2022-2023学年上海市青浦高级中学高一年级上册期中数学试题【含答案】

2022-2023学年上海市青浦高一上学期期中数学试题

一、单选题

1.如图，U表示全集，4B是u的子集，则阴影部分所表示的集合是()

A.Ar>BB.A<JBC.D.AuB

A

【分析】根据韦恩图写出阴影部分的集合表达式即可.

【详解】由韦恩图知：阴影部分为ZcB.

故选：A

2.下列不等式恒成立的是()

A.a+b<2^\ai\B.a2+b2>-2ab

C.a+h>—2yj\ah\D.a2+b2<2ab

B

【分析】取"=31=4可判断A；a2+h2+2ah=^a+b)~>0B；a=-2,h=C；

片+6一2"=(“-与220可判断口.

【详解】对于A,取4=3,6=4,。+6=7,曲=12,则744G不正确，所以A不正确；

对于B,a2+b2+2ab=(a+h)2>0,^a2+b2>-2ab,所以B正确；

对于C,取。=-2,6=-4,°+匕=-6,必=8,则-62-4夜不正确，所以C不正确；

对于D,a2+b2-2ab=(a-b)2>0,所以/+〃42ab,所以D不正确.

故选：B.

3.“a=0”是关于x的不等式以的解集为R的()

A.充分非必要条件B.必要非充分条件

C.充要条件D.非充分非必要条件

B

【分析】取a=0，6=1时可判断充分性；当不等式ar-bN1的解集为R时，分tz>0,a<0,“=0讨

论可判断必要性.

【详解】若。=0,取6=1时，不等式or-210-121,此时不等式解集为0；

当”>0时，不等式公-。21的解集为{x|xN四},

a

当a<0时，不等式亦-匕21的解集为{x|xWtd},

a

当”=0,且64-1时，不等式ox-bNl<=>-人21o匕V-1,

所以，若关于x的不等式依-人21的解集为R,则。=0.

综上，“a=0”是关于*的不等式ax-h>1的解集为R的必要非充分条件.

故选：B

4.设S是实数集R的一个非空子集，如果对于任意的aleS（a与/，可以相等，也可以不相等），

a+beS且a-beS,则称S是“和谐集”.则下列命题中为假命题的是（）.

A.存在一个集合S,它既是“和谐集”，又是有限集

B.集合"1x=Z石,ZwZ}是“和谐集”

C.若印邑都是“和谐集”，则5皿邑二0

D.对任意两个不同的“和谐集f同，总有S〜S?=R

D

【分析】根据已知中关于“和谐集''的定义，利用题目四个结论中所给的运算法则，对所给的集合进

行判断，特别是对特殊元素进行判断，即可得出答案.

【详解】解：A项中，根据题意$={0}是“和谐集”，又是有限集，故A项为真命题；

B项中，设与=匕6,9=网6,人,七eZ，则为+々=（匕+玲）百eS，％=（4—的）wS，

所以集合{Rx=是“和谐集”，故B项为真命题；

C项中，根据已知条件，匕可以相等，故任意“和谐集''中一定含有0,所以，CIS?#。，故C项为

真命题；

D项中，取S|={x|x=2《keZ},邑={X|X=3Z:,A€Z},E.S?都是“和谐集”，

但5不属于耳，也不属于邑，所以£US?不是实数集，故D项为假命题.

故选：D.

二、填空题

5.集合4={1,2],B={2,3},则ACB=.

{2}

【分析】直接利用交集的定义求解.

【详解】解：；A={1,2},8={2,3）,

2}D{2,3}={2}.

故{2}.

6.已知集合A=忖”,（）},若济人，则实数a的值为.

2

【分析】根据集合元素的性质可求实数a的值.

【详解】因为aeA,故a=0或/-a=a,

若。=0,则/_〃=〃=0,与元素的互异性矛盾，舍；

若片―a=a,则a=2或a=0（舍），而”=2时，符合元素的互异性，

故实数a的值为2,

故2.

7.设小人为实数，则/+〃_2a-2b-2（填\，（或W"）

>

【分析】利用作差法比较即可.

【详解】因为（4+/）_（24_26_2）=（4_1）2+（6+1）220

^\^a2+b2>2a-2b-2

故2

8.关于x的方程%2-8%+4=0的两根为5,三，则,+'=____.

xx2

2

【分析】利用韦达定理求出两根关系即可求出.

【详解】由题意得用+占=8,x/=4,所以，+'=主咨=2.

为x2x）x2

故2.

9.已知e"，=3,ln2=n,则

72

【分析】把对数式化成指数式，再利用指数幕运算求得式子的值.

【详解】由ln2=〃=e"=2,

所以e2m+3n=e2m.e3n=(em)2-(en)3=9-8=72.

故72

10.命题“若则》(万一1)>0”是真命题，实数a的取值范围是.

[1,+00)

【分析】利用充分条件的概念和集合间的包含关系即可求解.

【详解】由题意得，是(x-l)x>()的充分条件，

由(x-l)x>0可得x<0或x>l,

从而{》以>4}1{幻》<0或》>1},

从而aNl.

故数a的取值范围是U,”).

故答案为

金40

11.若关于x的不等式组x-2的解集是0,则实数a的取值范是_____.

|x-a|42

(-<o,-l)o[4,+ao)

【分析】分别求出土二WO和|x-a|42的解集，由不等式组x-2的解集是0,即可得出答案.

7\\x-a\<2

]乂40,

【详解】由<X一2可得：l<x<2,

xw2

又因为忖-4<2可得—2+q<x<2+a,

因为不等式组x-2的解集是0,

卜”2

所以一2+aW2或2+a<l,解得：a*4或°<一1,

所以实数。的取值范是.(7,-1)34,的)

故答案为.(Y),T)34,+8)

12.集合A={x||x-a|=l},B={i,-3,b},若=则对应的实数对(a,。)有对.

4

【分析】解出集合A,再根据交集的性质，子集的定义分类讨论即可求出.

【详解】因为A={x||x—a|=l}={a+l,a—l},(a-l<a+l),B={l,-3,b},

“「J或"一JI或a-\=\

而4cB=A=>Aq3,所以,

a+l=l-a+l=b

故4.

13.己知关于x的不等式履2_2x+6A<0有解，则实数火的取值范围是.

【分析】根据三个“二次”的关系，分类讨论即可解出.

【详解】因为不等式履2-2x+6A<0有解，当上W0时，显然不等式有解；当k>0时，不等式

[八=4-24/>0

"2—2x+6ZvO有解等价于方程依2一21+6%=0有两相异实根，所以，八，解得:

\k>0

0<2〈在，综上，实数人的取值范围是

6

故卜阁.

14.已知非零实数X、y满足X?+冲+9=3,则d-xy+V的最小值是.

【分析】利用基本不等式结合已知条件求出孙的取值范围，再由X?-盯+V=3-2肛结合不等式的

基本性质可求得结果.

【详解】因为公+丁之？回当且仅当丫=w时，等号成立.

所以，3=x2+y2+xy>2|xy|+xy.

若孙20,则323孙，可得个41,此时04个41；

若孙40,则32-2肛+肛=一孙，可得孙2-3,此时一34岁40.

综上，-34^41.

所以，x2-xy+y1=(x2+Ay+y)-2j(y=3-2xye[l,9].

所以--孙+y2的最小值是1.

故1

15.已知非空集合M满足：对任意xe",总有Ve用且正e用，若〃={0,1,2,3,4,5},则满足

条件的M的个数是.

11

【分析】根据集合M的元素特征以及有限集的子集个数即可解出.

【详解】因为非空集合例至少含有一个元素，而且根据题意可知，集合M中不能含有0」，且2,4不

能同时存在于集合，所以由集合{2,3,4,5}的非空子集个数为24-1=15,再排除不符合题意的

{2,4},{2,3,4},{2,4,5},{2,3,4,5},故满足题意的M的个数是15-4=11.

故11.

16.三个同学对问题“已知肛且〃?+”=1,求的最小值”提出各自的解题思路：

tnn

甲：_1+_1="三+吧2=2+巴+‘，可用基本不等式求解；

mnmntnn

11m+n1

乙：一+—=——=—=—~可用二次函数配方法求解；

tnnmnmnm{\-ni)

丙：—+—=(—+—)(w+H)=2+—+—,可用基本不等式求解；

tnnmnmn

2[

参考上述解题思路，可求得当x=_______时，y=—^-^-------2o<x<io。>0有最小值.

x2100-X2

1100a

V«+1

【分析】甲的思路应用的条件是分母相加为常数，乙的思路的应用条件是通分后分子应为常数，丙

的思路为1的代换，注意基本不等式取等号的条件.

【详解】按照甲的思路：

a21

,"乒+]00_工2

1""卜2+1(乂)-巧+f+100-*2

-loo?+loo-%2

2

1r2,“poo-―)x'

=---a+14------z-----1------Z-

100x2100-x2

因为0<x<10,所以100-/>。

由基本不等式得，一,，

x2100-x2

当且仅当叭M二丁)=3，。>0,即苫=焙时等号成立.

x2100-x2v«+l

按照乙的思路:

〃216J([00—)+/

y=，发现与设想不一样，故放弃此思路.

r100-x'x(10()-x)

按照丙的思路：

a21

"h]00T2

=(二十——!~~-)•—(x2+100-x2)

100-x2J100v)

22

14(100-x)।x

a2+l+—

-100100-x2

因为OvxvlO,所以100-/>()

由基本不等式得，“平°°-1)+一2,

X-100-X2

当且仅当fl,00二")=、，。>0,即心包时等号成立.

x2100-x21

故当x=、悭电■时,y=「+——!70Vx<10。>0有最小值.

故答案为.

三、解答题

17.已知入，ywR+,且x+y>2,求证：士与山中至少有一个小于2.

证明见解析.

1^>2

【分析】假设牛与手都大于或等于2,即・

,两式相加得出与已知矛盾，可证得原命题

山22

X

成立.

1+X3

------>2

【详解】证明：假设号与字都大于或等于2,即，y

1+V-

—^->2

x

l+x>2y

因为x,yeR+,故可化为1+yR两式相加,得"2.

与已知x+y>2矛盾.所以假设不成立，即原命题成立.

本题考查反证法的证明，考查学生逻辑思维能力，属于中档题.

18.已知关于*的绝对值不等式.|x+l|+|x-l|>N

(1)当。=0时，求不等式的解集；

(2)若对于任意的实数x,以上不等式恒成立，求实数。的取值范围.

⑴(—00,—2)U(2,+8)

⑵ae(-oo,-2)u(l,+oo)

【分析】(1)分类讨论1,-Ivxvl和解不等式即可求出答案；

(2)由|x+l|+k-1|的几何意义求出|x+l|+|x-l|的最小值为2,即2>土］，解不等式即可得出答案.

【详解】(1)当a=0时，原不等式变为：由|x+l|+k—1>4

当1时，—%—1—x+l>4,解得—2；

当一Ivxvl时，x+l-x+l>4,无解；

当尤21时，x+1+x-l>4,解得x>2.

故所求不等式的解集为.(-8,-2)=(2,+。)

(2)由|x+l|+|x-1］在数轴上表示到-1与1的距离之和(或由三角不等式)，

|x+l|+|x—l|的最小值为2,

则有2>二，可化为"1>0,

a-\a-\

所以Q£(Y,-2)U(l,+8).

19.1.已知集合A={x|-f+/nr+〃>o}=(-l,3),集合3=司/_以_2〃2<0}.

⑴求常数相、〃的值；

⑵设且〃是夕的充分不必要条件，求实数。的取值范围.

⑴6=2,n=3

(2)(-8,-3］U/+8)

【分析】(1)把不等式的解集转化为方程的两个根，用韦达定理求解；(2)先求集合B,注意对a

进行分类讨论，利用p是q的充分不必要条件，转化为集合之间的包含关系，求解a的取值范围

【详解】(1)因为4={乂-丁+如+〃>0}=(T,3),所以-1和3是方程-¥+小+〃=0的两个根，由

韦达定理得：—1+3=6，—1x3=—〃，解得：m=2,n=3

（2）x2-ax-2a2<0,解得：当a>0时，集合8=（-a,2a）,当a<0时，集合5=（%,一。），当。=0

时，解集为0

因为p是g的充分不必要条件，p.xeA,q:xeB

当”=0时，B=0,此时p是q的必要不充分条件，不满足题意，舍去

（—a4—13

当。>0时，需要满足（T3）u（-a,2a）,此时2,3，解得：a~l

当a<0时，需要满足（T,3）=（2”,一〃），此时[“[3，解得：a--3

综上：实数。的取值范围为（-s,-3]U/+8）

20.运货卡车以x千米/时的速度匀速行300千米，按交通法规限制504x4100（单位千米/时，假设

r2

汽油价格是每升6元，汽车每小时耗油（4+矗）升，司机的工资是每小时46元.

（1）求这次行车总费用了（元）关于*（千米/时）的表达式；

（2）当x为何值时，这次行车的总费用了最低？求出最低费用的值.

（1）丫=幺詈+竿（504x4100）；（2）当x=70B寸，这次行车的总费用y最低，最低费用为600元.

（1）计算本次行车所用时间，然后乘以每小时耗油量以及汽油价格为汽车的费用，再加上司机的费

用即为行车总费用；（2）利用均值不等式求出最小值以及取最小值时的x的值.

【详解】解：（1）行车所用时间，=“（》,根据汽油的价格是每升6元

X

而汽车每小时耗油（4+五）升，司机的工资是每小时46元

2

-r-—尸M四m衣300//Ax.46x3002100030X,“℃、

可得仃车总费用为y=---x6x(4+---)+------------+——(50<x<100)

xxx7

2100030x、c12100030x“八

y=-----+——>2-J----------=600

x7Vx7

当且仅当生四30%

X

即x=70时，等号成立

所以当x=7（）时，这次行车的总费用了最低，最低费用为600元

本题考查函数的应用，属于中档题.

方法点睛：（1）首先计算行车所用时间；

（2）行车总费用包含汽车的费用和司机的费用；

（3）行车总费用为行车时间乘以每小时耗油量乘以汽油的价格;

（4）司机的费用为司机每小时的价格乘以时间.求和即可.

21.对正整数〃，记/,,=｛1,2,3,…P„=^=\meln,kel^.

(1)用列举法表示集合6；

(2)求集合2中元素的个数；

(3)若巴的子集A中任意两个元素之和不是整数的平方，则称A为“稀疏集”.证明：存在〃使得与能

分成两个不相交的稀疏集的并集，且”的最大值为14.

⑴｛1,2,3,正，在逑，更，逆,石｝;(2)46；(3)证明见解析.

2233

【分析】(1)根据给定集合E,的意义计算列举写出即可；

(2)由每一个％值可得〃中的7个元素，再去掉计算过程中出现的重复元素即可得解；

(3)根据给定定义，证明〃215时K不能分成两个不相交的稀疏集的并，再证明/能分成两个不相交

的稀疏集的并即可得解.

【详解】⑴依题意，=｛1,2,3｝,贝坨=｛金仙€/3，/€/3卜1,2,3,日,0，¥，¥，半,石.；

m

(2)显然每一个k值，加值可取1,2,3,4,5,6,7七个不同数，即可得7个正的值，

当女=1时，｛mImw/:｝中团=1，，〃=2,加=3所对应的3个元素为1,2,3,另四个元素为4,