专题6.4 图形的相似（压轴题综合测试卷）（苏科版）（解析版）

专题6.4图形的相似（满分100）学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________题号一二三总分得分评卷人得分一．选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分）1．（2022·全国·九年级专题练习）有以下命题：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有ab②如果点C是线段AB的中点，那么AC是AB、BC的比例中项；③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，那么AC是AB与BC的比例中项；④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，且AB=2，则AC=5其中正确的判断有（

）A．②④ B．①②③④ C．①③④ D．②③④【思路点拨】根据比例线段、黄金分割的定义逐个判断即可得．【解题过程】解：①如果线段d是线段a，b，c的第四比例项，则有ab②如果点C是线段AB的中点，则ABAC所以ABAC所以AC不是AB、BC的比例中项，错误；③如果点C是线段AB的黄金分割点，且AC>BC，则ACAB所以ACAB=BC所以AC是AB与BC的比例中项，正确；④如果点C是线段AB的黄金分割点，AC>BC，且AB=2，则ACAB=5所以AC=5综上，正确的判断有①③④，故选：C．2．（2022·陕西西安·九年级期中）下列每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成，其中△ABC和△CDE的顶点都在小正方形的顶点上，则△ABC与△CDE一定相似的图形是（

）A． B．C． D．【思路点拨】由已知根据相似三角形的判定和性质对每个选项分析论证得出正确选项．【解题过程】解：已知每个矩形都是由五个同样的小正方形拼合组成．A：∠ABC=90°+45°=135°，∠CDE=90°+45°=135°，∴∠ABC=∠CDE，BC=DC=2，∴ABBC=1∴△ABC∽△CDE；B：△ABC为等腰三角形，则△CDE不是等腰三角形，所以不相似；C：△ABC中∠ABC=90°+45°=135°，而△CDE中∠CDE=∠135°，对应角不相等，所以不相似；D：CDCD=1，∴CDCD故选：A．3．（2022·全国·九年级课时练习）甲：将边长为3、4、5的三角形按图1的方式向外扩张，得到新三角形，它们的对应边间距为1，则新三角形与原三角形相似．乙：将邻边为3和5的矩形按图2的方式向外扩张，得到新的矩形，它们的对应边间距均为1，则新矩形与原矩形相似．对于两人的观点，下列说法正确的是（

）A．两人都对 B．两人都不对 C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对【思路点拨】甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，即可证得∠A=∠A′，∠B=∠B′，可得△ABC∽△A′B′C′；乙：根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，则可得ABA【解题过程】解：甲：根据题意得：AB∥A′B′，AC∥A′C′，BC∥B′C′，∴∠A=∠A′，∠B=∠B′，∴△ABC∽△A′B′C′，∴甲说法正确；乙：∵根据题意得：AB=CD=3，AD=BC=5，则A′B′=C′D′=3+2=5，A′D′=B′C′=5+2=7，∴ABA∴ABA∴新矩形与原矩形不相似．∴乙说法不正确．故选：C．4．（2022·山东·聊城江北水城旅游度假区李海务街道办事处中学九年级阶段练习）如图，在△ABC中，点D，E分别是边AC，AB的中点，BD与CE交于点O，连接DE，下列结论：①OEOB=ODOC；②DEBC=1A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【思路点拨】由点D，E分别是边AC，AB的中点知DE是△ABC的中位线，据此知DE∥BC且DEBC=1【解题过程】解：∵点D，E分别是边AC，AB的中点，∴DE是△ABC的中位线，∴DE∥BC且DEBC=1∴∠ODE=∠OBC、∠OED=∠OCB，∴△ODE∽△OBC，∴OEOC=ODSΔDOESΔBOC∵SΔDOE∴SΔDOESΔBOE故选B．5．（2022·山东·东营市垦利区郝家镇中学八年级阶段练习）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠ABC=60°，BC=2cm，D为BC的中点，若动点E以1cm/s的速度从A点出发，沿AB向B点运动，设E点的运动时间为t秒，连接DE，当以B、D、E为顶点的三角形与A．2或3.5 B．2或3.2 C．2或3.4 D．3.2或3.4【思路点拨】求出AB=2BC=4cm，分两种情况：①当∠EDB=∠ACB=90°时，DE∥AC，△EBD∽△ABC，得出AE=BE=12AB=2cm，即可得出t=2s；②当∠DEB=∠ACB=90°时，证出△DBE∽△ABC，得出∠BDE=∠A=30°，因此BE=12BD=12cm，得出AE=3.5cm【解题过程】解：∵∠ACB=90°，∠ABC=60°，∴∠A=30°，∴AB=2BC=4cm，分两种情况：①当∠EDB=∠ACB=90°时，DE∥AC，所以△EBD∽△ABC，E为AB的中点，AE=BE=12AB=2cm∴t=2s；②当∠DEB=∠ACB=90°时，∵∠B=∠B，∴△DBE∽△ABC，∴∠BDE=∠A=30°，∵D为BC的中点，∴BD=12BC=1cm∴BE=12BD=0.5cm∴AE=3.5cm，∴t=3.5s；综上所述，当以B、D、E为顶点的三角形与△ABC相似时，t的值为2或3.5，故选A.6．（2022·山东·德州市第九中学八年级期中）如图，矩形ABCD的对角线AC，BD交于点O，AB=6，BC=8，过点O作OE⊥AC，交AD于点E，过点E作EF⊥BD，垂足为F，则OE+EF的值为（

）A．485 B．325 C．245【思路点拨】根据勾股定理求出AC=BD=10，由矩形的性质得出AO=5，证明△AOE∼△ADC得到OE的长，再证明△DEF∼△DBA可得到EF的长，从而可得到结论．【解题过程】解：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，∠ABC=∠BCD=∠ADC=∠BAD=90°∵AB=6，BC=8∴AD=BC=8，DC=AB=6∴AC=AB2∴OA=1∵OE⊥AC，∴∠AOE=90°∴∠AOE=∠ADC，又∠CAD=∠DAC，∴△AOE∼△ADC，∴AO∴5∴AE=254，∴DE=7同理可证，△DEF∼△DBA，∴DE∴7∴EF=21∴OE+EF=15故选：C．7．（2022·全国·九年级课时练习）如图，点A1，A2，A3，A4在射线OA上，点B1，B2，B3在射线OBA．8 B．9 C．10 D．10.5【思路点拨】由题意得S△B1A2B2S△B2A3B【解题过程】解：由已知得：△B∴B1设A1B1,A2∴∴∴S∴S同理有S△∴图中三个阴影三角形面积之和为：S△故选D．8．（2022·河南·辉县市第一初级中学九年级期中）如图，在△ACD中，AD=6，BC=5，AC2=ABAB+BC，且△DAB∼△DCA，若AD=3AP，点Q是线段AB上的动点，则A．72 B．62 C．52【思路点拨】根据相似三角形的性质得到ADBD=CDAD，得到BD=4，AB=BD=4，过B作BH⊥AD于H，根据等腰三角形的性质得到AH=12AD=3，根据勾股定理得到BH=【解题过程】解：∵ΔDAB∼ΔDCA，∴AD∴6解得：BD=4（负值舍去），∵ΔDAB∼ΔDCA，∴AC∴AC=3∵AC∴3∴AB=4，∴AB=BD=4，过B作BH⊥AD于H，∴AH=1∴BH=A∵AD=3AP,AD=6，∴AP=2，当PQ⊥AB时，PQ的值最小，∵∠AQP=∠AHB=90°,∠PAQ=∠BAH∴ΔAPQ∼ΔABH，∴AP∴2∴PQ=7故选：A．9．（2022·全国·九年级课时练习）如图，已知直线AB：y=553x+55分别交x轴、y轴于点B、A两点，C（3，0），D、E分别为线段AO和线段AC上一动点，BE交y轴于点H，且AD＝CE，当BD＋BE的值最小时，则H点的坐标为（

A．（0，4） B．（0，5） C．（0，552） D．（0，55【思路点拨】作EF⊥BC于F，设AD=EC=x．利用勾股定理可得BD+BE=32+(55-x)2+(6-38x)2+(558x)2=32+(x-55)2+(x-94)2+【解题过程】解：由题意A（0，55），B（－3，0），C（3，0），∴AB=AC=8，作EF⊥BC于F，设AD=EC=x．∵EF∥AO，∴CECA∴EF=558x，CF=∵OH∥EF，∴OHEF∴OH=55x∴BD+BE=32+=32+(x-要求BD+BE的最小值，相当于在x轴上找一点M（x，0），使得点M到K（55，3），G（94，3设G关于x轴的对称点G′（94，-3554），直线G′K的解析式为y=则有94解得k=7555+768799，b∴直线G′K的解析式为y=7555+768799当y=0时，x=1728+76855∴当x=1728+76855768+7555时，MG此时OH=55x16-x=42240+1728∴当BD+BE的值最小时，则H点的坐标为（0，4），故选A．10．（2022·河南周口·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，∠ADC的平分线与AB交于E，点F在DE的延长线上，∠BFE=90°，连接AF、CF，CF与AB交于G，有以下结论：①AE=BC；②AF=CF；③BF2=FG•FC；④EG•AE=BG•AB。其中正确的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【思路点拨】①只要证明△ADE为等腰直角三角形即可②只要证明△AEF≌△CBF（SAS）即可；③假设BF2=FG•FC，则△FBG∽△FCB，推出∠FBG=∠FCB=45°，由∠ACF=45°，推出∠ACB=90°，显然不可能，故③错误，④由△ADF∽△GBF，可得ADBG=DFBF=DFEF，由EG∥CD，推出EFDF=EGCD=EGAB，推出ADBG【解题过程】解：①DE平分∠ADC，∠ADC为直角，∴∠ADE=12×90°=45°∴△ADE为等腰直角三角形，∴AD=AE，又∵四边形ABCD矩形，∴AD=BC，∴AE=BC②∵∠BFE=90°，∠BEF=∠AED=45°，∴△BFE为等腰直角三角形，∴则有EF=BF又∵∠AEF=∠DFB+∠ABF=135°，∠CBF=∠ABC+∠ABF=135°，∴∠AEF=∠CBF在△AEF和△CBF中，AE=BC，∠AEF=∠CBF，EF=BF，∴△AEF≌△CBF（SAS）∴AF=CF③假设BF2=FG•FC，则△FBG∽△FCB，∴∠FBG=∠FCB=45°，∵∠ACF=45°，∴∠ACB=90°，显然不可能，故③错误，④∵∠BGF=180°-∠CGB，∠DAF=90°+∠EAF=90°+（90°-∠AGF）=180°-∠AGF，∠AGF=∠BGC，∴∠DAF=∠BGF，∵∠ADF=∠FBG=45°，∴△ADF∽△GBF，∴ADBG∵EG∥CD，∴EFDF∴ADBG=ABGE，∵∴EG•AE=BG•AB，故④正确，故选C．评卷人得分二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，满分15分）11．（2022·湖北·前川三中一模）在△ABC中，AB=24，AC=18，D是AC上一点，AD=6，在AB上取一点E，使A、D、E三点组成的三角形与△ABC相似，则AE的长为_______.【思路点拨】△ABC与△ADE相似要分成两种情况来进行讨论，一种是△ADE∼△ACB，则需△ADE∼△ACB；一种是△ADE∼△ACB，则需△ADE∼△ACB，无论哪一种情况，将已知线段的长度代入后比例式后都能较容易的求出AE的值．【解题过程】解：∵∠A=∠A，∴分△ADE∼△ACB或△ADE∼△ABC两种情况讨论:①如图(1)，当△ADE∼△ACB时，有△ADE∼△ACB，即AE24=6②如图(2)，当△ADE∼△ACB时，有△ADE∼△ACB，即624=AE18，解得AE=92.综上所述，12．（2022·全国·九年级课时练习）如图，△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC，点D为BC边上的点，点E为线段CD上一点，且CE＝1，AB＝23，∠DAE＝60°，则DE的长为_________．【思路点拨】利用含30°角的直角三角形的性质及图形的相似可求DE的长．【解题过程】解：如图，作AF⊥BC于F，作EG⊥AC于G．∵△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝AC．∠B＝∠C＝30°．在Rt△CEG中，∠C＝30°．∴EG＝12CE＝12，CG＝∴AG＝23﹣32＝3∵AF⊥BC．∴∠AFC＝90°．∴AF＝12AC＝3∵∠DAE＝60°＝∠FAC．∴∠DAF＝∠EAG．∵∠AFD＝∠AGE＝90°．∴△ADF∽△AGE．∴AFAG=DF∴DF＝13由勾股定理得：AE2＝AG2+EG2＝AF2+EF2．∴EF2＝（332）2+（12）2﹣（3）2∴EF＝2．DE＝2+13＝7故答案为：7313．（2022·全国·九年级专题练习）如图△ABC中，E、F为BC的三等份点，M为AC的中点，BM与AE、AF分别交于G、H，则BG:GH:HM=________．【思路点拨】首先过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，由M是AC的中点与D、E是BC的三等分点，根据平行线分线段成比例定理，即可求得MK=NK=12BE=12EF=12EC，然后根据比例的性质，即可求得BG：GH【解题过程】解：过点M作MK∥BC，交AF，AE分别于K，N，∵M是AC的中点，∴MNEC∵E、F是BC的三等分点，∴BE=EF=FC，∴MN=2NK，∵MHBH＝MK∴MH=14BH，MG=BG设MH=a，BH=4a，BG=GM=52∴GH=GM-MN=32∴BG：GH：HM=52a：32a：a=5：故答案为5：3：2．14．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在△ABC中，AB=AC=5，BC=2．在BC边上有100个不同的点P1，P2，P3，¨¨¨¨，P100，过这100个点分别作△ABC的内接矩形P1E1F1G1，P2E2F2G【思路点拨】首先过点A作AH⊥BC于H，由AB=AC=5，BC=2，可求得BH的长，由勾股定理可求得AH的长，又由四边形P1E1F1G1是矩形，可得E1P1=F1G1，E1F1=P1G1，E1P1⊥BC，然后由平行线分线段成比例定理，即可求得E1P1=2BP1，F1G1=2CG1，则可求得L1的值，同理可求得L2，……，L100的值，继而求得答案．【解题过程】解：过点A作AH⊥BC于H，∵AB=AC=5，BC=2．∴BH=12BC=1∴AH=AB2∵四边形P1E1F1G1是矩形，∴E1P1=F1G1，E1F1=P1G1，E1P1⊥BC，∴E1P1∥AH，∴E1P1∴E1P1=2BP1，同理：F1G1=2CG1，∴矩形P1E1F1G1的周长为：E1P1+E1F1+P1G1+F1G1=2P1G1+2BP1+2CG1=2（P1G1+BP1+CG1）=2BC=4，∴L1=4，同理：L2=L3=…=L100=4，∴L1+L2+……+L100=4×100=400．故答案为400．15．（2022·新疆·模拟预测）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，D是边AC的中点，CE⊥BD于E．若F是边AB上的点，且使△AEF为等腰三角形，则AF的长为_____．【思路点拨】由相似三角形的性质可求AE的长，BE的长，分三种情况讨论，由等腰三角形的性质和勾股定理可求解．【解题过程】解：∵∠ACB＝90°，AC＝BC＝2，∴AB＝2∵∠DCB＝90°，CE⊥BD，∴△CDE∽△BDC，∴CD2＝DE•DB，∵AD＝CD，∴AD2＝DE•DB，∴ADDE∵∠ADE=∠ADB，∴△DAE∽△DBA；∴AEAB∴AE＝210∵DE＝55，BD＝5∴BE＝45如图1中，若AE＝AF时，∴AF＝210如图2中，若FE＝AE时，过点E作EJ⊥AB于J，∵JE2＝AE2﹣AJ2＝EB2﹣BJ2，∴4025﹣AJ2＝8025﹣（22﹣AJ）∴AJ＝42∵AE＝EF，EJ⊥AF，∴AF＝2AJ＝82如图3中，若EF＝AF时，过点E作EJ⊥AB于J，∵EJ2＝AE2﹣AJ2＝EF2﹣FJ2，∴4025﹣3225＝AF2﹣（425﹣∴AF＝22综上所述：AD的长为2105或82故答案为：2105或82评卷人得分三．解答题（本大题共9小题，满分55分）16．（2022·湖南·长沙市华益中学三模）已知：△ABC在直角坐标平面内，三个顶点的坐标分别为A（0，3）、B（3，4）、C（2，2）（正方形网格中每个小正方形的边长是一个单位长度）．(1)画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是；(2)以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1；(3)四边形AA2C2C的面积是平方单位．【思路点拨】（1）将△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，如图所示，找出所求点坐标即可；（2）以点B为位似中心，在网格内画出△A2B2C2，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，找出所求点坐标即可；（3）根据四边形的面积等于两个三角形面积之和解答即可．【解题过程】解：（1）如图所示，画出△ABC向下平移4个单位长度得到的△A1B1C1，点C1的坐标是（2，﹣2）；（2）如图所示，以B为位似中心，使△A2B2C2与△ABC位似，且位似比为2：1，∴A2B=2AB，根据A2∴C2B=2CB，根据C2点B2与点B连接A2C2、A2B、C2B，即可得到△（3）四边形AA2C2C的面积是＝SA故答案为：7.517．（2022·全国·九年级专题练习）如图，是由5×6个边长为1的小正方形网格组成，每个小正方形的顶点称为格点，△ABC的三个顶点A，B，C均在格点上，请仅用无刻度的直尺，按下列要求画图．（1）在图1中，画出平行四边形ABCD，并直接写出它的面积；（2）在图2中，画出△ABC的中线AE；（3）在图3中，在AC上找点F，连结BF，使△ABF的面积是△CBF的面积12【思路点拨】（1）作出AD//BC且AD=BC的线段即可；（2）找出BC中点E，连接AE即可；（3）作相似三角形且相似比为1:3，找出AC边的三等分点F，连接BF，即可得△ABF的面积是△CBF的面积12【解题过程】解：（1）因为平行四边形对边平行且相等，故可如图1所示图像，即为平行四边形ABCD，AB=12+32AB∴△ABC是直角三角形，∴S（2）由网格可作矩形BMCN，根据矩形的对角线互相平分，如图2所示E为BC中点，连接AE，则AE为△ABC的中线；（3）如图3所示，作△ACJ，使AJ=3，取AJ的3等分点H，作HK//JC交AC于点F，则△AFH∼△ACJ，且相似比1:3，∴AC=3AF，∴AF=1∵△ABF与△CBF同高，∴△ABF的面积是△CBF的面积1218．（2022·全国·九年级单元测试）如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是高，BE平分∠ABC．BE分别与AC，CD相交于点E，F．（1）求证：△AEB∽△CFB；（2）若CE＝5，EF=25，BD＝6．求AD【思路点拨】（1）根据两角对应相等两三角形相似即可判断；（2）解直角三角形求出FH，CH，利用相似三角形的性质求出DF，AD即可．【解题过程】解：（1）证明：∵∠ACB=90°，∴∠ACD+∠BCD=90°，∵CD为AB边上的高，∴∠ADC=90°，∴∠A+∠ACD=90°，∴∠A=∠BCD，∵BE是∠ABC的平分线，∴∠ABE=∠CBE，∴ΔAEB∽ΔCFB．（2）如图，作CH⊥EF于H．∵∠BFD+∠ABE=90°，∠CEB+∠CBE=90°，∠ABE=∠CBE，∴∠BFD=∠CEB，∵∠BFD=∠CFE，∴∠CEF=∠CFE，∴△CEF为等腰三角形，∴CE=CF，∵CH⊥EF，∴点H为EF的中点，∴EH=FH=5∴CH=E∵∠BFD=∠CFH,∠CHF=∠BDF=90°，∴ΔBFD∽ΔCFH，∴DFHF∴DF5∴DF=3，CD=CF+DF=8，∵∠ADC=CDB=90°，∵∠ECH=∠FCH,∠FBD=∠CBF，根据ΔBFD∽ΔCFH，即∠FCH=∠FBD，∴∠ACD=∠CBD，∴ΔACD∽ΔCBD，∴ADCD∴AD8∴AD=3219．（2022·全国·九年级课时练习）如图1，在矩形ABCD中，P为CD边上一点（DP＜CP），∠APB=90°．将△ADP沿AP翻折得到△AD′P，PD′的延长线交边AB于点M，过点B作BN∥MP交DC于点N．（1）求证：AD2=DP•PC；（2）请判断四边形PMBN的形状，并说明理由；（3）如图2，连接AC，分别交PM，PB于点E，F．若DPAD=12，求【思路点拨】（1）过点P作PG⊥AB于点G，易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，所以AD=PG，DP=AG，GB=PC，易证△APG∽△PBG，所以PG2=AG•GB，即AD2=DP•PC；（2）DP∥AB，所以∠DPA=∠PAM，由题意可知：∠DPA=∠APM，所以∠PAM=∠APM，由于∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB，从而可知PM=MB=AM，又易证四边形PMBN是平行四边形，所以四边形PMBN是菱形；（3）由于DPAD=12，可设DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，从而求出GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，由于CP∥AB，从而可证△PCF∽△BAF，△PCE∽△MAE，从而可得AFAC＝59，AEAC＝513【解题过程】解：（1）过点P作PG⊥AB于点G，∴易知四边形DPGA，四边形PCBG是矩形，∴AD=PG，DP=AG，GB=PC∵∠APB=90°，∴∠APG+∠GPB=∠GPB+∠PBG=90°，∴∠APG=∠PBG，∴△APG∽△PBG，∴PGAG∴PG2=AG•GB，即AD2=DP•PC；（2）∵DP∥AB，∴∠DPA=∠PAM，由题意可知：∠DPA=∠APM，∴∠PAM=∠APM，∵∠APB-∠PAM=∠APB-∠APM，即∠ABP=∠MPB∴AM=PM，PM=MB，∴PM=MB，又易证四边形PMBN是平行四边形，∴四边形PMBN是菱形；（3）由于DPAD可设DP=k，AD=2k，由（1）可知：AG=DP=k，PG=AD=2k，∵PG2=AG•GB，∴4k2=k•GB，∴GB=PC=4k，AB=AG+GB=5k，∵CP∥AB，∴△PCF∽△BAF，∴CFAF∴AFAC又易证：△PCE∽△MAE，AM=12AB=5∴CEAE∴AEAC∴EF=AF-AE=59AC-513AC=20∴EFAE20．（2022·河南·漯河市第三中学九年级期末）（1）如图1，正方形ABCD和正方形DEFG（其中AB>DE），连接CE，AG交于点H，请直接写出线段AG与CE的数量关系，位置关系；（2）如图2，矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°<α<360°），连接AG，CE交于点H，（1）中线段关系还成立吗？若成立，请写出理由；若不成立，请写出线段AG，CE的数量关系和位置关系，并说明理由；（3）矩形ABCD和矩形DEFG，AD＝2DG＝6，AB＝2DE＝8，将矩形DEFG绕点D逆时针旋转α（0°<α<360°），直线AG，CE交于点H，当点E与点H重合时，请直接写出线段AE的长．【思路点拨】（1）证明△GDA≌△EDC（SAS），即可求解；（2）根据两边对应成比例且夹角相等证明△GDA∽△EDC，即可求解；（3）①当点E在线段AG上时，如图3，证明△DGP∽△EGD，列比例式可得AE的长；②当点G在线段AE上时，如图4，同理可解．【解题过程】解：（1）在正方形ABCD和正方形DEFG中，∠ADC＝∠EDG＝90°，∴∠ADE+∠EDG＝∠ADC+∠ADE，即∠ADG＝∠CDE，∵DG＝DE，DA＝DC，∴△GDA≌△EDC（SAS），∴AG＝CE，∠GAD＝∠ECD，∵∠COD＝∠AOH，∴∠AHO＝∠CDO＝90°，∴AG⊥CE，故答案为：相等，垂直；（2）不成立，CE＝2AG，AG⊥CE，理由如下：由（1）知，∠EDC＝∠ADG，∵AD＝2DG，AB＝2DE，AD＝DE，∴DGAD=1∴DGAD∴△GDA∽△EDC，∴ADDC=AGEC=1∵△GDA∽△EDC，∴∠ECD＝∠GAD，∵∠COD＝∠AOH，∴∠AHO＝∠CDO＝90°，∴AG⊥CE；（3）①当点E在线段AG上时，如图3，在Rt△EGD中，DG＝3，ED＝4，则EG＝5，过点D作DP⊥AG于点P，∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，∴△DGP∽△EGD，∴DGEG=PG∴PD＝125，PG＝9则AP=A则AE＝AG﹣GE＝AP+GP﹣GE＝6215+95﹣5②当点G在线段AE上时，如图4，过点D作DP⊥AG于点P，∵∠DPG＝∠EDG＝90°，∠DGP＝∠EGD，同理得：PD＝125，AP＝6由勾股定理得：PE＝42则AE＝AP+PE＝6215+165综上，AE的长为62121．（2022·安徽合肥·二模）如图，为了探究某种类型矩形ABCD的性质，数学项目学习小组在BC边上取一点E，连接DE．经探究发现：当DE平分∠ADC时，将△ABE沿AE折叠至△AFE，点F恰好落在DE上．据此解决下列问题：(1)求证：△AFD≌(2)如图，延长CF交AE于点G，交AB于点H．①求证：AH⋅AF=AG⋅CF；②求GHGF【思路点拨】（1）根据ED平分∠ADC，有∠ADE=∠EDC=45°，即∠DEC=45°，根据翻折的性质，有△ABE≅△AFE，即AB=AF，∠AFD=∠B=90°，则有AF=AB=DC，∠FAD=∠ADE=45°，即可得△AFD≅△DCE；（2）①过点F作FM⊥BC于M点，过E点作EN∥AB交HC于点N，设EC=a，BE=b，易得△EFM、△AFD、△DCE均是等腰直角三角形，即可求出EM、MF、EF，根据翻折的性质有AF=AB，即可得a=(2+1)b，利用勾股定理可求出AE、NC、CF，再根据EN∥AB、FM∥AB，即可求出EN、FM、BH、HF，进而求出AG、GE、AH，即有AH⋅AF=ab=AG⋅CF；【解题过程】解：（1）∵ED平分∠ADC，∴∠ADE=∠EDC=45°，∴∠DEC=45°，根据翻折的性质，有△ABE≅△AFE，∴AB=AF，∠AFD=∠B=90°，∴AF=AB=DC，∠FAD=∠ADE=45°，∴△AFD≅△DCE，（2）过点F作FM⊥BC于M点，过E点作EN∥AB交HC于点则有∠FME=∠NEC=90°=∠FMC，设EC=a，BE=b，∴AD=BC=BE+EC=a+b，∵在（1）有，∴∠ADE=∠EDC=∠DEC=∠FAD=45°，∴△EFM、△AFD、△DCE均是等腰直角三角形，∴DC=EC=AB=a，AF=FD=12AD=a+b2，ED=2DC=2∴EF=ED-FD=2a-a+b2=a-b∴EM=FM=EF2=a-b∵根据翻折的性质有AF=AB，∴a=a+b2，即∵BE+EM=b+a-b2=a+b2=EC-EM=a-a-b2∴M点为BC中点，∵FM⊥BC，∴FM∥∴F为HC中点，即FM为△HBC的中位线，∴BH=2FM=2×a-b2=a-b，HF=CF∴AH=AB-BH=a-(a-b)=b，∵MC=a+b2，FM=a-b∴在Rt△FCM中，有CF=F在Rt△ABE中，有AE=A∵EN∥∴ECBC=EN还有GEAG=EN∴AE-AGAG=EN∵AH⋅AF=b×a=ab，AG⋅CF=又∵a=(2∴AG⋅CF=b(a+b)即有AH⋅AF=AG⋅CF，结论得证；②在①基础上进行计算，在Rt△ENC中，NC=N在Rt△BHC中，HC=B∴HN=HC-NC=2∵EN∥∴AHEN=HG即：GN=∴GH=HN-GN=b2∴GF=HF-GH=CF-GH=a2∴GHGF∵a=(2∴GHGF22．（2022·全国·九年级期末）如图，在矩形ABCD中，AD＝kAB（k＞0），点E是线段CB延长线上的一个动点，连接AE，过点A作AF⊥AE交射线DC于点F．（1）如图1，若k＝1，则AF与AE之间的数量关系是；（2）如图2，若k≠1，试判断AF与AE之间的数量关系，写出结论并证明；（用含k的式子表示）（3）若AD＝2AB＝4，连接BD交AF于点G，连接EG，当CF＝1时，求EG的长．【思路点拨】（1）证明△EAB≌△FAD（AAS），由全等三角形的性质得出AF＝AE；（2）证明△ABE∽△ADF，由相似三角形的性质得出ABAD（3）①如图1，当点F在DA上时，证得△GDF∽△GBA，得出GFGA=DFBA=12，求出AG＝2173②如图2，当点F在DC的延长线上时，同理可求出EG的长．【解题过程】解：（1）AE＝AF．∵AD＝AB，四边形ABCD矩形，∴四边形ABCD是正方形，∴∠BAD＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠EAB＝∠FAD，∴△EAB≌△FAD（AAS），∴AF＝AE；故答案为：AF＝AE．（2）AF＝kAE．证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠BAD＝∠ABC＝∠ADF＝90°，∴∠FAD+∠FAB＝90°，∵AF⊥AE，∴∠EAF＝90°，∴∠EAB+∠FAB＝90°，∴∠EAB＝∠FAD，∵∠ABE+∠ABC＝180°，∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝180°﹣90°＝90°，∴∠ABE＝∠ADF．∴△ABE∽△ADF，∴ABAD∵AD＝kAB，∴ABAD∴AEAF∴AF＝kAE．（3）解：①如图1，当点F在DA上时，∵四边形ABCD是矩形，∴AB＝CD，AB∥CD，∵AD＝2AB＝4，∴AB＝2，∴CD＝2，∵CF＝1，∴DF＝CD﹣CF＝2﹣1＝1．在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，∴AF＝AD∵DF∥AB，∴∠GDF＝∠GBA，∠GFD＝∠GAB，∴△GDF∽△GBA，∴GF∵AF＝GF+AG，∴AG＝2∵△ABE∽△ADF，∴AEAF∴AE＝12AF=在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，∴EG＝AE②如图2，当点F在DC的延长线上时，DF＝CD+CF＝2+1＝3，在Rt△ADF中，∠ADF＝90°，∴AF＝AD∵DF∥AB，∵∠GAB＝∠GFD，∠GBA＝∠GDF，∴△AGB∽△FGD，∴AGFG∵GF+AG＝AF＝5，∴AG＝2，∵△ABE∽△ADF，∴AEAF∴AE=1在Rt△EAG中，∠EAG＝90°，∴EG＝AE综上所述，EG的长为5176或23．（2022·浙江·九年级专题练习）如图，在四边形ABCD中，∠A＝∠C＝90°，DE，BF分别平分∠ADC，∠ABC，并交线段AB，CD于点E，F（点E，B不重合）．在线段BF上取点M，N（点M在BN之间），使BM＝2FN．当点P从点D匀速运动到点E时，点Q恰好从点M匀速运动到点N．记QN＝x，PD＝y，已知y=-65x+12，当Q为BF（1）判断DE与BF的位置关系，并说明理由；（2）求DE，BF的长；（3）若AD＝6．①当DP＝DF时，通过计算比较BE与BQ的大小关系；②连结PQ，当PQ所在直线经过四边形ABCD的一个顶点时，求所有满足条件的x的值．【思路点拨】（1）推出∠AED=∠ABF，即可得出DE∥BF；（2）求出DE=12，MN=10，把y=254代入y=-65x+12，解得：x=6，得到NQ=6，得出QM=4，由FQ=QB，BM=2FN（3）①连接EM并延长交BC于点H，易证四边形DFME是平行四边形，得出DF=EM，求出∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∠MEB=∠FBE=30°，得出∠EHB=90°，DF=EM=BM=4，MH=2，EH=6，由勾股定理得BH=23，BE=43,当DP=DF时，求出BQ=223，得到②（Ⅰ）当PQ经过点D时，y=0，则x=10；（Ⅱ）当PQ经过点C时，由FQ∥DP，得出△CFQ∽△CDP，则FQDP=CFCD（Ⅲ）当PQ经过点A时，由PE∥BQ，得出△APE∽△AQB，则PEBQ=AEAB，根据勾股定理得AE=63,则AB=103，x=【解题过程】解：（1）DE与BF的位置关系为：DE∥BF，理由如下：如图1所示：∵∠A=∠C=90°，∴∠ADC+∠ABC=360°-（∠A+∠C）=180°，∵DE、BF分别平分∠ADC、∠ABC，∴∠ADE=1∴∠ADE+∠ABF=1∵∠ADE+∠AED=90°，∴∠AED=∠ABF，∴DE∥BF；（2）令x=0，得y=12，∴DE=12，令y=0，得x=10，∴MN=10，把y=254代入解得：x=6，即NQ=6，∴QM=10-6=4，∵Q是BF中点，∴FQ=QB，∵BM=2FN，∴FN+6=4+2FN，解得：FN=2，∴BM=4，∴BF=FN+MN+MB=16；（3）①连接EM并延长交BC于点H，如图2所示：∵FM=2+10=12=DE，DE∥BF，∴四边形DFME是平行四边形，∴DF=EM，∵AD=6，DE=12，∠A=90°，∴∠DEA=30°，∴∠DEA=∠FBE=∠FBC=30°，∴∠ADE=60°，∴∠ADE=∠CDE=∠FME=60°，∴∠DFM=∠DEM=120°，∴∠MEB=180°-120°-30°=30°，∴∠MEB=∠FBE=30°，∴∠EHB=180°-30°-30°-30°=90°，DF=EM=BM=4，∴MH=1∴EH=4+2=6，由勾股定理得：BH=BM∴BE=EH当DP=DF时，-65解得：x=302∴BQ=14-x=14-203∵223BQ＞BE；②（Ⅰ）当PQ经过点D时，如图3所示：y=0，则x=10；（Ⅱ）当PQ经过点C时，如图4所示：∵BF=16，∠FCB=90°，∠CBF=30°，CF=12CD=8+4=12，∵FQ∥DP，∴△CFQ∽△CDP，∴FQDP=∴2+x-6解得：x=103（Ⅲ）当PQ经过点A时，如图5所示：∵PE∥BQ，∴△APE∽△AQB，∴PEBQ=根据勾股定理得：AE=D∴AB=63+4∴12--解得：x=143由图可知，PQ不可能过点B；综上所述，当x=10或x=103或x=143时，24．（2022·全国·九年级专题练习）如图，在平面直角坐标系中，正方形ABOC的两直角边分别在坐标轴的正半轴上，分别过OB，OC的中点D，E作AE，AD的平行线，相交于点F，已知OB=8．（1）求证：四边形AEFD为菱形．（2）求四边形AEFD的面积．（3）若点P在x轴正半轴上(异于点D)，点Q在y轴上，平面内是否存在点G，使得以点A，P，Q，G为顶点的四边形与四边形AEFD相似？若存在，求点P的坐标；若不存在，试说明理由．【思路点拨】（1）结合正方形性质求得△ACE≌△ABD，从而得到AE=AD，根据邻边相等的平行四边形是菱形证明即可．（2）连接DE，求出△ADE的面积即可解决问题．（3）首先证明AK=3DK，①当AP为菱形的一边，点Q在x轴的上方，有图2