专题12.3 解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路之三大思想(解析版)

专题12.3解题技巧专题：判定三角形全等的基本思路之三大思想【考点导航】目录TOC\o"1-3"\h\u【典型例题】 1【基本思想一已知两边对应相等解题思路】 1【基本思想二已知两角对应相等解题思路】 3【基本思想三已知一边一角对应相等解题思路】 7【过关检测】 10【典型例题】【基本思想一已知两边对应相等解题思路】基本解题思路：已知两边对应相等：①找夹角对应相等（SAS）；②找第三边对应相等（SSS）.例题：（2023·云南昭通·统考二模）如图，点A，F，C，D在同一直线上，，，．求证：．

【答案】见解析【分析】根据平行线的性质可得，再由，可得，再根据全等三角形的判定即可得出结论．【详解】证明：，，，，在和中，．【点睛】本题考查平行线的性质和全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．【变式训练】1．（2023·云南昆明·统考二模）如图，点A，D，B，E在一条直线上，，，．求证：．

【答案】见解析【分析】由可推得，运用SSS判定两三角形全等，进而根据全等性质得到对应角相等．【详解】证明：∵，∴，即：在和中∵∴，∴【点睛】本题考查三角形全等的判定方法SSS，熟练相关的判定公理是解题的关键．2．（2023春·上海徐汇·七年级上海市第二初级中学校考阶段练习）如图，与交于点，且．试说明：．【答案】见详解【分析】由题意易得，然后可证，进而根据全等三角形的性质可求证．【详解】解：∵，∴，∴，即，∵，∴，∴，∵，，∴，∴．【点睛】本题主要考查全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的性质与判定是解题的关键．【基本思想二已知两角对应相等解题思路】基本解题思路：已知两角对应相等：①找夹边对应相等（ASA）；②找非夹边的边对应相等（AAS）.例题：（2022·云南昭通·八年级期末）如图，已知：∠1=∠2，∠C=∠D．求证：BC=BD．【答案】证明见解析．【解析】【分析】先根据“AAS”直接判定三角形全等，然后根据全等三角形对应边相等，可以证明BC=BD．【详解】证明：在△ABC和△ABD中，∴△ABC≌△ABD（AAS），∴BC=BD．【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．【变式训练】1．（2023·湖南长沙·八年级期中）如图，∠A=∠D，∠B=∠C，BF=CE，求证：AB=DC．【答案】证明见解析．【解析】【分析】利用AAS证明△ABE≌△DCF，即可得到结论．【详解】证明：∵BF=CE∴BF+EF=CE+EF，即：BE=CF，在△ABE和△DCF中，∴△ABE≌△DCF(AAS)，∴AB=DC．【点睛】此题考查了全等三角形的判定及性质，熟记全等三角形的判定定理是解题的关键．2．（2022·四川泸州·八年级期末）已知：．求证：．【答案】见解析【解析】【分析】证明∠CAD=∠BAE；直接运用SAS公理，证明△CAD≌△EAB，即可解决问题．【详解】证明：如图，∵，∴，即，∵在和中，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质问题，解题的关键是准确找出图形中隐含的相等关系．3．（2023·云南文山·统考二模）如图，，，，求证：．

【答案】见解析【分析】先证明，再利用“”证明，即可作答．【详解】∵，∴，即．在与中，，∴，∴．【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，利用利用“”证明是解题的关键．4．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，点D在上，．(1)添加条件：____________（只需写出一个），使；(2)根据你添加的条件，写出证明过程．【答案】(1)(2)见解析【分析】（1）根据已知条件可得，，结合三角形全等的判定条件添加条件即可；（2）结合（1）的条件，根据三角形全等的判定条件添加条件进行证明即可．【详解】（1）添加的条件是：,故答案为；（2）∵∴，∵∴，即，又∴【点睛】本题主要考查了三角形全等的判定，确定出三角形全等判定条件是解答本题的关键．【基本思想三已知一边一角对应相等解题思路】基本解题思路：（1）有一边和该边的对角对应相等：找另一角对应相等(AAS).（2）有一边和改边的领角对应相等：①找夹该角的另一边对应相等(SAS);②找另一角对应相等(AAS或ASA).例题：（2023·湖南邵阳·统考二模）如图，与相交于点E，已知，，求证：．

【答案】见解析【分析】先证，再证即可；【详解】解：由题可知，，，，，，，，即，，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练运用全等三角形的判定方法是解题关键．【变式训练】1．（2023·陕西榆林·校考模拟预测）如图，已知，，，求证：．

【答案】见解析【分析】证明即可．【详解】证明：∵，∴.在和中，∴.∴．【点睛】本题考查了平行线的性质，三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定是解题的关键．2．（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，已知点B，E，C，F在一条直线上，．求证：．

【答案】证明见解析【分析】利用证明，得到，即可证明．【详解】证明：∵，∴和均为直角三角形．在和中，，∴．∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，平行线的判定，熟知全等三角形的判定定理是解题的关键，全等三角形的判定定理有．3．（2023·江苏苏州·统考三模）如图，，交于点，，．

(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）直接根据即可求证；（2）根据三角形的内角和求出，根据得出，最后根据三角形的外角定理，即可求解．【详解】（1）证明：在和中，，∴；（2）解：∵，，∴，由（1）可得，∴，∴．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定方法，全等三角形对应边相等，以及三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和．【过关检测】一、解答题1．（2023春·陕西榆林·七年级校考期末）如图，点，分别在线段，上，，，和相等吗？请说明理由.

【答案】相等，理由见解析【分析】根据全等三角形的判定定理直接证明，再利用其性质即可证明．【详解】解：相等，证明如下：在与中，因为，，，所以，所以．【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键．2．（2023·吉林·统考中考真题）如图，点C在线段上，在和中，．求证：．

【答案】证明见解析【分析】直接利用证明，再根据全等三角形的性质即可证明．【详解】解：在和中，∴∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．3．（2018秋·广东潮州·八年级统考期中）已知是上一点，，，．求证：

【答案】见解析【分析】首先由得到，根据证明三角形全等即可．【详解】∵，∴．在和中，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．4．（2023春·陕西西安·七年级西安市第二十六中学校考阶段练习）如图，在中，于点D，于点E，与交于点F，且．

(1)求证：；(2)若，，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）先证明，则，即可根据全等三角形的判定定理“”证明；（2）先由求得，再根据全等三角形的对应边相等证明，则．【详解】（1）∵，，∴．∴．∴．在和中，∴．（2）∵，∴．∵，，∴．∴．∴．【点睛】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，正确地找到全等三角形的对应边和对应角并且通过推理证明三角形全等的条件是解题的关键．5．（2023春·广东梅州·七年级校考阶段练习）如图，已知．

(1)全等吗？为什么？(2)连接，那么相等吗？为什么？【答案】(1)全等，见解析(2)相等，见解析【分析】（1）由平行线的性质可得，可知，利用即可证明全等；（2）由可得，利用即可证明，即可证明结论．【详解】（1）全等．∵（已知），∴（两直线平行，内错角相等），∴（等角的补角相等），在和中，∴．（2）相等．连接，

∵（已知），∴（等式性质），即，在和中，∴，∴（全等三角形的对应边相等）．【点睛】本题考查全等三角形的判定及性质，熟练掌握判断三角形全等的方法是解决问题的关键．6．（2023秋·四川广元·八年级统考期末）如图，相交于点O，，．(1)求证：；(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由“”可证，再根据全等三角形的性质即可得解；（2）由全等三角形的性质可得，再根据角的和差即可求解．【详解】（1）证明：（1）∵，∴和都是直角三角形，在和中，，∴，∴；（2）解：在中，，∴，由（1）可知，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，直角三角形的两个锐角互余，利用“”证明是本题的关键．7．（2023·湖北黄石·黄石十四中校联考模拟预测）如图，，垂足分别为D，E．

(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据垂直定义求出，根据等式性质求出，根据证明；（2）根据全等三角形的对应边相等得到，再根据，即可解答．【详解】（1）证明：，，，，，，；（2）解：，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，垂线的定义等知识点的应用，解此题的关键是推出证明△ADC和全等的三个条件．8．（2023春·四川达州·八年级校考阶段练习）如图，于点E，．

(1)求证∶；(2)判断与的位置关系，并说明理由．【答案】(1)证明见解析(2)，理由见解析【分析】（1）利用证明与全等即可得到；（2）由（1）得，进而由可得，从而得出．【详解】（1）∵∴在与中∴（）∴（2）理由如下：由（1）可知，∵，∴，即．【点睛】此题主要考查学生对全等三角形的判定及性质的理解及运用，选择恰当的判定条件证明三角形全等是解题的关键．9．（2022秋·七年级单元测试）如图，已知，，，在同一直线上，，，．

(1)与全等吗？请说明理由；(2)写出图中其余两对全等的三角形．【答案】(1)与全等，理由见解析(2)，．【分析】（1）根据条件可得，根据等式的性质可得，加上可证明；（2）利用可判定，和；【详解】（1）解：与全等，理由：∵，

∴，∵，∴，∴，在和中，，∴．（2）解：还有两对，，，∵，∴，∵，∴，∴在和中，，∴；∵，∴，∴．【点睛】本题考查三角形全等的判定和性质，判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、．10．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，在中，是边上一点，是边的中点，过点作，交的延长线于点．(1)求证：；(2)若，求的长．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据平行可知角，再根据中点和对顶角相等可知全等三角形；（2）根据全等三角形的性质可知，再根据线段的和差关系可以求出的长．【详解】（1）解：∵是边的中点，∴，∵，∴，∴在和中，∴∴．（2）解：∵，∴，∵是边的中点，∴，∵，∴，∵，∴，∵，∴，∴．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定，中点的定义等相关知识点，熟记全等三角形的性质和判定是解题的关键．11．（2023春·全国·七年级专题练习）如图，交的延长线于，于，若，．(1)求证：平分；(2)猜想、与之间的数量关系，并说明理由．【答案】(1)见解析(2)，理由见解析【分析】（1）求出，根据全等三角形的判定定理得出，推出，根据角平分线性质得出即可；（2）根据全等三角形的性质得出，，即可求出答案．【详解】（1）解：证明：，，，在和中，，，，，，平分；（2）．理由如下：，，在和中，，，，．【点睛】本题考查了全等三角形的性质和判定的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，，全等三角形的对应边相等，对应角相等．12．（2023春·广东深圳·七年级深圳大学附属中学校联考期中）如图，在四边形中，，连接，点在上，连接，若，．(1)求证：．(2)若，，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）由，得到再利用证明，从而得到结论；（2）由，，求得，因为，得到，再根据，利用三角形内角和求得最后结果．【详解】（1）证明：，，在和中，，．（2），，，，，，．【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，平行线的性质，三角形内角和定理等知识，证明是解题的关键．13．（2023秋·山东聊城·八年级统考期末）如图，点在线段上，，，，延长分别交、于点、．(1)求证：(2)若，求的度数．【答案】(1)见解析(2)【分析】（1）根据证明与全等，即可得出结论；（2）先由全等三角形的性质得，再由三角形的外角性质得，然后由三角形的外角性质即可得答案．【详解】（1）解：证明：，，在与中，，，；（2），，，．【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质、平行线的性质以及三角形的外角性质等知识；熟练掌握平行线的性质，证明三角形全等是解题的关键．14．（2023秋·北京海淀·八年级校考阶段练习）如图1，在等腰直角三角形中，，，点在边上，连接，，，连接，．(1)求证：；(2)点关于直线的对称点为，连接，．①补全图形并证明；②试探究，当，，三点恰好共线时．的度数为___________．【答案】(1)见解析(2)①见解析；②【分析】（1）先判断出，进而判断出，即可得出结论；（2）①先判断出，再根据（1）得出即可得出结论；②先判断得出，进而得出，再判断出，进而得出，最后求出即可得出结论．【详解】（1）证明：，，∴∠BAD=∠CAE，，（SAS），，（2）补全图形如图所示，连接，点关于直线的对称点为，，（SSS）由（1）知②如图，连接，由（1）知在中，，点，关于对称，由（1）知．故答案为：．【点睛】本题主要考查了轴对称，同角的余角相等，平行线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，属于几何变换的综合题，判断出是解题关键．15．（2023秋·