考点07 二次函数与一元二次方程和不等式的关系-解析版

考点07二次函数与一元二次方程和不等式的关系1抛物线与x轴的交点情况的分析二次函数y＝ax2+bx+c（a，b，c是常数，a≠0）1.抛物线与x轴的交点的横坐标是一元二次方程ax2+bx+c=0的解.2.若已知二次函数y＝ax2+bx+c的函数值为，求自变量的值，就是解一元二次方程ax2+bx+c=.3.二次函数y=ax2+bx+c的图像与x轴的两个交点的横坐标x1、x2①有两个交点⇔Δ>0⇔抛物线与②有一个交点（顶点在x轴上）⇔Δ=0⇔抛物线与③没有交点⇔Δ<0⇔抛物线与二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标与一元二次方程ax2+bx+c=0的根关系：抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)与x轴的公共点的个数一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的情况b2-4ac>0有两个有两个不相等的实数根b2-4ac=0有一个有两个相等的实数根b2-4ac<0没有公共点没有实数根2抛物线与y轴的交点情况图像与y轴的交点即是x＝0的情况求y的值，也就是c的值。3已知函数值求自变量的值只需要将对应的函数值的值带入函数解析式即可求出自变量的值4根据图像确定方程根的情况二次函数y=ax2+bx+c的图象和x轴交点的横坐标即是一元二次方程ax2+bx+c=0的根。5图像法确定一元二次方程的近似根图像与x轴的交点纵坐标为0，在这个点的左右的点的纵坐标的值必然是一正一负，根据条件，离这个交点的最近的左右两个点的横坐标即是对应的方程的近似值。6二次函数与不等式（组）1.涉及一元二次不等式的，可以利用二次函数图像图象求解2.两个函数的值的大小比较，上方图象的函数值大于下方图象的函数值.考点1抛物线与x轴的交点考点2抛物线与y轴的交点情况考点3已知函数值求自变量的值考点4根据图像确定方程根的情况考点5图像法确定一元二次方程的近似根考点6二次函数与不等式（组）考点7根据不等式确定自变量或函数值的范围考点8求x轴与抛物线交点的截线长考点1抛物线与x轴的交点1．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知抛物线与x轴只有一个交点，则m的值是（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】利用判别式的意义得到，然后解关于的方程即可．【详解】解：∵抛物线与x轴只有一个交点，∴有两个相等的实数根，∴，解得．故选A．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点：把求二次函数，，是常数，与轴的交点坐标问题转化为解关于的一元二次方程．决定抛物线与轴的交点个数．2．（2023秋·山西长治·九年级统考期末）如图是二次函数（，a，b，c为常数）的部分图象，该图象的对称轴是直线，与轴的一个交点的坐标是，则方程的解是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据抛物线的对称性可知抛物线与x轴的两个交点坐标关于对称轴对称，进一步可求出另一交点，在根据函数图象与x轴的交点的横坐标为方程的两个根，即可解答．【详解】解：抛物线的对称轴为直线，与x轴的一个交点是，设另一个交点为：，即有：，解得：，抛物线与x轴的另一个交点是，方程的两根是，．故答案为：B．【点睛】本题考查了二次函数的对称性及二次函数与一元二次方程的性质，结合图象掌握函数的性质是解题的关键．3．（2023秋·广东湛江·九年级校考期末）抛物线与轴交点的坐标为（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】D【分析】通过解方程即可得到抛物线与轴交点的坐标．【详解】解：当时，，解得：，，抛物线与轴交点的坐标为，，故选：D．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点，解题的关键是求抛物线与轴交点的坐标问题转化成解关于的一元二次方程．4．（2023春·浙江杭州·九年级校考阶段练习）已知关于x的二次函数的与x轴的交点坐标是和，其中a，b，c，d均为常数，则关于x的二次函数与x轴的交点坐标是（）A．和 B．和C．和 D．和【答案】A【分析】将化为一般式，根据根与系数的关系可得，，将化为一般式，可得，，即可求解．【详解】解：∵二次函数的与x轴的交点坐标是和，∴方程的两个根分别为c、d，∴，，∴∵，设方程的两根为，，∴，，∴，分别为a、b，∴该函数与x轴的交点坐标和，故选：A．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数与x轴的交点横坐标即为对应方程的根，掌握一元二次方程根与系数的关系．考点2抛物线与y轴的交点情况5．（2022秋·浙江温州·九年级校考阶段练习）抛物线与轴的交点坐标是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】令，得出，即可求解．【详解】解：令，得出，∴抛物线与轴的交点坐标是，故选：B．【点睛】本题考查了抛物线与轴的交点问题，令是解题的关键．6．（2022秋·浙江杭州·九年级校考阶段练习）在平面直角坐标系中，已知函数（其中是常数）的图象与轴交于正半轴，则可能是（）A．1 B．0 C． D．【答案】A【分析】根据解析式求出抛物线与轴的交点，再根据图象与轴交点在轴正半轴即可判断．【详解】解：令，则，抛物线与轴的交点为，函数（其中是常数）的图象与轴交于正半轴，，故选：A．【点睛】本题考查二次函数图象与系数的关系，关键是掌握二次函数的性质．7．（2022秋·浙江杭州·九年级校联考期中）已知二次函数的图象不经过第二象限，则实数的取值范围是（

）A． B．或 C． D．【答案】B【分析】由于二次函数的图象不经过第二象限，根据二次项系数知道抛物线开口向下，由此可以得出关于b的不等式（组），解不等式（组）即可求解．【详解】解：由题意得或，解得或，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数图象和系数的关系，二次函数与不等式的关系，熟练掌握二次函数的图象及性质，抓住对称轴、函数与y轴的交点的特点是解题的关键．8．（2022春·九年级课时练习）二次函数的图象交x轴于两点，交y轴于点C，则的面积为(

)A．6 B．4 C．3 D．1【答案】A【分析】根据题意，令分别等于0，求得的坐标，进而根据三角形面积公式即可求解．【详解】解：如图，在中，当时，解得：当时，，即，∴故的面积为：．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，求得的坐标是解题的关键．考点3已知函数值求自变量的值9．（2022秋·全国·九年级专题练习）二次函数图象经过点，且图象对称轴为直线，则方程的解为（

）A． B．，C．， D．，【答案】D【分析】根据二次函数图象的对称性结合题意，可知该二次函数的图象必经过点(3，-1)，即可直接得出的解为，．【详解】∵二次函数的图象经过点(1，-1)，且图象对称轴为直线x=2，∴该二次函数的图象必经过点(3，-1)．∴的解为，．故选：D．【点睛】本题考查二次函数图象的对称性，一元二次方程和二次函数的关系．根据二次函数图象的对称性求出该二次函数必经过的另一个点的坐标是解答本题的关键．10．（2020·湖北武汉·校考模拟预测）二次函数y＝x2+bx的对称轴为x＝1．若关于x的一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜3的范围内有解，则t的取值范围是（）A．﹣1≤t＜15 B．3≤t＜15 C．﹣1≤t＜8 D．3＜t＜15【答案】A【分析】先根据抛物线的对称轴求出b的值，从而可得二次函数的解析式和顶点坐标，进一步即可求出当x＝﹣3和x＝3时的函数值，再根据x2+bx﹣t＝0的解为y＝x2+bx与直线y＝t在﹣3＜x＜3的内的交点横坐标和二次函数的性质解答即可．【详解】解：∵抛物线的对称轴为x＝1，∴x＝﹣＝1，∴b＝﹣2，∴二次函数的解析式为：y＝x2﹣2x，∴其顶点坐标为（1，﹣1）．当x＝﹣3时，y＝9+6＝15，x＝3时，y＝9﹣6＝3．∵抛物线的开口向上，∴当时，，当时，，∵x2+bx﹣t＝0的解为y＝x2+bx与直线y＝t在﹣3＜x＜3的内的交点横坐标，∴当﹣1≤t＜15时，一元二次方程x2+bx﹣t＝0（t为实数）在﹣3＜x＜3的范围内有解．故选：A．【点睛】本题考查了二次函数的性质和二次函数与一元二次方程的关系，属于常考题型，熟练掌握二次函数的性质、将方程解的问题转化为两个函数的交点是解题的关键．11．（2023秋·浙江·九年级专题练习）二次函数y＝x2+2x﹣7的函数值是8，那么对应的x的值是（）A．3 B．5 C．﹣3和5 D．3和﹣5【答案】D【分析】根据题意，把函数的值代入函数表达式，然后解关于x的方程即可．【详解】解：根据题意，得x2+2x﹣7＝8，即x2+2x﹣15＝0，解得x＝3或﹣5，故选D．【点睛】本题考查关键将二次函数转化为求一元二次方程，再进行求解．12．（2021秋·广西柳州·九年级校考期中）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2+6与y轴交于点A，过点A与x轴平行的直线交抛物线y＝2x2于B、C两点，则BC的长为（）A． B． C．2 D．2【答案】D【详解】∵抛物线y=ax2+6与y轴交于点A，∴A（0，6），∵当y=6时，2x2=6，∴x=，∴B点坐标（-，6），C点坐标（，6），∴BC=-（-）=2，故选：D.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，平行于x轴的直线上两点间的距离等，解题的关键是先确定出点A的坐标.考点4根据图像确定方程根的情况13．（2022秋·广西贺州·九年级校考期末）二次函数的图象如图所示，则下列结论中不正确的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由图象可知，，，，，则，然后对各选项进行判断即可．【详解】解：由图象可知，，，，，∴，∴A、C、D正确，故不符合要求；B错误，故符合要求；故选：B．【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程．解题的关键在于从图象中获取正确的信息．14．（2023·四川成都·校考三模）如图，二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限．下列说法正确的是（

）A． B．当时，的值随值的增大而减小C． D．函数值有最小值【答案】B【分析】采用数形结合的方法解题，根据抛物线的开口方向，对称轴的位置判断、、的符号，把两根关系与抛物线与轴的交点情况结合起来分析问题．【详解】解：抛物线的开口方向下，．故A错误；二次函数的图象与轴交于和原点，且顶点在第二象限，对称轴，当时，的值随值的增大而减小，故B正确；的图象与轴有两个交点，，故C不正确；，对称轴，时，函数值有最大值，故D不正确；故选：B．【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，解题的关键是掌握二次函数的增减性，对称性，根据图象确定各项系数的符号以及式子的正负．15．（2023秋·全国·九年级专题练习）二次函数的图象与x轴的交点情况是（

）A．有1个交点 B．有2个交点 C．无交点 D．无法确定【答案】B【分析】根据一元二次方程的判别式即可解答．【详解】解：令，，∵，∴，∴，∴二次函数的图象与x轴有两个交点，故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程的关系及一元二次方程的判别式，解题的关键是把函数图象的交点问题转换成方程的解的问题．16．（2023·全国·九年级专题练习）关于x的二次函数图象与x轴只有一个交点，则a的值为（

）A．5 B．2 C．1 D．1或5【答案】A【分析】根据二次函数与x轴只有一个交点，则关于x的一元二次方程只有一个实数根，据此求解即可．【详解】解：∵关于x的二次函数图象与x轴只有一个交点，∴关于x的一元二次方程只有一个实数根，∴，解得，故选A．【点睛】本题主要考查了抛物线与x轴的交点问题，熟练掌握二次函数与一元二次方程之间的关系是解题的关键．考点5图像法确定一元二次方程的近似根17．（2023秋·河南驻马店·九年级统考期末）二次函数为常数的图象如图所示，则方程有一正实数根和一负实数根的条件是（

）

A． B． C． D．【答案】A【分析】利用函数图象，观察直线与抛物线的交点情况，从而可判断方程的解的情况．【详解】解：观察图象可得，当时，直线与抛物线有两个交点，一个交点在轴的左边，一个交点在轴的右边，∴方程有一正实数根和一负实数根故选：A．【点睛】本题考查了二次函数与一元二次方程，解题的关键是由二次函数的图象与的交点位置确定交点横坐标的范围．18．（2023秋·浙江·九年级专题练习）已知二次函数（，，，为常数）的与的部分对应值如表：判断方程的一个解的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】仔细看表，可发现的值和最接近，再看对应的的值即可得．【详解】解：由表可以看出，当取与之间的某个数时，，即这个数是的一个根，的一个解的取值范围为，故选：D．【点睛】本题考查图像法求一元二次方程的近似根，对题目的正确估算是建立在二次函数图像和一元二次方程关系正确理解的基础上．19．（2023秋·广东惠州·九年级校考阶段练习）根据表格中的对应值，判断方程（，a，b，c为常数）的一个解的范围是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据（，a，b，c为常数）,观察表格数据，首先确定随着x取值变化，的变化情况；然后确定当时，x的取值即可．【详解】由表格中的数据看出，∴x应取对应的范围为．故选：B．【点睛】本题考查了用函数法求一元二次方程的近似根，解题的关键是找到由正变为负时，x的取值即可．20．（2022秋·湖南衡阳·九年级校考期中）根据下列表格的对应值，判断方程（为常数）的一个解x的范围是（）3.233.243.253.260.020.030.09A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的图象与x轴的交点就是方程的根，再根据函数的增减性即可判断方程一个解的范围．【详解】解：函数的图象与x轴的交点就是方程的根，函数的图象与x轴的交点的纵坐标为0；由表中数据可知：在与之间，∴对应的x的值在3.23与3.24之间，即．故选：B．【点睛】此题主要考查方程的近似解，解题的关键是熟知方程近似解的判定方法．考点6二次函数与不等式（组）21．（2023秋·全国·九年级专题练习）二次函数的图象如图所示，下列说法正确的是（

）

A．， B．C． D．时，不等式一定成立【答案】D【分析】根据抛物线开口方向和抛物线的对称轴位置对A进行判断；根据抛物线与轴的交点个数对B进行判断；根据抛物线对称轴对C进行判断；根据抛物线与轴的交点的坐标对D进行判断．【详解】解：抛物线开口向下，，抛物线的对称轴在轴右侧，，，所以不符合题意；抛物线与轴有个交点，，所以B不符合题意；由图可知：抛物线的对称轴是直线，，，所以C不符合题意；由对称可知：抛物线与轴的交点为：，，又由图象可知：当时，抛物线位于轴的上方，当时，不等式一定成立，所以D符合题意；故选：D．【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系：对于二次函数，二次项系数决定抛物线的开口方向和大小，当时，抛物线向上开口；当时，抛物线向下开口；一次项系数和二次项系数共同决定对称轴的位置：当与同号时即，对称轴在轴左侧；当与异号时即，对称轴在轴右侧．简称：左同右异；常数项决定抛物线与轴交点：抛物线与轴交于．抛物线与轴交点个数由决定：时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴有个交点；时，抛物线与轴没有交点．22．（2023秋·全国·九年级专题练习）已知，抛物线的图象如图所示，根据图象回答，当时，x的取值范围是（

）

A． B．或 C． D．【答案】A【分析】由图象可得：当时，或，可得当时，即图象在直线的下方，从而可得x的取值范围是．【详解】解：由图象可得：当时，或，∴当时，x的取值范围是；故选A【点睛】本题考查的是利用二次函数的图象解不等式，熟练的利用数形结合的方法解题是关键．23．（2023·全国·九年级专题练习）二次函数的图像如图所示，则函数值时，x的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】写出函数图象在x轴上方部分的x的取值范围即可．【详解】解：由图可知，当或时，．故选：D．【点睛】本题考查了二次函数与不等式，此类题目，利用数形结合的思想求解是关键．24．（2022秋·浙江杭州·九年级校考期中）如图，抛物线和直线，当时，x的取值范围是（）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】先求出两图象的交点为，可得当或时，抛物线的图象位于直线的下方，即可求解．【详解】解：联立得：，解得：，即两图象的交点为，∴当或时，抛物线的图象位于直线的下方，∴当时，x的取值范围是或．故选：B【点睛】此题考查求两个函数图象的交点坐标，根据函数图象确定自变量x的取值范围，正确解出交点坐标及正确理解函数图象是解题的关键．考点7根据不等式确定自变量或函数值的范围25．（2023·江苏镇江·校联考一模）在二次函数图像上的两点、，若，则t的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】将、代入二次函数求解即可．【详解】将、代入二次函数，∴，，∵，∴，∴．故选：B．【点睛】本题考查了二次函数与不等式．26．（2022春·九年级课时练习）在平面直角坐标系中，已知点A（4，2），B（4，4）抛物线L：y＝﹣（x﹣t）2+t（t≥0），当L与线段AB有公共点时，t的取值范围是（

）A．3≤t≤6 B．3≤t≤4或5≤t≤6C．3≤t≤4，t＝6 D．5≤t≤6【答案】B【分析】根据题意知线段AB平行于y轴，先根据二次函数经过点A与点B构建方程，进而得出二次函数与线段交点解集即可．【详解】解：根据题意知：∵点，，故对于二次函数与线段有公共点时，即当x=4时，，即，当时，解得，当时，解得，∴的解集为或；故选：B．【点睛】此题考查二次函数与线段交点问题，主要理解函数图像与线段有交点的真实含义，难度一般，主要是计算．27．（2023·江西吉安·校考模拟预测）已知抛物线，过，且对称轴是直线，则当时，自变量的取值范围是（

）A． B． C． D．或【答案】D【分析】根据抛物线开口方向及抛物线与x轴交点横坐标求解．【详解】∵a>0，∴抛物线开口向上，∵抛物线经过点(-1，0)，抛物线对称轴为直线x=1，∴抛物线经过点(3，0)，∴当y>0时，x<-1或x>3.故选：D．【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点问题，解题关键是掌握二次函数与方程及不等式的关系，掌握二次函数的性质.28．（2022春·九年级课时练习）抛物线y＝-x2+ax+3的对称轴为直线x＝2．若关于x的方程-x2+ax+3﹣t＝0（t为实数）在﹣1＜x＜3的范围内有实数根，则t的取值范围是（）A．6≤t＜7 B．t＜7 C．-2≤t＜6 D．-2＜t≤7【答案】D【分析】根据对称求得的值，根据给出的对称轴求出函数解析式为，将一元二次方程的实数根看作函数与函数的交点问题，再由的范围确定y的取值范围，然后确定t的值即可．【详解】解：∵抛物线的对称轴为直线x＝2．∴解得关于x的方程-x2+4x+3﹣t＝0在﹣1＜x＜3的范围内有实数根，一元二次方程的实数根看作函数与函数的交点问题方程在的范围内有实数根，当时，∵抛物开口朝下，函数在时有最大值7，对称轴是，，即在的范围，当时的函数值最小当时，t的取值范围是故选：D．【点睛】本题考查二次函数的图象及性质；能够将方程的实数根问题转化为二次函数与直线的交点问题是解题关键．考点8求x轴与抛物线交点的截线长29．（2023·广东梅州·统考一模）已知抛物线与一次函数交于两点，则线段的长度为（

）A． B． C． D．20【答案】A【分析】根据题意，联立方程组求解，消元得到，利用根与系数的关系，再运用两点距离公式变形求出长度即可得到答案．【详解】解：抛物线与一次函数交于两点，联立，消元得，，故选：A【点睛】本题考查平面直角坐标系中求线段长问题，涉及函数图像交点问题、一元二次方程根与系数的关系、两点之间距离公式及完全平方公式等知识，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系及两点之间距离公式是解决问题的