专题2.24 轴对称的最值问题（直通中考）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（苏科版）

专题2.24轴对称的最值问题（直通中考）【要点回顾】（1）垂直线段最短问题；（2）将军饮马问题；（3）造桥选址问题．一、单选题1．（2020·山东济南·中考真题）如图，在中，AB＝AC，分别以点A、B为圆心，以适当的长为半径作弧，两弧分别交于E，F，作直线EF，D为BC的中点，M为直线EF上任意一点．若BC＝4，面积为10，则BM+MD长度的最小值为（）A． B．3 C．4 D．52．（2019·河北·统考中考真题）如图，在小正三角形组成的网格中，已有个小正三角形涂黑，还需涂黑个小正三角形，使它们与原来涂黑的小正三角形组成的新图案恰有三条对称轴，则的最小值为（）A． B． C． D．3．（2017·天津·中考真题）如图，在中，，是的两条中线，是上一个动点，则下列线段的长度等于最小值的是（）A． B． C． D．4．（2015·辽宁营口·统考中考真题）如图，点P是∠AOB内任意一点，OP=5cm，点M和点N分别是射线OA和射线OB上的动点，△PMN周长的最小值是5cm，则∠AOB的度数是（

）．A． B． C． D．5．（2020·安徽·统考三模）如图，四边形中，，垂直的角平分线于，为的中点，连接．则图中两个阴影部分面积之差的最大值（

）A． B． C． D．6．（2023·河北沧州·统考模拟预测）如图，将折叠，使边落在边上，展开后得到折痕l与交于点P，且点P到的距离为，点Q为上任意一点，则的最小值为（

）

A． B． C． D．7．（2022·广东梅州·统考一模）如图，边长为6的等边三角形中，D在上，E为对称轴上的一个动点，连接，作等边三角形，则在点E运动过程中，的最小值为（）A．6 B．3 C．2 D．1.58．（2023·湖北黄冈·校考二模）如图，已知点D，E分别在的边，上，若，，由作图痕迹可得，的最小值是（

)A．2 B．3 C．6 D．9．（2019·山东德州·校联考一模）如图，等腰三角形的底边长为4，面积是16，腰的垂直平分线分别交边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则周长的最小值为（

）A．6 B．8 C．10 D．1210．（2023·安徽合肥·校联考三模）如图，在中，，若D是边上的动点，则的最小值是（

）A．6 B．8 C．10 D．12二、填空题11．（2020·湖北·中考真题）如图，D是等边三角形外一点．若，连接，则的最大值与最小值的差为．12．（2022·江苏镇江·统考中考真题）如图，有一张平行四边形纸片，，，将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，折痕为，若点在边上，则长的最小值等于．13．（2009·山东淄博·中考真题）已知，点P为内一点，点A为OM上一点，点B为ON上一点，当的周长取最小值时，的度数为．14．（2023·江苏宿迁·统考一模）如图，已知等边，点D为平面内任意一点，且，，则的最大值是．15．（2021·河南南阳·统考一模）如图，已知△ABC为等腰直角三角形，AC＝BC＝6，∠BCD＝15°，P为直线CD上的动点，则｜PA－PB|的最大值为．16．（2021·陕西西安·交大附中分校校考模拟预测）如图，在四边形ABCD中，AB＝6，AD＝BC＝3，E为AB边中点，且∠CED＝120°，则边DC长度的最大值为．17．（2023·山西太原·太原市实验中学校考一模）如图，在中，，点为中点，的面积是10．的垂直平分线分别交边于两点，在线段上存在一点，使三点构成的的周长最小，则周长的最小值为．18．（2023·湖南郴州·统考二模）如图，等边中，于D，，点P、Q分别为上的两个定点且，在上有一动点E使最短，则的最小值为．三、解答题19．（2019·河北·统考中考真题）如图，△ABC和△ADE中，AB=AD=6，BC=DE，∠B=∠D=30°，边AD与边BC交于点P（不与点B，C重合），点B，E在AD异侧，I为△APC的内心．（1）求证：∠BAD=∠CAE；（2）设AP=x，请用含x的式子表示PD，并求PD的最大值；（3）当AB⊥AC时，∠AIC的取值范围为m°＜∠AIC＜n°，分别直接写出m，n的值．20．（2021·河南南阳·统考三模）如图（1）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，，点D为边BC上一点（不与点B，C重合），过点D作DE⊥AB于点E，取AD的中点M，连接CM，ME．（1)填空：CM与ME的数量关系为，∠CME的度数为．（2）将△BDE绕点B顺时针旋转，旋转角为a（0°＜a＜360°），请判断（1）中的结论是否仍然成立．若成立，请就图（2）给出证明；若不成立，请说明理由；（3）将△BDE绕点B在平面内自由旋转，且BC＝3，BD＝1，请直接写出线段CM的最大值和最小值．21．（2018·河北石家庄·统考一模）如图，在△ABC中，已知AB＝AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC＝70°，则∠NMA的度数是度．（2）若AB＝8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．22．（2022·广东佛山·佛山市南海区石门实验学校校考模拟预测）如图，△ABC是等边三角形，D为BC边上一个动点（D与B、C均不重合），AD=AE，∠DAE=60°，连接CE．（1）求证：△ABD≌△ACE；（2）若AB=2，当四边形ADCE的周长取最小值时，求BD的长．23．（2020·河北石家庄·石家庄市第四十中学校考模拟预测）如图，和中，，，，边与边交于点（不与点，重合），点，在异侧，为的内心．

（1）求证：；（2）设，用含的式子表示为___________，则求的最大值为_______．（3）当时，的取值范围为，则________，________．24．（2023·湖北襄阳·校考一模）如图，在△ABC中，已知AB=AC，AB的垂直平分线交AB于点N，交AC于点M，连接MB．（1）若∠ABC=70°，则∠MBC的度数是度；（2）若AB=8cm，△MBC的周长是14cm．①求BC的长度；②若点P为直线MN上一点，请你直接写出△PBC周长的最小值．参考答案1．D【分析】由基本作图得到得EF垂直平分AB，则MB＝MA，所以BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，利用两点之间线段最短可判断MA+MD的最小值为AD，再利用等腰三角形的性质得到AD⊥BC，然后利用三角形面积公式计算出AD即可．【详解】解：由作法得EF垂直平分AB，∴MB＝MA，∴BM+MD＝MA+MD，连接MA、DA，如图，∵MA+MD≥AD（当且仅当M点在AD上时取等号），∴MA+MD的最小值为AD，∵AB＝AC，D点为BC的中点，∴AD⊥BC，∵∴∴BM+MD长度的最小值为5．故选：D．【点拨】本题考查的是线段的垂直平分线的性质，利用轴对称求线段和的最小值，三角形的面积，两点之间，线段最短，掌握以上知识是解题的关键．2．C【分析】由等边三角形有三条对称轴可得答案．【详解】如图所示，n的最小值为3．故选C．【点拨】本题考查了利用轴对称设计图案，解题的关键是掌握常见图形的性质和轴对称图形的性质．3．B【详解】试题分析：在中，，AD是的中线，可得点B和点D关于直线AD对称，连结CE，交AD于点P，此时最小，为EC的长，故选B.4．B【详解】作点P关于OA对称的点P1，作点P关于OB对称的点P2，连接P1P2，与OA交于点M，与OB交于点N，由线段垂直平分线性质可得出△PMN的周长就是P1P2的长，此时△PMN的周长最小．∵OP=5，△PMN周长的最小值是5cm，∴OP2=OP1=OP=5．又∵P1P2=5，∴OP1=OP2=P1P2，∴△OP1P2是等边三角形，∴∠P2OP1=60°，∴2（∠AOP+∠BOP）=60°，∠AOP+∠BOP=30°，即∠AOB=30°，故选：B．5．C【分析】延长交的延长线于点．设交于点，首先证明，当CD⊥AC时，△ACD的面积最大．【详解】解：延长交的延长线于点．设交于点，，，，，，，，，，，，，，，，，，，，当时，的面积最大，最大面积为．故选C．【点拨】本题考查等腰三角形的判定和性质，三角形中线的性质等知识，解题的关键是学会用转化的思想思考问题，属于中考选择题中的压轴题．6．C【分析】由折叠可得：为的角平分线，根据垂线段最短即可解答．【详解】解：∵将折叠，使边落在边上，∴为的角平分线，∵点Q为上任意一点，∴的最小值等于点P到的距离3cm．故选C．【点拨】本题主要考查了折叠的性质、角平分线的性质定理等知识点，掌握角平分线上的点到两边距离相等是解答本题的关键．7．D【分析】连接．由易得，则可得，从而确定点F的运动路径，由垂线段最短即可求得的最小值．【详解】解：如下图所示，连接．∵为等边三角形，∴，∴，∴，∴．又∵为的对称轴，，∴．当点E在对称轴上运动时，点F在所在直线上运动，∴当时，值最小，最小值为．故选：D．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定与性质，含30度角直角三角形的性质，垂线段最短等知识，证明两个三角形全等并确定点F的运动路径是解题的关键．8．C【分析】根据作图痕迹可得平分，结合可得，根据点到直线距离垂线段最短结合直角三角形角所对直角边等于斜边一半即可得到答案；【详解】解：由图像可得，平分，∵，∴，当时，最短，∵，∴，故选C；【点拨】本题考查角平分线作图，点到直线距离垂线段最短及直角三角形角所对直角边等于斜边一半，解题的关键是熟练掌握角平分线作图得到平分．9．C【分析】连接，由于是等腰三角形，点D是边的中点，故，再根据三角形的面积公式求出的长，再根据是线段的垂直平分线可知，点C关于直线的对称点为点A，故的长为的最小值，由此即可得出结论．【详解】解：连接，∵是等腰三角形，点D是边的中点，∴，，∴，解得，∵是线段的垂直平分线，∴点C关于直线的对称点为点A，∴的长为的最小值，∴周长的最小值为．故选：C．【点拨】本题考查的是轴对称——最短路线问题，熟知等腰三角形三线合一的性质是解答此题的关键．10．D【分析】过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，在中，当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长．【详解】解：过点C作射线，使，再过动点D作，垂足为点F，连接，如图所示：在中，，∴，∵＝，∴当A，D，F在同一直线上，即时，的值最小，最小值等于垂线段的长，此时，，∴是等边三角形，∴，在中，，∴，∴，∴，∴，∴，∴的最小值为12，故选：D．【点拨】本题考查垂线段最短、勾股定理等知识，解题的关键是学会添加辅助线，构造胡不归模型，学会用转化的思想思考问题，属于中考选择或填空题中的压轴题．11．12【分析】以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，可证得△ECB≌△DCA从而得到BE=AD，再根据三角形的三边关系即可得出结论．【详解】解：如图1，以CD为边向外作等边三角形CDE，连接BE，∵CE=CD，CB=CA，∠ECD=∠BCA=60°，∴∠ECB=∠DCA，∴△ECB≌△DCA（SAS），∴BE=AD，∵DE=CD=6，BD=8，∴8-6<BE<8+6，∴2<BE<14，∴2<AD<14．∴则的最大值与最小值的差为12．故答案为：12【点拨】本题考查三角形全等与三角形的三边关系，解题关键在于添加辅助线构建全等三角形把AD转化为BE从而求解，是一道较好的中考题．12．2【分析】根据题意，，当点与点重合时，符合题意，据此即可求解．【详解】解：∵将这张纸片折叠，使得点落在边上，点的对应点为点，∴，而,当点与点重合时，，此时的长最小，∴．故答案为：2．【点拨】本题考查了折叠的性质，理解当点与点重合时的长最小是解题的关键．13．80°【分析】如图，分别作P关于OM、ON的对称点，然后连接两个对称点即可得到A、B两点，由此即可得到△PAB的周长取最小值时的情况，并且求出∠APB度数．【详解】解：如图，分别作P关于OM、ON的对称点P1、P2，然后连接两个对称点即可得到A、B两点，∴△PAB即为所求的三角形，根据对称性知道：∠APO=∠AP1O，∠BPO=∠BP2O，还根据对称性知道：∠P1OP2=2∠MON，OP1=OP2，而∠MON=50°，∴∠P1OP2=100°，∴∠AP1O=∠BP2O=40°，∴∠APB=2×40°=80°．故答案为80°．14．3【分析】以为边作等边三角形，证明得，根据三角形三边的关系求出的最大值即可求解．【详解】如图，以为边作等边三角形，则．∵是等边三角形，∴，∴，∴，∴，∴．∵，，∴．∵，∴的最大值是3．故答案为：3．【点拨】本题考查了等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形三边的关系等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题．15．6【分析】作A关于CD的对称点A′，连接A′B交CD于P，则点P就是使|PA-PB|的值最大的点，|PA-PB|=A′B，连接A′C，根据等腰直角三角形的性质得到∠CAB=∠ABC=45°，∠ACB=90°，根据角的和差关系得到∠ACD=75°，根据轴对称的性质得到A′C=AC=BC，∠CA′A=∠CAA′=15°，推出△A′BC是等边三角形，根据等边三角形的性质即可得到结论．【详解】如图，作A关于的对称点，连接并延长交延长线于点P，则点P就是使的值最大的点，，连接，∵为等腰直角三角形，，∴，，∵，∴，∵点A与A′关于CD对称，∴CD⊥AA′，，，∴，∵AC=BC，∴，，∴，∵，∴，∴是等边三角形，∴．故答案为：6【点拨】此题主要考查轴对称--最短路线问题，等腰直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，正确的作出图形是解题的关键．16．9【分析】将沿DE翻折到的位置，将沿EC翻折到的位置，连接，证明是等边三角形，得，再根据两点之间线段最短可得结论．【详解】解：将沿DE翻折到的位置，将沿EC翻折到的位置，连接，如图，由翻折知，，，，∵∠CED＝120°，∴∴∴∴∴是等边三角形，∴由两点之间线段最短得，当在同一条直线时，取最大值为：3+3+3=9，故答案为：9．【点拨】此题主要考查了等边三角形的判定以及两点之间线段最短的应用，证明是等边三角形是解答此题的关键．17．7【分析】由垂直平分线的性质可得与关于对称，连接，交于点，则当三点共线时，的周长最小，为的长．【详解】解：是线段的垂直平分线，与关于对称，如图所示，连接，交于点，，，周长，当三点共线时，的周长最小，为的长，为边的中点，，，，，，，周长，周长的最小值为7，故答案为：7．【点拨】本题主要考查了轴对称求最短，熟练掌握等腰三角形的性质、轴对称的性质，添加适当的辅助线是解题的关键．18．8【分析】先由等边三角形的性质求出，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，求得，再证是等边三角形，得到即可．【详解】解：∵是等边三角形，∴∵，∴，如图，作点Q关于的对称点，连接交于E，连接，此时的值最小．最小值，∵∴∴，∵，∴是等边三角形，∴，∴的最小值为8．故答案为：8．【点拨】此题考查了轴对称性质、等边三角形的判定和性质等知识，熟练掌握等边三角形的判定和性质是解题的关键．19．（1）详见解析；（2）PD的最大值为3；（3）m=105，n=150．【分析】（1）根据ASA证明△ABC≌△ADE，得∠BAC=∠DAE，即可得出结论．（2）PD=AD﹣AP=6﹣x．可得AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线定义即可表示出∠AIC，从而得到m，n的值．【详解】（1）如图1．在△ABC和△ADE中，∵，∴△ABC≌△ADE（SAS），∴∠BAC=∠DAE，∴∠BAD=∠CAE．（2）∵AD=6，AP=x，∴PD=6﹣x．当AD⊥BC时，APAB=3最小，即PD=6﹣3=3为PD的最大值．（3）如图2，设∠BAP=α，则∠APC=α+30°．∵AB⊥AC，∴∠BAC=90°，∠PCA=60°，∠PAC=90°﹣α．∵I为△APC的内心，∴AI平分∠PAC，CI平分∠PCA，∴∠IAC∠PAC，∠ICA∠PCA，∴∠AIC=180°﹣（∠IAC+∠ICA）=180°（∠PAC+∠PCA）=180°（90°﹣α+60°）α+105°∵0＜α＜90°，∴105°α+105°＜150°，即105°＜∠AIC＜150°，∴m=105，n=150．【点拨】本题是一道几何综合题，考查了垂线段最短，含30°的角的直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内心概念及角平分线定义等，解题的关键是将PD最大值转化为PA的最小值．20．(1)CM=ME，60°（2）成立，证明见解析(3)CM的最大值为和最小值为【分析】(1)由直角三角形的性质可得AM=CM=AD，AM=ME=AD，由等腰三角形的性质可求∠CME=60°；(2)取BD中点N，连接MN，CE，由三角形的中位线定理可得AB=2MN，可得MN=BC，由直角三角形的性质可证△BNE是等边三角形，可得BE=BN=EN，∠ENB=∠EBN=∠NEB=60°，由“SAS”可证△CEB≌△MEN，可得ME=EC，∠CEB=∠MEN，可证△MEC是等边三角形，可得CM=ME，∠CME=60°；(3)由直角三角形的性质可求BE=，则点E在以点B为圆心，为半径的圆上，即可求解．【详解】（1）解：∵DE⊥AB，∴∠AED=90°=∠ACB，∵点M是AD的中点，∴AM=CM=AD，AM=ME=AD，∴MC=ME，∠MAC=∠MCA，∠MAE=∠MEA，∴∠CME=2(∠MAC+∠MAE)=2∠CAB=60°，故答案为：CM=ME，60°；（2）解：（1）中的结论仍然成立，理由如下：如图2，取BD中点N，连接MN，CE，∵∠ACB=90°，∠CAB=30°，∴∠ABC=60°，AB=2BC，∵将△BDE绕点B顺时针旋转，∴∠ABC=∠DBE=60°，∵点N是BD的中点，∠DEB=90°，∴EN=BN，∴△BNE是等边三角形，∴BE=BN=EN，∠ENB=∠EBN=∠NEB=60°，∵点M是AD中点，点N是BD的中点，∴，AB=2MN，∴∠MNB+∠ABD=180°，BC=MN，∴∠MNE+∠ABE=60°，∵∠ABE+∠CBE=60°，∴∠CBE=∠MNE，∴△CEB≌△MEN(SAS)，∴ME=EC，∠CEB=∠MEN，∴∠MEC=∠NEB=60°，∴△MEC是等边三角形，∴CM=ME，∠CME=60°；（3）解：∵BD=1，∠BDE=90°−∠DBE=30°，∴BE=，∴点E在以点B为圆心，为半径的圆上，∴点E在线段BC上时，CE有最小值，即CM的最小值为；点E在线段CB的延长线上时，CE有最大值，即CM的最大值为，∴CM的最大值为和最小值为.【点拨】本题是几何变换综合题，考查了等腰三角形的性质，直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，三角形中位线定理等知识，添加恰当辅助线构造全等三角形是解题的关键．21．(1)50(2)①6；②14【分析】（1）根据等腰三角形的性质和线段垂直平分线的性质即可得到结论；（2）①根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质可得AM＝BM，然后求出△MBC的周长＝AC＋BC，再代入数据进行计算即可得解；②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，于是得到结论．【详解】（1）解：∵AB＝AC，∴∠C＝∠ABC＝70°，∴∠A＝40°，∵AB的垂直平分线交AB于点N，∴∠ANM＝90°，∴∠NMA＝50°，故答案为：50；（2）①∵MN是AB的垂直平分线，∴AM＝BM，∴△MBC的周长＝BM＋CM＋BC＝AM＋CM＋BC＝AC＋BC，∵AB＝8，△MBC的周长是14，∴BC＝14﹣8＝6；②当点P与M重合时，△PBC周长的值最小，理由：∵PB＋PC＝PA＋PC，PA＋PC≥AC，∴P与M重合时，PA＋PC＝AC，此时PB＋PC最小，∴△PBC周长的最小值＝AC＋BC＝8＋6＝14．【点拨】本题主要考查了轴对称的性质，等腰三角形的性质，线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键．22．（1）见详解；（2）【分析】（1）由等边三角形的性质可知,再利用等量代换可得，最后利用SAS可证全等；（2）由△ABD≌△ACE可知,AD=AE,当四边形ADCE的周长取最小值时,即AD取最小值时，此时AD⊥BC，求出此时BD的值即可得出答案.【详解】（1）∵△ABC是等边三角形∵∠DAE=60°即在和中，（2）∵△ABD≌△ACE∴,AD=AE,∴四边形ADCE的周长为∴当四边形ADCE的周长取最小值时,即AD取最小值时，此时AD⊥BC，【点拨】本题主要考查全等三角形的判定及性质，垂线段最短，掌握全等三角形的判定及性质是解题的关键.23．（1）见解析；（2）6-x，3；（3）105°，145°．【分析】（1）由条件易证△ABC≌△ADE，得∠BAC＝∠DAE即可．（2）PD＝AD－AP＝6－x，∵点P在线段BC上且不与B、C重合，∴AP的最小值即AP⊥BC时AP的长度，此时PD可得最大值．（3）I为△APC的内心，即I为△APC角平分线的交点，应用“三角形内角和等于180°“及角平分线