偏微分方程-双曲型方程

§4分离变量法1

《偏微分方程教程》

第四章双曲型方程

§4分离变量法2§4分离变量法

分离变量法亦称Fourier法,它是解混合问题的一个最普遍的基本方法.虽然在§2我们已经利用波的反射原理讨论过混合问题,但在数学物理问题的研究中，有许多混合问题能用分离变量法求解,而不能用波的反射原理求解.

因此，分离变量法在求解偏微分方程的混合问题时特别重要，它不仅适用于波动方程，而且也适用于热传导方程、调和方程，以及某些形式更复杂的方程和方程组.在这一节我们将以一维波动方程和二维波动方程的混合问题为模型，阐述分离变量法的解题过程和理论基础.《偏微分方程教程》第四章双曲型方程§4分离变量法3《偏微分方程教程》第四章双曲型方程4.1齐次波动方程的混合问题

考察两端固定的弦的自由振动,此问题可归结为求方程

满足初始条件

(4.1)(4.2)及边界条件

(4.3)的解,其中

是相容性条件.

首先，我们设法找到所有具有变量分离形式的满足方程(4.1)和边界条件(4.3)的非零特解.所谓函数具有变量分离形式，

下面我们用分离变量法来求解混合问题(4.1)-(4.3).

§4分离变量法4《偏微分方程教程》第四章双曲型方程是指它能写成

(4.4)的形式.将(4.4)代入方程(4.1),有

此处

分离变量即得

(4.5)因为等式(4.5)的左端仅与

有关,右端仅与有关,因此存在常数

使得于是得到变量被分离后的两个常微分方程

§4分离变量法5《偏微分方程教程》第四章双曲型方程(4.6)

(4.7)

现在我们可以通过解这两个常微分方程来定出函数

和

．由边界条件(4.3)得

由于我们所要求的

是非零解，故

,从而推知函数

应满足附加条件

(4.8)为此，我们需要解如下含参数

题:

(4.9)

的二阶线性常微分方程边值问§4分离变量法6《偏微分方程教程》第四章双曲型方程

定义4.1

使常微分方程边值问题(4.9)具有非平凡解的那些值称为这个边值问题的特征值;相应的非平凡解称为对应于这个特征值的特征函数;寻找边值问题(4.9)的所有特征值和特征函数的问题称为特征值问题或施图姆-刘维尔(Sturm-Liouville)问题.现在我们来解特征值问题(4.9).分三种情形进行讨论:

1)当

时,方程(4.6)的通解为

其中

是任意常数,要使它满足边界条件(4.8),就必须有

§4分离变量法7《偏微分方程教程》第四章双曲型方程因此必须同时为零,从而

恒等于零.此时特征值问题(4.9)没有非平凡解.

2)当

时,方程(4.6)的通解为

所以

,从而

.此时,(4.9)也没有非平凡解.

3)当

时,方程(4.6)的通解为

由于系数行列式§4分离变量法8《偏微分方程教程》第四章双曲型方程要它满足边界条件(4.8),必须

由这两个等式推得

如果,那么

因此为了获得非平凡解,必须要求

且

即

其中

是一个任意的正整数.所以,只有当

取值为

(4.10)§4分离变量法9《偏微分方程教程》第四章双曲型方程时,特征值问题(4.9)才有非平凡解.这些离散的

(4.9)的特征值,与这些特征值

就是特征值问题对应的函数

(4.11)就是特征值

所对应的特征函数.

对于

方程(4.7)的通解可写成

其中

和

都是任意常数,于是对任意的

和

函数§4分离变量法10《偏微分方程教程》第四章双曲型方程满足方程(4.1)和边界条件(4.3).

由于方程(4.1)是线性齐次的,根据叠加原理,对任何有限个特解的线性组合也是它的解.对于无穷级数

(4.12)由级数理论知,只要级数(4.12)及它对

和

逐项求导两次后所得的级数都一致收敛时，其和函数将仍是方程(4.1)满足边界条件(4.3)的解.现在的问题是设法确定常数

和使级数(4.12)及它对

和

逐项求导两次后所得的级数都一致收敛,且和函数满足初始条

件(4.2).这里先对级数(4.12)关于

形式求导,得

(4.13)§4分离变量法11《偏微分方程教程》第四章双曲型方程利用初始条件(4.2),在(4.12)和(4.13)中令

得

由此可知,如果函数

和在区间

上都能展成Fourier正弦级数,那么它们的系数

和

就由

(4.14)

给出.

§4分离变量法12《偏微分方程教程》第四章双曲型方程下面我们来证明,当初始数据

和(4.14)确定的

和

作系数的级数(4.12)就是混合问题(4.1)-(4.3)

的解为此,我们只要能证得级数(4.12)及对它逐项求导两次后所得级数都一致收敛就行了．在区间

上有直到

阶的连续导数,

阶导数分段连续,且当

为偶数时

若把函数

展开成正弦级数

满足一定的条件时,由

引理4.5

设函数

§4分离变量法13《偏微分方程教程》第四章双曲型方程

证:

由假设知,函数

可在区间

上展为Fourier

为奇数时,展开式为

则级数是收敛的.级数.当§4分离变量法14《偏微分方程教程》第四章双曲型方程其中

§4分离变量法15《偏微分方程教程》第四章双曲型方程当

为偶数时,展开式为

同样可以推得

根据贝塞尔(F.W.Bessel)不等式,有

§4分离变量法16《偏微分方程教程》第四章双曲型方程由此可见,无论

是奇数还是偶数,都有

即利用Cauchy不等式,得

所以级数

收敛.引理证毕.

§4分离变量法17《偏微分方程教程》第四章双曲型方程

定理4.11

设在区间

上,函数

且三阶导数分段连续,函数端点同时满足相容性条件

二次连续可微

连续可微且二阶导数分段连续,在

则由级数(4.12)定义的函数有二阶连续导数,且是混合问题(4.1)-(4.3)的解.§4分离变量法18《偏微分方程教程》第四章双曲型方程

证:

由引理4.5知,级数

都是收敛的,因而级数(4.12)关于

和

数也都是一致收敛的,而且分别收敛于函数

级数(4.12)所定义的函数

是定解问题(4.1)-(4.3)的解.

逐项微分二次后所得的级的相应导数,所以定理证毕.§4分离变量法19《偏微分方程教程》第四章双曲型方程第一步:

令

适合方程和边界条件，从而

定出所适合的