差分-微分维数多项式及其应用

差分-微分维数多项式及其应用

1差分-微分维数及其分配经典的g洛布尼基方法在解决几个问题方面发挥了重要作用。许多研究人员在不同的情况下推广了经典的g洛布尼基方法。作为该算法的有力研究工具，它已经成为研究线性微分方程系统各种算法问题的有力工具。然而，已经在线性差分-差分混合方程系统中建立了基于nn或nn单项公式的g洛布尼基理论，该理论无法直接应用。对于pauer和dhadhich使用组件异常链结构的grobner基，但只能在交换情况下使用。leven在差分分量算子环上的自由模型中引入了资源集的概念，但其使用的是一个特殊的序列，而不是一般的序列。微分维数多项式概念由Kolchin作为微分域扩张的维数描述而引入.Johnson证明了微分域扩张的微分维数多项式与一个微分滤模的Hilbert多项式是一致的.这一结果使得利用Gröbner基技术计算微分维数多项式成为可能.从那以后各种涉及微分维数多项式的微分代数问题被深入研究(参见文献).差分维数多项式和差分-微分维数多项式分别由Levin,Mikhalev和Pankratev引入.它们在差分代数和差分-微分代数中所起的作用与Hilbert多项式在多项式代数(或微分维数多项式在微分代数)中的作用类似.差分-微分维数多项式用于研究差分-微分域扩张的维数理论和差分-微分代数系统的维数理论.Mikhalev和Pankratev用经典Gröbner基方法间接证明了差分-微分维数多项式的存在性.Wu也用导出序方法计算了一些线性差分-微分方程系的维数.然而对于微分部分和差分部分的分别维数描述,这一方法不再有效.本文提出一种新的差分-微分Gröbner基方法以计算差分-微分维数多项式.在本文中Z,N,Z和Q分别表示整数集、非负整数集、非正整数集和有理数集.环指有单位元的结合环.环A上的模指幺作用左A模.定义1.1设R为交换noetherian环,Δ={δ1,...,δm}和σ={α1,...,αn}分别是R上的一个导子集和一个自同构集,使得β(x)∈R和β(γ(x))=γ(β(x))对一切β,γ∈ΔUσ和x∈R成立,则称R为一个差分-微分环,或简称为Δ-σ-环.若R为域,则称R为一个差分-微分域,或简称为Δ-σ-域.若R是一个Δ-σ-环,以A记所有形如的元素组成的交换半群,其中(k1,...,km)∈Nm,(l1,...,ln)∈Zn.这个半群包含了由集合Δ生成的自由交换半群Θ和由集合σ生成的自由交换半群Γ.∧的子集{α1,...,αn,,...,}记为σ*.定义1.2设R为一个Δ-σ-环.形如的元素称为R上的差分-微分算子(或简称为Δ-σ-算子),其中aλ∈R对所有λ∈∧成立,且只有有限多个aλ异于零.两个Δ-σ-算子∑λ∈Λaλλ和∑λ∈Λbλλ相等当且仅当aλ=bλ对所有λ∈Λ成立.R上的所有Δ-σ-算子所成集合是一个环,基本算律为其中aλ,bλ∈R,λ,μ∈Λ,a∈R,δ∈Δ,τ∈σ*.注意其中的“项”λ∈Λ不能与系数aλ∈R交换.定义1.3R上所有Δ-σ-算子所成的环记为D,称为R上的差分-微分算子环(或Δ-σ-算子环).一个左D-模M称为一个差分-微分模(或Δ-σ-模).若M作为D-模是有限生成的,则称为有限生成差分-微分模.若σ=∅,则D是微分算子环R[δ1,...,δm],若系数环R还是域上的多项式环,则D是Weyl代数Am,故Δ-σ-模是微分算子环上模的拓广.但在Δ-σ-算子环中,“单项式”形如(1.1)式,其中α1,...,αn的指数为(l1,...,ln)∈Zn,从而经典的单项式序不再可用.下面将单项式序的概念予以推广.2广义单项式序定义2.1设Zn是有限多个子集的并,其中(j=1,...,k)满足下列条件:(ⅰ),且不包含任何一对可逆元c=(c1,...,cn)≠0和c-1=(-c1,...,-cn),(ⅱ)是有限生成的Zn子半群,(ⅲ)生成的群是整个Zn,则称{,j=1,...,k}是Zn的一个轨道分解,称为这个分解的第j轨道.例2.2取为所有不同的由n个集合作成的Descartes积,这些集合的每一个或者是N,或者是Z-,则是Zn的一个轨道分解.每个轨道作为半群的生成元集是其中ci是1或-1,i=1,...,n.我们称这个分解为Zn的正则轨道分解.例2.3取为由生成的Zn的子半群,为由生成的Zn的子半群,则是Zn的一个轨道分解.当n=2时,这个轨道分解为定义2.4设{,j=1,...,k}是Zn的轨道分解.Nm×Zn中两个元素a=(k1,...,km,l1,...,ln)和b=(r1,...,rm,s1,...,sn)称为相似的,如果(l1,...,ln)和(s1,...,sn)在同一个轨道中.定义2.5设{,j=1,...,k}是Zn的一个轨道分解.Nm×Zn上的一个全序<称为相对于这个轨道分解的广义单项式序,如果(ⅰ)(0,...,0)是Nm×Zn的最小元,(ⅱ)若a<b,则对任何与b相似的c,有a+c≺b+c.其中a,b,c∈Nm×Zn.注定义2.5的条件(ⅱ)意味着广义单项式序在每一个轨道内是单项式序.例2.6取Zn的正则轨道分解如例2.2.对每个a=(k1,…,km,l1,…,ln)∈Nm×令设a=(k1,...,km,l1,...,ln),b=(r1,...,rm,s1,...,sn)∈Nm×Zn,定义a≺b当(|a|,k1,...,km,l1,...,ln)按字典序小于(|b|,r1,...,rm,s1,...,sn),则“≺”是Nm×Zn上的广义单项式序.设a=(k1,...,km,l1,...,ln),b=(r1,...,rm,s1,...,sn)∈Nm×Zn,定义a≺b当按字典序小于则“≺”是Nm×Zn上的广义单项式序.例2.8取Zn的轨道分解如例2.3.对每个a=(k1,…,km,l1,…,ln)∈Nm×Zn,令设a=(k1,...,km,l1,...,ln),b=(r1,...,rm,s1,...,sn)∈Nm×Zn,定义a≺b当(‖a‖,k1,...,km,l1,...,ln)按字典序小于(‖b‖,r1,...,rm,s1,...,sn),则“≺”是Nm×Zn上的广义单项式序.为考察Δ-σ-模,需要把广义单项式序概念拓展到集合Nm×Zn×E上.其中E={e1,...,eq}是模的生成元集.定义2.9设{,j=1,...,2n}是Zn的轨道分解,E={e1,...,eq}是q个不同元素的集合.Nm×Zn×E上的一个全序<称为Nm×Zn×E上的广义单项式序,如果(ⅰ)(0,...,0,ei)是Nm×Zn×{ei}(ei∈E的最小元,(ⅱ)若(a,ei)<(b,ej),则对任意与b相似的c,有(a+c,ei)≺(b+c,ej).其中a,b,c∈Nm×Zn,ei,ej∈E.存在多种把Nm×Zn上的广义单项式序拓展到集合Nm×Zn×E上的方法.也可以在Nm×Zn×E上直接定义.例2.10取Zn的轨道分解和广义单项式序如例2.7.给定E={e1,...,eq}上的一个序“≺′”.设(a,ei)=(k1,...,km,l1,...,ln,ei),(b,ej)=(r1,...,rm,s1,...,sn,ej)∈Nm×Zn×E定义则“≺1”,“≺2”,“≺3”都是Nm×Zn×E上的广义单项式序.“<1”称为“<”的TOP拓展,“<2”称为“<”的POT拓展.“<3”在Nm×Zn×E上直接定义.引理2.11设{,j=1,...,k}是Zn的轨道分解,每个轨道作为半群同构于Nn,“<”是Nm×Zn上相对于该轨道分解的广义单项式序,则Nm×Zn中每个严格下降序列是有限的.特别地,Nm×Zn的每个子集含有最小元.证明设a1>a2>a3>…是Nm×Zn中严格下降序列.由于只有有限多个轨道,不失一般性可假定所有aj是相似的,在同一个中.由条件它作为半群同构于Nm+n.在Nm+n上定义<1,其中f是到Nm+n的同构映射,则<1是Nm+n上的单项式序.由单项式序的熟知性质,引理得证.引理2.11保证了基于广义单项式序的算法能够在有限步后终止.它可直接推广到差分-微分模情形.推论2.12设Zn上的轨道分解及Nm×Zn×E上的广义单项式序“<”已给定,则Nm×Zn×E中每个严格下降序列是有限的.特别地,Nm×Zn×E的每个子集含有最小元.证明设a1>a2>a3>...是Nm×Zn×E中严格下降序列.由于E={e1,...,eq}是有限集,可假定所有aj在同一个Nm×Zn×{ei}中,由引理2.11即得推论成立.3e类目的定义以下皆假设给定了Zn上一个轨道分解{,j=1,...,k}及Nm×Zn上一个广义单项式序“<”.∧是所有形如(1.1)式的元所成半群.由于∧同构于Nm×Zn,“<”定义了∧上一个序,我们也称“<”为∧上的广义单项式序.设K是Δ-σ-域,D是K上的Δ-σ算子环,F是以E={e1,...,eq}为生成元集的有限生成自由D模,则F可看作由所有形如λei(i=1,...,q,λ∈A)的元素生成的K-向量空间.该生成元集记为∧E,其中元素称为F的项.特别地,∧中元素称为D的项.若“<”是Nm×Zn×E上广义单项式序,则它也定义了∧E上一个广义单项式序.F中每个元素f可唯一地表示为一些项的线性组合其中0≠ai∈R(i=1,...,d),是互不相同的项.若(k1,...,km,l1,...,ln)与(r1,...,rm,s1,...,sn)相似,则称相似,以及u=λ1e1与v=λ2ej∈AE相似.定义3.1设“<”是∧E上广义单项式序,f∈F形如(3.1)式,则称为f的首项.当时,称lc(f)=ai为f的首项系数.定义3.2设λ形如(1.1)式,则称为Λ的第j轨道,其中是Zn的第j轨道.若F是有限生成D-模,ΛE是F的所有项所成集合,则称为∧E的第j轨道.引理3.3设λ∈A,a∈K,“<”是∧⊆D上广义单项式序,则其中a′=α(a)对某个α∈Γ.若a≠0则a′≠0;ξ∈D满足lt(ξ)<λ,且ξ的每项都相似于λ.证明设,记为α.由(1.3)式有其中η∈R[Δ],a′=α(a).因为αj∈σ,j=1,...,n是可逆的,故当a≠0时a′≠0.若,由(1.3)式显见.即有.又由于δα与ηα总是相似的,故ξ=ηα的每项都相似于λ.注意在A的每个轨道中,有.引理3.4设F是有限生成自由D-模,0≠f∈F,则下列论断成立:(ⅰ)若λ∈A,则lt(λf)=max<{λui},其中ui是f的项.且有f的唯一项使lt(λf)=λu.(ⅱ)若lt(f)∈Λje,则对任意λ∈Aj有证明(ⅰ)设及λ∈A,由引理3.3可得其中ξi∈D满足lt(ξi)λ.由引理3.3的证明还可知ξi的每项形如σiα且σi∈Θ,满足,从而有这样得到.又若对f的唯一的项u成立.(ii)设f如前,.若λ∈Λj,则在(3.2)式中有.再由λ相似于λ1得由(3.3)及(3.4)式即得lt(λf)=λlt(f)∈ΛjE.引理3.5设F是有限生成自由D-模,0≠f∈F,则对每个j,存在λ∈A及f的项uj,使得满足上式的f的项uj还是唯一的:若,则.我们把这个唯一的项uj记为ltj(f).证明设f形如(3.1)式,{|i=l,...,d}是f的所有项.记,si∈Nm和ti∈Zn.由定义2.1(ⅲ),生成的群为Zn,从而存在ui,,使得ui-vi=ti.即,则λ·λi∈Aj对所有i=1,...,d成立.再由引理3.3得因为在λ中没有δ因子,故由引理3.3的证明可知ξi=0.即知λf的所有项在ΛjE中,当然lt(λf)∈AjE.现设f的项u和v都满足lt(λf)=λu∈ΛjE和lt(ηf)=ηv∈AjE.对λ,η∈∧已证明存在C∈∧j,使得ζλ,ζη∈Aj.因为ζ∈Aj,故由λv≤λu,ηu≤ηv有ζλv≤ζλu,ζηu<ζηv.又因为ζλ,ζη∈∧j,故(ζη)ζλv≤(ζη)ζAu,(ζλ)ζηu≤(ζλ)ζηv,从而ζηζλv=ζηζλu,即得u=v.记这个u为ltj(f),则对任意满足lt(λf)∈AjE的λ∈Λ,有lt(λf)=λltj(f).命题3.6设0≠f∈F,0≠h∈D,则lt(hf)=max<{Aiuk},其中λi是h的项,uk是f的项.且有h中唯一的项λ和f中唯一的项u,使得lt(hf)=λu.证明设h=∑i∈Ibiλi,其中I是有限集,λi,i∈I,是∧中不同元素,则由引理3.4(ⅰ),存在f的唯一的项,使得对所有f的项uk成立.且,i∈I,必互不相同:若,则它们必在同一个ΛjE中,由引理3.5存在f的唯一的项ltj(f),使得得到,矛盾.故即存在唯一的i0,使得对一切h的项λi和f的项uk成立.定理3.7设f1,...,fp∈F\{0},则每个g∈F可表示为其中h1,...,hp∈Ar∈F满足(ⅰ)hi=0或lt(hifi)≥lt(g),i=1,...,p,(ii)r=0或lt(r)≤≤lt(g),使得lt(r)∉{lt(λfi)|λ∈A,i=1,...,p}证明h1,...,hp∈D和r∈F可由下列算法得到:首先令r=g,hi=0,i=1,...,p.若r≠0,即lt(r)=lt(λifi)对某个fi和某个λi∈Λ成立,则有其中ci=lc(λifi),lt(ξi)<lt(λifi),从而令,则再以ri代替r,以hi十biλi代替hi进入下一个循环.在每一次循环中有故由推论2.12,算法可在有限步后终止.定义3.8设f1,...,fp∈F\{0},g∈F,等式(3.6)成立且满足定理3.7的条件(ⅰ)和(ⅱ).若r≠g则称g可被{f1,...,fp}约化到r,此时必有lt(r)<lt(g).若r=g且hi=0,i=1,...,p,则称g相对于{f1,...,fp}是约化的.下例说明了定理3.7中的条件(ii)的含义.例3.9设K=Q(x1,x2),D=K[δ1,δ1.δ2,α,α-1]其中δ1和δ2分别对x1和x2的偏导算子,α是K的自同构.取N2×Z上的广义单项式序如例2.6,即其中|u|=k1+k2+|l|.取g=δ1α-2+δ2α2,f=δ1α-1+α,则尽管lt(r1)=δ2α2不是lt(f)=δ1α-1的倍式,仍有λ=<δ2α,使得lt(r1)=lt(λf)=lt(δ1δ2+δ2α2),从而现r2满足定理3.7中的条件(ii),故g可被f约化到r2.定义3.10设W是有限生成自由D-模F的子模,<是∧E上的广义单项式序,G={g1,...,gp}∈W\{0}.称G为W的Gröbner基(相对于广义单项式序<),如果对任意f∈W\{0},lt(f)=lt(λgi),λ∈A,gi∈G.若G的每个元素相对于G的其他元素约化,则称G为W的约化Gröbner基.命题3.11设G是W\{0}的有限集.下列论断成立:(ⅰ)G是W的Gröbner基当且仅当每个f∈W可被G约化到0,从而W的Gröbner基生成D-模W.(ⅱ)若G是W的Gröbner基,f∈F,则f∈W当且仅当f可被G约化到0.(ⅲ)若G是W的Gröbner基,则f∈W相对于G约化当且仅当f=0.证明(ⅰ)若G是W的Gröbner基,f∈W,则由定理3.7,f可被G约化到r,且lt(r)不等于任意一个lt(λg),λ∈∧,g∈G.若r≠0则r∈W,从而lt(r)=lt(λg)对某个g∈G,λ∈∧,矛盾.若每个f∈W可被G约化到0,则f=∑g∈Ghgg.由命题3.6,存在g∈G,使得lt(f)=maxg∈G{lt(hgg)}=λu对hg的项λ及g的项u成立,故lt(f)=lt(λg).由定义3.10即得G是W的Gröbner基.(ⅱ)和(ⅲ)由定理3.7及定义3.10立得.例3.12若W由一个元素g∈F\{0}生成,则W\{0}的任意包含了g的有限子集G是W的Gröbner基.事实上,由0≠f∈W可得f=hg对某个h∈D\{0}成立.由命题3.6,lt(f)=λu=max<{λiuk}对h的项λ及g的项u成立.故lt(f)=lt(λg).再由定义3.10得G是W的Gröbner基.定义3.13设F是有限生成自由D-模,f,g∈F\{0}.对每个Λj记V(j,f,g)为K[Λj}-模K[Λj]<lt(λf)∈ΛjE|λ∈Λ>∩K>[Λj]<lt(ηg)∈AjE|η∈A>的有限生成元集(这些生成元都是项),则对每个生成元u∈V(j,f,g),称为f和g的相对于j和u的S-多项式.在定义3.13中考虑的K[Λj]-模是“单项式模”,即它可由单项式生成.这种模总有“单项式基”.以下总设V(j,f,g)是一个单项式基.V(j,f,g)的计算涉及所取的广义单项式序.Pauer和Unterkircher在Laurent多项式环的计算中研究了V(j,f,g),并给出了一些重要情形下的算法.这些算法对差分-微分模仍适用.例3.14设,K=Q(x1,x2).其中δ1和δ2分别是对x1和x2的偏微分算子,α1和α2是K上的两个自同构.取N2×Z2上的广义单项式序如例2.8,即其中‖u‖=-min(0,l1,l2).设.∧的轨道为Λ0,∧1,Λ2(见例2.3).可得从而.再由定义3.13得类似可得从而及最后,故以及引理3.15设{r1,...,rl}⊆F,{a1,…,al}⊆K若,则存在bj∈K,使得证明显见因为a1+a2+…+al=0,故有bj∈K,引理3.16设gi,gk∈F,lt(λgi)=lt(ηgk)=u∈ΛjE,其中λ,η∈A,则存在ζ∈Λj及v∈V(j,gi,gk),使得u=ζv.又若G是F\{0}的有限子集,S-多项式S(j,gi,gk,v)可被G约化到0,则且对一切g∈G有lt(hgg)<u.证明设V(j,gi,gk)={v1,...,ul},则其中pμ∈K[Λj].由于pμ=∑νaμνλμν,aμν∈R,λμν∈Λj,故又由于u和λμvuμ都是ΛjE的项,故可重写上式右边,使得项λμvvμ各不相同.这样存在唯一的aμv-1其他为0.得到u-ζv对某个ζ∈Aj和v∈V(j,gi,gk)成立.现若S(j,gi,gk,v)可被G约化到0,则且对一切g∈G有.从而其中.由引理3.4(ⅰ),对的某项w有,从而得到,ζ∈Aj以及ζw<ζv=u.定理3.17(Buchberger定理的推广)设F是有限生成自由D-模,<是AE上广义单项式序,G是F\{0}的有限子集,W是F的由G生成的子模,则G是W的Gröbner基当且仅当对所有Λj,所有gi,gk∈G,以及所有v∈V(j,gi,gk),S-多项式S(j,gi,gk,v)可被G约化到0.证明若G是W的Gröbner基,则S(j,gi,gk,v)是W的元素,由命题3.11即知S(j,gi,gk,v)可被G约化到0.现设G是F\{0}的有限子集,W是F的由G生成的子模.并设对所有Λj,所有gk,gk∈G,以及所有v∈V(j,gi,gk),S-多项式S(j,gi,gk,v)可被G约化到0.只要证明对任意f∈W\{0},必有λ∈∧和g∈G,使得lt(f)=lt(Ag).由于W由G生成,故存在{hg}g∈G⊆D,使得令u=max<{lt(hgg)|g∈G}.可选择{hg|g∈G},使得u达到最小,即若有.由命题3.6知u≥λg对hg的所有项λ和所有g∈G成立.若lt(f)=u=lt(hgg)对某个g∈G成立,则由(3.5)式知存在hg的项λ,使得lt(f)=lt(λg).定理自然成立.这样只要证明lt(f)<u不可能成立.现设lt(f)u.记B={g|lt(hgg)=u>lt(f)}.由(3.5)式知存在hg的唯一的项λg,g∈B,使得对任意hg的项ηg≠λg有u=lt(Agg)>lt(ηgg).设cg是hg在λg的系数.得到其中所有出现在后两个和式中的项都<u.由引理3.4(ⅰ),可设vg为g的一项,它使得对任何g的项v≠vg有u=lt(λgg)=λgvg>λgv.设dg是g在vg的系数.由引理3.3,对某些和ξg∈D成立,且所有出现在最后一个和式中的项都<i.现u只出现在且所有出现在最后一个和式中的项都<u.因lt(f)<u故.记为rg,则由引理3.15,对于某些gi,gk∈B.由于且对某Aj成立,故由引理3.14可得,,从而且.又由于对所有Aj,所有gi,gk∈G,以及所有v∈V(j,g,gk),S-多项式S(j,gi,gk,v)可被G约化到0,故由引理3.16可知且lt(pgg)<u把(3.10)式代入(3.9)式右边的,再把(3.9)式代入(3.8)式右边的第1个和式,再把(3.8)式代入(3.7)式右边的第1个和式,得到另一个f的表达式且,这与u的最小性矛盾.定理得证.例3.18若W是F的由有限集G生成的子模,而每个g∈G只有一项,则G是W的Grobner基.事实上此时所有S-多项式S(j,gi,gk,v)为0.由定理3.17得G是W的Gröbner基.定理3.19(Buchberger算法)设F是有限生成自由D-模,<是∧E上广义单项式序,G是F\{0}的有限子集,W是F的由G生成的子模.对Λj及f,g∈F\{0}令V(j,f,g)和S(j,f,g,v)如定义3.13,则由下列算法可得到W的一个Gröbner基:Input:G={g1,...,gμ},W的生成元集output:,W的一个Gröbner基BeginG0:=GWhile存在f,g∈Gi及v∈V(j,f,g)使得S(j,f,g,v)被Gi约化到r≠0DoGi+1:=Gi∪{r}End证明由定理3.17,只要证明存在i∈N,使得Gi+1=Gi.若不然,可得到一个无穷的集合链G1⊊G2⊊…⊊Gi⊊….由于只有有限多个轨道Λj(j=1,...,n),可设在每个Gi+1中的lt(r)∈∧jE对一个固定的j成立.由于在算法的每一个循环中r满足:lt(r)不等于任意一个lt(λg),λ∈A,g∈Gi.同时ηlt(λg)=lt(ηλg)=lt(λ′g)∈AjE对任意η∈Aj及任意lt(λg)∈ΛjE成立(见引理3.4(ⅱ)).故若lt(r)∈ΛjE,则有,g∈Gi+1>作为⊕e∈EK[∧j]e的K[∧j]-子模成立,从而对每个i∈N有m∈N,使得.由K[Λj]的noetherian性这是不可能的.例3.20设F和Λ上广义单项式序如例3.14.设G={g1,g2,g3},,则G是它生成的子模W的Gröbner基.要证明这点,需要证明G的所有S-多项式被G约化到0.用例3.14中描述的方法,可得以及上式右边满足定理3.7(ⅰ),即lt(higi)lt(S),其中,i-1,3.最后,故上式右边也满足定理3.7(ⅰ).由定理3.17,G是W的一个Gröbner基4--同态或差分-微分同构本节给出利用差分-微分模的Gröbner基计算差分-微分维数多项式的方法,它比传统的方法更一般和更直接.设K是Δ-σ-域,D是K上的Δ-σ-算子环,M是有限生成D-模,F是有限生成自由D-模.其它记号如前.对形如(1.1)式的λ∈A,令ordλ=k1+…+km+|l1|+…+|ln|.对F中的项w=λei∈∧E,令ordw=ordλ.若u=∑λ∈Λaλλ∈D,令ordu=max{ordλ|aλ≠0}.D可看作滤环,其上的滤(Dμ)μ∈Z满足Dμ={u∈D|ordu≤μ},μ∈N,且Dμ=0当μ<0.显见∪{Dμ|μ∈}Z=D,Dμ⊆Dμ+1当μ∈Z,以及DvD=Dμ+v当μ,v∈Z.定义4.1设K和M如上.模M的一个K-线性子空间序列(Mμ)μ∈Z称为M上的一个滤,如果(ⅰ)Mμ⊆Mμ+1,μ∈Z,以及存在μ0∈Z,使得Mμ=0对一切μ≤μ0成立.(ii)∪{Wμ|μ∈Z}=M.(iii)DvMμ⊆Mμ+v,μ∈Z,v∈N.若每个K-线性子空间Mμ有有限维数,并存在μ0∈Z,使得DvMμ=Mμ+v对一切μ≥μ0,v∈N成立,则称滤(Mμ)μ∈Z为M上的良滤.例4.2设M有生成元h1,...,hq.作μ∈Z,则(Mμ)μ∈Z是M上的良滤.定义4.3设M和N是两个D-模.一个K-模同态f:M→N称为Δ-σ-同态(或差分-微分同态),如果f(βx)=βf(x),x∈M,β∈Δ∪σ*.满的(单的或双的)Δ-σ-同态分别称为Δ-σ-满同态(单同态或同构).取Zn的正则轨道分解如例2.2,并定义AE上广义单项式序“<”如下(见例2.10):设,则定理4.4设M有生成元h1,...,hq,F是以e1,...,eq为基的自由D模,π:F→M是F到M的自然Δ-σ-满同态(即π(ei)=hi,i=1,...,q)设Mμ如例4.2的K-线性子空间.G={g1,...,gd}是N=kerπ的相对于如上定义的广义单项式序“<”的Gröbner基,Uμ是所有满足ordwμ和wλ∈∧(i=1,...,d),的项w∈∧E所成集合,则π(Uμ)是K-线性空间Mμ的基.证明首先证明π(Uμ)生成K-线性空间Mμ=Dμh1+...+Dμhq.设有i∈{1,...,q},λ∈∧,ordλ≤μ,使得λhi∈Mμ且λhi∉π(Uμ),则λei∉Uμ,从而有λ′∈∧,gj∈G,使得λei=lt(λ∧gj).故其中aj≠0,且只有有限多个av≠0.进而,λvev>λei且ordλv≤μ.因G⊆N=ker(π),有0=π(gj)及故而λhi是一些形如λvhv(1≤v≤q)的元素的有限线性组合(系数在K中),并满足ordλv≤μ,λvev<λei.这样,我们可在λej(λ∈A,1≤j≤q)上对“<”用归纳法得到:每个λhi(ordλ≤μ,1≤i≤q)是形如π(Uμ)的元素的有限线性组合(系数在K中).其次,证明π(Uμ)在K上线性独立.设u1,...,ul∈Uμ,a1,...,al∈K,使得,则π(h)=0且h∈N.因lt(h)=ui∈{u1,...,ul},由Uμ的定义有lt(h)∈Uμ及lt(h)≠lt(λgi),λ∈A,i=1,...,d.由于G是N的Gröbner基,命题3.11(iii)导出h=0.故a1=…=al=0.定理得证.定义4.5l个变元t1,...,tl的有理系数多项式f(t1,...,tl)称为numerical多项式,如果存在(s1,…,sl)∈Zl,使得对一切整数ri≥si(1≤i≤l)有f(r1,...rl)∈Z.由Levin证明的下列定理把Kondrateva关于Nm上numerical多项式的结果推广到Nm×Zn上.定理4.6设A是Nm是×Zn的子集.取Zn的正则轨道分解如例2.2.设是Nm×Zn上的偏序:(k1,...,km,l1,...ln)(r1,...,rm,s1,...,sn)当且仅当(l1,...,ln)与(s1,...,sn)在同一个轨道并满足令及则存在满足下列条件的两变元numerical多项式ψA(t1,t2):(ⅰ)ψA(r,s)=CardWA[r,s]对充分大的(r,s)∈N2成立.(ii)degψA≤m+n,+(iv)ψA(t1,t2)=0当且仅当(0,...,0)∈A.推论4.7设A,及WA如定理4.6所述.令则存在满足下列条件的numerical多项式φA(t):(ⅰ)φA(μ)=CardWA[μ]对充分大的μ∈N成立.(ⅱ)degφA≤m+n,且若A=∅则degφA=m+n.(ⅲ)φA(t)=0当且仅当(0,...,0)∈A.定理4.8设M为有限生成D-模,(Mμ)μ∈Z是M上的良