2,0)到直线y=k(x-1)的距离d=|k所以△AMN的面积为S=12|MN|·d=|由|k|·4+6化简,得7k4-2k2-5=0,解得k=±1.B级能力提升8.若AB是过椭圆x216+y225=1中心O的弦,F1为椭圆的焦点,则△F1AB面积的最大值是A.6 B.12C.24 D.48解析:设A(xA,yA),B(xB,yB).因为△F1AB的面积可以看成△OF1A与△OF1B的面积之和,所以S△F1AB=12c·|xA-xB|,故当直线AB垂直于y轴时,|xA-xB|max=2b=8,所以△F1AB面积的最大值为12×答案:B9.已知椭圆x216+y24=1,过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线与椭圆交于A,B两点,若AF=3FB,则k=A.1 B.2C.3 D.2解析:由题意,得右焦点F(23,0),过右焦点F且斜率为k(k>0)的直线为x=my+23,m=1k设A(x1,y1),B(x2,y2),由方程组x216+y24=1,x=my+23,得(4+m2)y2+43my-4=0,则因为AF=3FB,所以(23-x1,-y1)=3(x2-23,y2),所以y1=-3y2即k2=2.因为k>0,所以k=2.答案:B10.已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),A,B是椭圆C的长轴的两个端点,点M是椭圆C上的一点,且满足∠MAB=30°,∠MBA=45°,设椭圆C的离心率为e,则e2解析:设M(x0,y0),A(-a,0),B(a,0).因为∠MAB=30°,∠MBA=45°,所以kBM=y0x0-a=-1,kAM=y0x又因为M在椭圆C上,所以x02a2+y02b2=1,即(2-3)2a2a211.椭圆mx2+ny2=1与直线x+y=1相交于A,B两点,过AB的中点M与坐标原点的连线的斜率为22,则mn=解析:设A(x1,y1),B(x2,y2),M(x0,y0),O为坐标原点,由题意可得,kOM=y0x0=22,kAB=y2-y1x2-x1=-1.由AB的中点为M,可得x1+x2=2x0,y1+y2=2y0.由A,B在椭圆上,可得mx12+ny12=1,mx22+ny12.已知动点P与平面上两定点A(-2,0),B(2,0)连线的斜率的积为定值-12(1)试求动点P的轨迹C的方程;(2)设直线l:y=kx+1与曲线C交于M,N两点,当|MN|=423时,求直线l解:(1)设动点P的坐标是(x,y),由题意,得kPA·kPB=-12所以yx+2·yx-2=-12,化简整理,故动点P的轨迹C的方程是x22+y2=1(x≠±2(2)设直线l与曲线C的交点M(x1,y1),N(x2,y2),由y得(1+2k2)x2+4kx=0(x≠±2).所以x1+x2=-4k1+2k2,x1·所以|MN|=1+k2·(x整理,得k4+k2-2=0,解得k2=1或k2=-2(舍去).所以k=±1,经检验符合题意.所以直线l的方程是y=x+1或y=-x+1,即x-y+1=0或x+y-1=0.13.椭圆的两个焦点分别为F1(-3,0)和F2(3,0),且椭圆过点（1,-32）(1)求椭圆方程;(2)过点（-65,0）作不与y轴垂直的直线l交该椭圆于M,N两点,A为椭圆的左顶点,试判断∠MAN的大小是否为定值,并说明理由解:(1)由题意可设椭圆方程为x2a2+y2由c=3,a2=b2+c2,得x2b2+3+又因为椭圆过点1,-32,所以1b解得b2=1或b2=-94(舍去),所以a2=4所以椭圆的方程为x24+y2=(2)是定值.理由:设直线l的方程为x=ky-65联立直线l和椭圆的方程可得x消去x,得(k2+4)y2-125ky-6425=由题意,知A(-2,0).设M(x1,y1),N(x2,y2),则y1y2=-6425(k2+4),y则AM·AN=(x1+2,y1)·(x2+2,y2)=(k2+1)·y1y2+45k(y1+y2)+1625即可得∠MAN=π2(定值)14.(2021全国卷Ⅱ)已知椭圆C的方程为x2a2+y2b2=1(a>b>0),右焦点为F(1)求椭圆C的方程;(2)设M,N是椭圆C上的两点,直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切.证明:M,N,F三点共线的充要条件是|MN|=3.(1)解:由题意可得,椭圆的离心率ca=63,又c=2,所以a=3,则b2=a2-c2=1,故椭圆的标准方程为x23+y(2)证明:先证明必要性,若M,N,F三点共线时,设直线MN的方程为x=my+2,则圆心O(0,0)到直线MN的距离为d=2m2+1=1,解得m2=1,联立方程组x=my+2,x23+y2=1,可得(m2+3)y2+22my-1=0,即4y2+22my-1下面证明充分性,当|MN|=3时,设直线MN的方程为x=ty+s,此时圆心O(0,0)到直线MN的距离d=|s|t2+1=1,则s2-t2=1,联立方程组x=ty+s,x23+y2=1,可得(t2+3)y2+2tsy+s2-3=0.则Δ=4t2s2-4(t2+3)·(s2-3)=12(t2-s2+3)=24,因为|MN|=1+t2·24t2+3=3,所以t2=1,s2=2,因为直线MN与曲线x2+y2=b2(x>0)相切,所以s>0,则s=2.则直线MN的方程为x=ty+2恒过焦点F(C级挑战创新15.多选题已知直线y=3x+2被椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)截得的弦长为8,则下列直线中被椭圆截得的弦长也为A.y=3x-2 B.y=3x+1C.y=-3x-2 D.y=-3x+2解析:因为椭圆关于原点和坐标轴对称,所以与直线y=3x+2关于原点和坐标轴对称的直线被椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)截得的弦长也为8.直线y=3x+2关于原点对称的直线为y=3x-2,关于x轴对称的直线为y=-3x-2,关于y轴对称的直线为y=-答案:ACD16.多选题如图,某月球探测卫星发射后,该卫星沿地月转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月飞行.若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和