专题03 圆周角定理（知识串讲+6大考点）原卷版

专题03圆周角定理考点类型知识串讲（一）圆周角定理（1）圆周角概念：顶点在圆上，并且两边都和圆相交的角叫做圆周角．（2）圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．（二）圆周角的推论①推论１：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；在同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等．②推论2：直径所对的网周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．③推论3：如果三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形．（三）圆的内接四边形（1）圆内接四边形概念：如果一个多边形的所有顶点都在同一个圆上，这个多边形叫做圆内接多边形。这个圆叫做这个多边形的外接圆。（2）性质：圆内接四边形的对角互补，一个外角等于其内对角．考点训练考点1：圆周角概念典例1：（2022秋·江西赣州·九年级统考期末）下列图形中的∠ABC是圆周角的是（

）A．B．C．D．【变式1】（2022秋·山东潍坊·九年级统考期中）下列圆中既有圆心角又有圆周角的是（

）．A．B． C． D．【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，△ABC内接于圆，弦BD交AC于点P，连接AD．下列角中，AB所对圆周角的是（

）A．∠APB B．∠ABD C．∠ACB D．∠BAC【变式3】（2022春·九年级课时练习）如图，四边形ABCD的顶点A，B，C在圆上，且边CD与该圆交于点E，AC，BE交于点F.下列角中，弧AE所对的圆周角是(

)A．∠ADE B．∠AFE C．∠ABE D．∠ABC考点2：圆周角定理——求角度典例2：（2022秋·广东梅州·九年级校考阶段练习）如图，线段AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于E，如果∠CAB=20°，那么∠AOD等于（

）

A．120° B．140° C．150° D．160°【变式1】（2023·江苏·九年级假期作业）如图，△ABC内接于⊙O，E是BC的中点，连接BE，OE，AE，若∠BAC=70°，则∠OBE的度数为（）A．70° B．65° C．60° D．55°【变式2】（2023·云南·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点．若∠BOC=66°，则∠A=（

）

A．66° B．33° C．24° D．30°【变式3】（2023·黑龙江牡丹江·统考中考真题）如图，A，B，C为⊙O上的三个点，∠AOB=4∠BOC，若∠ACB=60°，则∠BAC的度数是（

）

A．20° B．18° C．15° D．12°考点3：同弧（等弧）所对的圆周角相等典例3：（2023·山西·统考中考真题）如图，四边形ABCD内接于⊙O,AC,BD为对角线，BD经过圆心O．若∠BAC=40°，则∠DBC的度数为（

）

A．40° B．50° C．60° D．70°【变式1】（2023·福建泉州·统考模拟预测）如图，点F是圆O上的点，点B、C是劣弧AD的三等分点，若∠BOC=44°，则∠AFD的度数是（

A．65° B．66° C．67° D．68°【变式2】（2023·北京·校考模拟预测）如图，⊙O的直径AB⊥CD，垂足为E，∠A=25°，连接CO并延长交⊙O于点F，连接FD，则∠F的度数为（

）

A．25° B．45° C．50° D．65°【变式3】（2023·广东·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，∠BAC=50°，则∠D=（

）

A．20° B．40° C．50° D．80°考点4：直径所对圆周角90°典例4：（2023·辽宁营口·统考中考真题）如图所示，AD是⊙O的直径，弦BC交AD于点E，连接AB，AC，若∠BAD=30°，则∠ACB的度数是（

A．50° B．40° C．70° D．60°【变式1】（2023·山东威海·统考二模）如图，等边△ABC的边长为4，点F在△ABC内运动，运动过程始终保持∠AFB=90°，则线段CF长度的最大值与最小值的差约为（

）

A．4-23 B．2 C．23-2【变式2】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，AB是半圆O的直径，以弦为痕折叠AC后，恰好过点O则∠OAC等于（

）

A．10° B．25° C．30° D．14°【变式3】（2023·江苏徐州·校考三模）如图，矩形ABCD的宽为10，长为12，E是矩形内的动点，AE⊥BE，则CE最小值为（

）

A．9 B．8 C．7 D．6考点5：圆内接四边形性质典例5：（2023·山西太原·校联考三模）如图，四边形ABCD内接于⊙O，连接OA，OC．若AD∥BC，∠BAD=70°，则∠AOC的度数为（

A．110° B．120° C．130° D．140°【变式1】（2023·陕西西安·校考模拟预测）如图，A，B，C是⊙O上的三点，其中点B是弧AC的三等分点，且弧AB大于弧BC，若∠A=50°，则∠ABC的度数是（

）

A．100° B．110° C．120° D．130°【变式2】（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）如图，点A、B、C、D在⊙O上，∠D=120°，AB=AC=6，则点O到BC的距离是（）

A．3 B．3 C．23 D．33【变式3】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，BE是⊙O的直径，连接AE．若∠BCD=2∠BAD，则∠DAE的度数是（

）

A．20° B．30° C．40° D．45°考点6：圆周角定理综合典例6：（2023·江苏·九年级假期作业）如图，AC，BD是

(1)判断四边形ABCD的形状，并说明理由．(2)若⊙O的直径为8，∠AOB=120°，求四边形ABCD的周长和面积．【变式1】（2023·浙江·九年级假期作业）如图，AC、BD为圆内接四边形ABCD的对角线，且点D为(1)如图1，若∠CDB=60°、直接写出AD，AB与(2)如图2、若∠CDB=90°、AC平分∠BCD，BC=4，求AD的长度．【变式2】（2023·湖北武汉·统考一模）如图，点A、P、B、C是⊙O上的四个点，∠APC=∠CPB=60°．

(1)判断△ABC的形状，并证明；(2)若CP=6,BC=27，求S【变式3】（2023·内蒙古·统考中考真题）如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，D是AC上一点，P是AB延长线上一点，连接AD,DC,CP．

(1)求证：∠ADC-∠BAC=90°；（请用两种证法解答）(2)若∠ACP=∠ADC，⊙O的半径为3，CP=4，求AP的长．同步过关一、单选题1．（2022秋·江苏淮安·九年级统考期中）已知：如图A、B是⊙O上两点中，若∠AOB=90∘，点C在⊙O上，则A．45∘ B．40∘ C．35∘2．（2022秋·九年级课时练习）如图，⊙O的直径AB=10，E在⊙O内，且OE=4，则过E点所有弦中，长度为整数的条数为（）A．4 B．6 C．8 D．103．（2022秋·内蒙古鄂尔多斯·九年级校考期中）如图，在⊙O中，AB为直径，点C为圆上一点，将劣弧AC沿弦AC翻折交AB于点D，连结CD．若点D与圆心O不重合，∠BAC=24°，则∠DCA的度数为（）A．40° B．41° C．42° D．43°4．（2022秋·河南安阳·九年级统考期中）如图，ABCD是⊙O的内接四边形，若∠C=2∠A，则∠A的度数是（

）A．30° B．45° C．60° D．不确定5．（2023·河南焦作·统考二模）如图，以量角器的直径AB为斜边画直角三角形ABC，量角器上点D对应的读数是100°，则∠BCD的度数为（

）A．30° B．40° C．50° D．80°6．（2023·内蒙古包头·二模）如图，直径为10的⊙A经过点C和点O，点B是y轴右侧⊙A优弧上一点，∠OBC=30°，则点C的坐标为（

A．0,5 B．0,53 C．0,527．（2023春·九年级单元测试）如图，P是⊙O外一点，PAB、PCD都是⊙O的割线．如果PA=4，AB=2，PC=CDA．3 B．23 C．33 D．438．（2022秋·河南商丘·九年级统考期中）如图，AB是⊙O的直径，点C，D，E在⊙O上，若∠ACE＝20°，则∠BDE的度数为（

）A．90° B．100° C．110° D．120°9．（2023·湖北黄石·统考模拟预测）如图，若AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠ABD=56°，则∠BCD=（

）A．112° B．68° C．56° D．34°10．（2022·江苏盐城·一模）如图，⊙O是△ABC的外接圆，半径为32，若BC=6，则∠A的度数为（

A．120° B．135° C．150° D．160°二、填空题11．（2022秋·九年级课时练习）如图，点A、B、C在⊙O上，∠AOC＝60º，则∠ABC＝º．12．（2022秋·九年级单元测试）如图所示，已知⊙O的半径为5，弦AB，CD所对的圆心角分别是∠AOB，∠COD．若∠AOB与∠COD互补，弦CD＝6，则弦AB的长为．13．（2022秋·浙江金华·九年级校联考阶段练习）若圆中一条弦长等于半径，则这条弦所对的圆周角的度数为．14．（2022秋·浙江台州·九年级校考阶段练习）如图，将大小两块量角器的零度线对齐，且小量角器的中心O2恰好在大量角器的圆周上。设它们圆周的交点为P，且点P在小量角器上对应的刻度为75∘，那么点P在大量角器上对应的刻度为15．（2022秋·天津·九年级校考期中）如图，在⊙O中，弦CD与直径AB相交于点P，∠ABC＝65°．则∠CDB的大小等于．16．（2023春·江苏宿迁·九年级校联考阶段练习）如图，矩形ABCD，AB=4，BC=8，E为AB中点，F为直线BC上动点，B、G关于EF对称，连接AG，点P为平面上的动点，满足∠APB=12∠AGB，则DP三、解答题17．（2022秋·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的一条弦，OD⊥AB，垂足为C，交⊙O点D．点E在⊙O上．（1）若∠AOC＝40°，求∠DEB的度数；（2）若OC＝3，OA＝5，求AB的长．18．（2023·陕西·三模）如图，在△ABC中，∠C=90°，请用尺规作图法求作∠CPB=∠A，使得顶点P在AB的垂直平分线上．19．（2023春·九年级课时练习）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于点E，点M在⊙O上，MD恰好经过圆心O，连接MB．(1)若CD=16，BE=4，求⊙O的直径；(2)若∠M=∠D，求∠D的度数．20．（2022秋·福建龙岩·九年级统考期末）已知四边形ABCD的四个顶点都在⊙O上，对角线AC和BD交于点E．（1）若∠BAD和∠BCD的度数之比为2:3，求∠BAD的度数；（2）若AB=3，AD=5，∠BAD=60°，点C为劣弧BD的中点，求弦AC的长．21．（2022秋·广西桂林·九年级校联考期末）如图，△ABC中，∠A的角平分线交△ABC的外接圆于点D，DE⊥AB于E，DF⊥AC交AC的延长线于F，求证：BE＝CF．22．（2022秋·江苏盐城·九年级校联考期中）图1为一枚宋代古钱币，从中抽象出等大的方孔圆形（如图2），蕴含着“天圆地方”的思想，这一铸钱形制在中国古代延用了二千多年．(1)用数学的眼光观察，图2．A．是轴对称图形B．是中心对称图形C．既是轴对称图形又是中心对称图形(2)请你用直尺，在图2中作出圆心O（不写作法，保留作图痕迹）；(3)古钱币的直径是鉴定其真伪的重要依据，已知这种钱币真品的直径为3.6cm，允许误差±0.2cm，直径超出此范围的钱币为伪品．如图3，可用一把三角尺测量该钱币的直径，将直角顶点A放在上，三角尺的两直角边与圆分别交于点B、C，测得AB＝2cm，AC＝3cm，判断这枚古钱币的真伪，并说明理由．23．（2022秋·浙江宁波·九年级校联考阶段练习）如图1，已知AC,BD是⊙O内两条互相垂直的弦，连接AD、(1)如图2，若AC=6,BD=8，则四边形ABCD的面积是_____________．(2)如图3，若AC是⊙O的直径，BC=2,AD=4，求⊙O的半径．(3)在（2）的情况下，若AC,BD均不是直径（如图1），⊙O的半径会发生变化吗？若发生变化，求出这个半径值；若不发生变化，请利用图1给出证明．24．（2022秋·湖北咸宁·九年级统考期末）问题提出：如图1，在Rt△ABC中AC=BC，∠ACB=90°，点D为AB上一点，连接CD，为探究AD2，B探究解决：将图1中CD绕着点C顺时针方向旋转90°，得到CE，连接