人教A版高中数学必修第二册同步讲义第29讲 直线与平面平行的判定定理（含解析）

第29课直线与平面平行目标导航目标导航课程标准课标解读1.掌握直线与平面平行的判定定理，并能初步利用定理解决问题.2.掌握直线与平面平行的性质定理，明确由线面平行可推出线线平行．．1.线面平行的判定定理中，包含要素:两线一面.两线一面的关系是:一线在面外一线在面内.结论是:线面平行.线面平行的性质定理中，包含要素:两线两面.两线两面的关系是:一线在一面内平行于另一面，一线是两面的交线，结论是:两线平行。2.熟记和理解直线和平面平行的判定定理和性质定理，就能灵活运用实现“线线”“线面”平行的转化知识精讲知识精讲知识点01直线与平面平行的判定定理文字语言如果平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，那么该直线与此平面平行符号语言a⊄α，b⊂α，a∥b⇒a∥α图形语言【即学即练1】如图，四边形ABCD是平行四边形，P是平面ABCD外一点，M，N分别是AB，PC的中点．求证：MN∥平面PAD.证明如图，取PD的中点G，连接GA，GN.∵G，N分别是△PDC的边PD，PC的中点，∴GN∥DC，GN＝eq\f(1,2)DC.∵M为平行四边形ABCD的边AB的中点，∴AM＝eq\f(1,2)DC，AM∥DC，∴AM∥GN，AM＝GN，∴四边形AMNG为平行四边形，∴MN∥AG.又MN⊄平面PAD，AG⊂平面PAD，∴MN∥平面PAD.知识点02知识点二直线与平面平行的性质定理文字语言一条直线与一个平面平行，如果过该直线的平面与此平面相交，那么该直线与交线平行符号语言a∥α，a⊂β，α∩β＝b⇒a∥b图形语言【即学即练2】如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是平行四边形，AC与BD交于点O，M是PC的中点，在DM上取一点G，过G和AP作平面交平面BDM于GH，求证：AP∥GH.证明如图，连接MO.∵四边形ABCD是平行四边形，∴O是AC的中点．又∵M是PC的中点，∴AP∥OM.又∵AP⊄平面BDM，OM⊂平面BDM，∴AP∥平面BDM.又∵AP⊂平面APGH，平面APGH∩平面BDM＝GH，∴AP∥GH.反思感悟线面平行的性质定理和判定定理经常交替使用，也就是通过线线平行得到线面平行，再通过线面平行得到线线平行．能力拓展能力拓展考法01直线与平面平行的判定定理的应用【典例1】如图，在正方体ABCD－A1B1C1D1中，E，F，G分别是BC，CC1，BB1的中点，求证：EF∥平面AD1G.证明连接BC1(图略)，在△BCC1中，∵E，F分别为BC，CC1的中点，∴EF∥BC1，又∵AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，∴四边形ABC1D1是平行四边形，∴BC1∥AD1，∴EF∥AD1，又EF⊄平面AD1G，AD1⊂平面AD1G，∴EF∥平面AD1G.反思感悟利用直线和平面平行的判定定理证明线面平行的关键是在平面内找一条直线与已知直线平行，常利用平行四边形、三角形中位线、基本事实4等．考法02直线与平面平行的性质定理的应用【典例2】如图所示，在四面体ABCD中，用平行于棱AB，CD的平面截此四面体，求证：截面MNPQ是平行四边形．证明因为AB∥平面MNPQ，平面ABC∩平面MNPQ＝MN，且AB⊂平面ABC，所以由线面平行的性质定理，知AB∥MN.同理AB∥PQ，所以MN∥PQ.同理可得MQ∥NP.所以截面MNPQ是平行四边形．【变式训练】如图，在五面体FE－ABCD中，四边形CDEF为矩形，M，N分别是BF，BC的中点，则MN与平面ADE的位置关系是________．答案平行解析∵M，N分别是BF，BC的中点，∴MN∥CF，又四边形CDEF为矩形，∴CF∥DE，∴MN∥DE.又MN⊄平面ADE，DE⊂平面ADE，∴MN∥平面ADE.考法03线面平行有关的计算【典例3】如图，直线a∥平面α，点A在α另一侧，点B，C，D∈a.线段AB，AC，AD分别交α于点E，F，G.若BD＝4，CF＝4，AF＝5，则EG＝________.答案eq\f(20,9)解析A∉a，则点A与直线a确定一个平面，即平面ABD.因为a∥α，且α∩平面ABD＝EG，所以a∥EG，即BD∥EG，所以eq\f(AF,AC)＝eq\f(AE,AB).又eq\f(EG,BD)＝eq\f(AE,AB)，所以eq\f(AF,AC)＝eq\f(EG,BD)，于是EG＝eq\f(AF·BD,AC)＝eq\f(5×4,5＋4)＝eq\f(20,9).反思感悟(1)利用线面平行的性质定理找线线平行，利用线线平行得对应线段成比例即可求线段长度．(2)通过定理的运用和平行的性质，提升直观想象和逻辑推理素养．分层提分分层提分题组A基础过关练一、单选题1．如图，一块矩形木板ABCD的一边AB在平面α内，把这块矩形木板绕AB转动，在转动的过程中，AB的对边CD与平面α的位置关系是（

）A．平行 B．相交C．在平面α内 D．平行或在平面α内【答案】D【分析】根据线面平行判定定理的条件可得.【详解】在旋转过程中，CD∥AB，易得CD∥α或CD⊂α.故选：D.2．在空间四边形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别在SKIPIF1<0上，且满足SKIPIF1<0，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的位置关系是（

）A．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0相交 D．以上都有可能【答案】A【分析】由SKIPIF1<0，可推出SKIPIF1<0，再根据线面平行的判定可得出答案.【详解】∵SKIPIF1<0∴SKIPIF1<0又∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.∴SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.故选：A3．如图，正方体SKIPIF1<0的棱长为a，动点E、F在棱SKIPIF1<0上，且SKIPIF1<0，动点P、Q分别在棱AB、CD上．现有两个命题：①SKIPIF1<0的面积为定值；②点P到平面EFQ的距离为定值．则有（

）．A．①②都真； B．①真、②假；C．①假、②真； D．①②都假．【答案】A【分析】根据线线平行和线面平行的判定定理与性质依次判断命题即可.【详解】对于①，因为SKIPIF1<0，所以Q到直线SKIPIF1<0的距离h为定值，而EF为定值，故SKIPIF1<0的面积为定值，所以①真．对于②，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面EFQ，所以SKIPIF1<0平面EFQ，故点P到平面EFQ的距离为定值，所以②真．故选：A4．下列四个正方体图形中，SKIPIF1<0为正方体的两个顶点，SKIPIF1<0分别为其所在棱的中点，能得出SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0的图形的序号是（）A．①③ B．①④ C．①③④ D．②④【答案】B【解析】利用线面平行、线面相交的知识对四个图形逐一分析，由此确定正确选项.【详解】解：对于①，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；由于SKIPIF1<0，所以平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以①正确.对于②，如图，设SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交于SKIPIF1<0，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0相交，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不平行，所以②错误.对于③，如图，设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，因为SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0相交，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不平行，所以③错误.对于④，如图，依题意M、N、P分别为其所在棱的中点，结合正方体的性质可知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以④正确.综上所述，正确的序号有①④.故选：B.5．下列命题中正确的个数是（

）①若直线a上有无数个点不在平面α内，则a∥α；②若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都平行；③若直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α；④若直线a∥平面α，则直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点.A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】对于①，由线面位置关系的定义判断，对于②，由线面平行的性质判断，对于C，由线面平行的判定定理判断，对于D，由线面平行的定义判断【详解】对于①，若直线a上有无数个点不在平面α内，则直线a可能与平面α相交，也可能与平面α平行，所以①错误，对于②，当直线a∥平面α时，直线a与平面α内直线平行或异面，所以②错误，对于③，当直线a∥直线b，直线b∥平面α，则直线a∥平面α，或直线a在平面α内，所以③错误，对于④，当直线a∥平面α时，则直线a与平面α无公共点，所以直线a与平面α内的任意一条直线都没有公共点，所以④正确，故选：B6．已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空间两个不同的平面，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是空间两条不同的直线，下列说法中正确的是（

）A．SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．平面SKIPIF1<0内的不共线三点SKIPIF1<0到平面β的距离相等，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0平行D．如果一条直线与一个平面平行，那么这条直线与此平面内的无数条直线平行【答案】D【分析】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，判断选项A，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，判断选项B，当两个面相交时，可以在平面SKIPIF1<0内找到的不共线三点SKIPIF1<0到平面β的距离相等，判断选项C，根据平行的传递性判断选项D.【详解】SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选项A错误；SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，故选项B错误；当平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0相交时，可以在平面SKIPIF1<0内找到不共线三点SKIPIF1<0到平面β的距离相等，故选项C错误；如果一条直线与一个平面平行，那么平面内必有一条直线与给定直线平行，而平面内与一条直线平行的直线有无数条，根据平行的传递性，这些直线都与给定直线平行，所以有无数条，故选项D正确.故选：D.二、多选题7．SKIPIF1<0为平面，有下列命题，其中假命题的是（

）A．若直线l平行于平面SKIPIF1<0内的无数条直线，则SKIPIF1<0B．若直线a在平面SKIPIF1<0外，则SKIPIF1<0C．若直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若直线SKIPIF1<0，则a平行于平面SKIPIF1<0内的无数条直线【答案】ABC【分析】根据线面平行的知识对选项进行分析，从而确定正确答案.【详解】A选项，若直线l平行于平面SKIPIF1<0内的无数条直线，则SKIPIF1<0可能含于SKIPIF1<0，A为假命题.B选项，若直线a在平面SKIPIF1<0外，则可能SKIPIF1<0与SKIPIF1<0相交，B为假命题.C选项，若直线SKIPIF1<0，直线SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0可能含于SKIPIF1<0，C为假命题.D选项，由于直线SKIPIF1<0，不妨设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以a平行于平面SKIPIF1<0内的无数条直线，D为真命题.故选：ABC8．如图，在透明塑料制成的长方体SKIPIF1<0容器内灌进一些水(未满)，现将容器底面一边SKIPIF1<0固定在底面上，再将容器倾斜，随着倾斜度的不同，有下列四种说法，其中正确命题的是（

）A．水的部分始终呈棱柱状B．水面四边形SKIPIF1<0的面积为定值C．棱SKIPIF1<0始终与水面SKIPIF1<0平行D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0是定值【答案】ACD【分析】利用棱柱的定义即可判断选项A，由水面四边形SKIPIF1<0的边长在变化，即可判断选项B，利用线面平行的判定定理即可判断选项C，由于水平放置时，水的高度是定值，从而求出SKIPIF1<0为定值，即可判断选项D【详解】解：由于四边形SKIPIF1<0与四边形SKIPIF1<0全等，且平面SKIPIF1<0‖平面SKIPIF1<0，则由棱柱的定义可知，水的部分始终呈棱柱状，所以A正确，因为SKIPIF1<0‖SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0‖SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以因为四边形SKIPIF1<0为矩形，所以水面四边形SKIPIF1<0的面积等于SKIPIF1<0，因为水面四边形SKIPIF1<0的边长SKIPIF1<0不变，SKIPIF1<0在变化，所以水面四边形SKIPIF1<0的面积在变化，所以B错误，容器底面一边SKIPIF1<0固定在底面上时，SKIPIF1<0‖SKIPIF1<0‖SKIPIF1<0，所以由线面平行的判定定理可知，棱SKIPIF1<0始终与水面四边形SKIPIF1<0平行，所以C正确，如图，由于水平放置时，水的体积是定值，水的高度是定值SKIPIF1<0，底面面积不变，所以当一部分上升的同时，另一部分下降相同的高度SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0为定值，所以当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0是定值，所以D正确，故选：ACD三、填空题9．直线a与平面SKIPIF1<0的位置关系位置关系直线在平面内相交平行公共点个数____________符号表示图形表示直线与平面平行的判定定理文字语言：如果____________一条直线和此____________的一条直线____________，那么____________和____________平行该定理常表述为“若线线平行，则线面平行”．图形语言：如图所示．符号语言：若SKIPIF1<0，且____________，则SKIPIF1<0．直线与平面平行的性质定理：文字语言：一条直线和一个平面平行，如果过____________的平面和____________相交，那么这条直线与____________平行．图形语言：如图所示．符号语言：若SKIPIF1<0，且____________，则SKIPIF1<0．【答案】

无数个，1个，0个，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，，，

平面外

平面内

平行

该直线

此平面

SKIPIF1<0

该直线

此平面

交线

SKIPIF1<0【分析】略【详解】略10．三棱锥SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，过线段SKIPIF1<0中点E作平面SKIPIF1<0与直线SKIPIF1<0、SKIPIF1<0都平行，且分别交SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0于F、G、H，则四边形SKIPIF1<0的周长为_________．【答案】2【分析】根据线面平行的性质定理，结合点E为SKIPIF1<0中点可得四边形SKIPIF1<0各边长，然后可得.【详解】因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面ABC，所以SKIPIF1<0EH，又点E为SKIPIF1<0中点，所以EH为三角形ABC的中位线，故SKIPIF1<0.同理，SKIPIF1<0所以四边形SKIPIF1<0的周长为2.故答案为：211．正方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分别是SKIPIF1<0的中点，如图，则：SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的位置关系是________．【答案】平行【分析】取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，进而证明四边形SKIPIF1<0为平行四边形得SKIPIF1<0，进而证明SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【详解】解析：如图，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中位线，则SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.∵SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，∴四边形SKIPIF1<0为平行四边形，∴SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.答案：平行12．如图所示，过三棱台上底面的一边SKIPIF1<0，作一个平行于棱SKIPIF1<0的截面，与下底面的交线为DE．若D、E分别是AB、BC的中点，则SKIPIF1<0______．【答案】SKIPIF1<0【分析】证得SKIPIF1<0，然后结合棱台与棱柱的体积公式即可求出结果.【详解】因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，且平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又因为SKIPIF1<0，所以四边形SKIPIF1<0为平行四边形，所以SKIPIF1<0，且E分别是BC的中点，所以SKIPIF1<0，同理SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0，设上底面的面积为SKIPIF1<0，高为SKIPIF1<0，则下底面的面积为SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故答案为：SKIPIF1<0.四、解答题13．如图，在长方体SKIPIF1<0中，E为AB的中点，F为SKIPIF1<0的中点．证明：SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．【答案】证明见解析【分析】取SKIPIF1<0的中点G，连接GF，AG，证明四边形AEFG为平行四边形，进而有SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，然后根据线面平行的判断定理即可证明.【详解】证明：取SKIPIF1<0的中点G，连接GF，AG，因为G为SKIPIF1<0的中点，F为SKIPIF1<0的中点，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且CD＝2GF，又E为AB的中点，AB＝CD，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0且AE＝GF，所以四边形AEFG为平行四边形，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，EFSKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0．14．如图，长方体SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，点SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点.(1)求证：直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面PAC；(2)求异面直线SKIPIF1<0与AP所成角的大小.【答案】(1)证明见解析(2)30°【分析】（1）设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，根据线面平行的判定定理即可得证．（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0即为异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角．求得各个边长，根据三角函数的定义，即可得答案.【详解】（1）设SKIPIF1<0和SKIPIF1<0交于点SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0为SKIPIF1<0的中点，连接SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴直线SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）由(1)知，SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0即为异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成的角，∵SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0故异面直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0所成角的大小为SKIPIF1<0．题组B能力提升练一、单选题1．SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0是直线，SKIPIF1<0是平面，则下列说法正确的是（

）A．SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0内的无数条直线，则SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0不在面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0C．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0D．若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0内的无数条直线【答案】D【分析】利用线面平行的判定定理和性质定理逐个分析判断即可【详解】对于A，当SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0内的无数条直线，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，所以A错误，对于B，当SKIPIF1<0不在面SKIPIF1<0时，SKIPIF1<0与SKIPIF1<0有可能相交，所以B错误，对于C，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，若SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不平行，所以C错误，对于D，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，由线面平行的性质可知SKIPIF1<0平行于SKIPIF1<0内的无数条直线，所以D正确，故选：D2．过平面SKIPIF1<0外的直线l作一组平面与SKIPIF1<0相交，若所得交线分别为a，b，c…，则这些交线的位置关系为（

）A．相交于同一点 B．相交但交于不同的点C．平行 D．平行或相交于同一点【答案】D【分析】对SKIPIF1<0于SKIPIF1<0的位置关系进行分类讨论，由此确定正确选项.【详解】当SKIPIF1<0时，根据线面平行的性质定理以及平行公理可知：所得交线平行.当SKIPIF1<0时，所得交线交于同一点SKIPIF1<0.所以所得交线平行或相交于同一点.故选：D3．如图，已知正方体SKIPIF1<0的棱长为2，则下列四个结论错误的是（

）A．直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为异面直线B．SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．三棱锥SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0D．三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0【答案】D【分析】根据异面直线的定义即可判断A，根据SKIPIF1<0线线平行证明线面平行即可判断B,根据每个三角形的面积可得三棱锥的表面积，可判断C，根据体积公式可判断D.【详解】因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以直线SKIPIF1<0与SKIPIF1<0为异面直线,故A对.SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故B对.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0,所以三棱锥SKIPIF1<0的表面积为SKIPIF1<0，故C对.SKIPIF1<0,故D错.故选:D4．如图，正方体SKIPIF1<0的棱长为1，线段SKIPIF1<0上有两个动点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，则下列结论中正确的是（

）A．线段SKIPIF1<0上存在点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0的面积与SKIPIF1<0的面积相等D．三棱锥SKIPIF1<0的体积不为定值【答案】B【分析】利用异面直线的定义可判断A；根据线面平行判定定理可判断B；根据三角形的高不相等可判断C；直接计算体积可判断D.【详解】线段SKIPIF1<0上不存在点SKIPIF1<0､SKIPIF1<0使得SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0在平面SKIPIF1<0平面外，SKIPIF1<0在平面内，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是异面直线，所以A不正确；连接SKIPIF1<0，几何体是正方体，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以B正确.SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离大于上下底面中心的连线，则SKIPIF1<0到SKIPIF1<0的距离大于1，∴SKIPIF1<0的面积大于SKIPIF1<0的面积，故C错误；SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面积为定值，∴三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值，故D不正确.故选：B.5．正方体SKIPIF1<0中，用平行于SKIPIF1<0的截面将正方体截成两部分，则所截得的两个几何体不可能是（

）A．两个三棱柱 B．两个四棱台C．两个四棱柱 D．一个三棱柱和一个五棱柱【答案】B【分析】根据正方体的性质及棱柱的概念，找出满足题意的截面即得.【详解】在正方体SKIPIF1<0中，连接SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则截面SKIPIF1<0把正方体截成两个三棱柱；分别取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，则可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则截面SKIPIF1<0把正方体截成一个三棱柱和一个五棱柱；分别在SKIPIF1<0上取点SKIPIF1<0使SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则截面SKIPIF1<0把正方体截成两个四棱柱；不存在平行于SKIPIF1<0的截面将正方体截成两个四棱台.故选：B.6．“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的（

）A．充要条件 B．充分非必要条件C．必要非充分条件 D．既非充分又非必要条件【答案】C【分析】根据直线与平面平行的性质及判定定理可得．【详解】直线SKIPIF1<0的方向向量与平面的法向量垂直，不一定得到直线与平面平行，例如直线在平面内的时候就不满足，当直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行时，可以得到直线的方向向量与平面的法向量垂直，SKIPIF1<0前者不能推出后者，后者可以推出前者，SKIPIF1<0前者是后者的必要不充分条件，即“直线的方向向量与平面的法向量垂直”是“直线与平面平行”的必要不充分条件.故选：C二、多选题7．如图，在正三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AB=AA1=1，P为线段B1C1上的动点，则下列结论中正确的是（

）A．点A到平面A1BC的距离为SKIPIF1<0 B．平面A1PC与底面ABC的交线平行于A1PC．三棱锥P﹣A1BC的体积为定值 D．二面角A1-BC-A的大小为SKIPIF1<0【答案】BC【分析】根据点面距、面面平行、线面平行、二面角等知识对选项进行分析，由此确定正确选项.【详解】A选项，四边形SKIPIF1<0是正方形，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，但SKIPIF1<0与SKIPIF1<0不垂直，所以SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0不垂直，所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离不是SKIPIF1<0，A选项错误.B选项，根据三棱柱的性质可知，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，设平面SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的交线为SKIPIF1<0，根据线面平行的性质定理可知SKIPIF1<0，B选项正确.C选项，由于SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0,SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离为定值，所以三棱锥SKIPIF1<0的体积为定值，C选项正确.D选项，设SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中点，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以二面角SKIPIF1<0的平面角为SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，D选项错误.故选：BC8．棱长为1的正方体SKIPIF1<0中，P、Q分别在棱BC、SKIPIF1<0上，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，过A、P、Q三点的平面截正方体SKIPIF1<0得到截面多边形，则（

）A．SKIPIF1<0时，截面一定为等腰梯形 B．SKIPIF1<0时，截面一定为矩形且面积最大值为SKIPIF1<0C．存在x，y使截面为六边形 D．存在x，y使SKIPIF1<0与截面平行【答案】BD【分析】对A，举反例判断即可；对B，当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，再根据面面平行的性质与线面垂直的性质判断即可；对C，直观想象根据截面可能的情况判定即可；对D，根据线面平行与截面的性质举例当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时成立判定即可【详解】对A，SKIPIF1<0时，截面为矩形，故A错；对B，当SKIPIF1<0时，点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合，设过A、P、Q三点的平面交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，则因为平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，此时截面为矩形，当点SKIPIF1<0与点SKIPIF1<0重合时面积最大，此时截面积SKIPIF1<0，B正确；对C，截面只能为四边形、五边形，故C错；对D，当SKIPIF1<0，SKIPIF1<0时，延长SKIPIF1<0交SKIPIF1<0延长线于SKIPIF1<0，画出截面SKIPIF1<0如图所示.此时因为SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0.由面面平行的截面性质可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，此时SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，故平行四边形SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，根据线面平行的判定可知SKIPIF1<0与截面平行，故D正确．故选：BD三、填空题9．若直线SKIPIF1<0上有三点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离均为1，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0的位置关系为______．【答案】平行【分析】由线面的位置关系和点到平面的距离的定义，可得结论．【详解】解：若直线SKIPIF1<0上有三点SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0到平面SKIPIF1<0的距离均为1，则直线SKIPIF1<0与平面SKIPIF1<0平行，不可能相交，故答案为：平行．10．“直线l与平面SKIPIF1<0内无数条直线平行”是“直线l与平面SKIPIF1<0平行”的______条件．【答案】必要不充分【分析】通过举反例可得充分性不成立，根据直线和平面平行的定义可得必要性成立，从而即可求解．【详解】解：由“直线l与平面SKIPIF1<0内无数条直线平行”不能推出“直线l与平面SKIPIF1<0平行”，因为直线l可能在平面SKIPIF1<0内；由“直线l与平面SKIPIF1<0平行”，根据直线和平面平行的定义可得“直线l与平面SKIPIF1<0内无数条直线都平行”.所以“直线l与平面SKIPIF1<0内无数条直线平行”是“直线l与平面SKIPIF1<0平行”的必要不充分条件.故答案为：必要不充分.11．下列各图是正方体或正四面体，P、Q、R、S分别是所在棱的中点，这四个点共面的图是______．【答案】①②③【分析】由正方体、正四面体的结构特征，结合点线、线线位置关系判断四点是否共面.【详解】图①：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即四点共面，满足；图②：SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0为中点，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0共面，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0共面，且SKIPIF1<0三点不共线，故SKIPIF1<0共面，满足；图③：由题设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0共面，满足；图④：若SKIPIF1<0为中点，则SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0共面，而SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0三点不共线，故面SKIPIF1<0即为面SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0不共面，不满足；故答案为：①②③12．如图，四边形SKIPIF1<0为四面体SKIPIF1<0的一个截面，若四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，则四边形SKIPIF1<0的周长的取值范围是___________.【答案】SKIPIF1<0【分析】依题意可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的关系式，再求四边形SKIPIF1<0的周长SKIPIF1<0的取值范围即可．【详解】解：SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0为平行四边形，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0；设SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0；SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0的周长为SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0四边形SKIPIF1<0周长的取值范围是SKIPIF1<0．故答案为：SKIPIF1<0四、解答题13．已知正方体SKIPIF1<0，求证：SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.【答案】证明见详解【分析】根据题意，结合线面平行的判定，即可证明.【详解】证明：在正方体SKIPIF1<0中，易知SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因为SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0.14．四面体ABCD如图所示，过棱AB的中点E作平行于AD，BC的平面，分别交四面体的棱BD，DC，CA于点F，G，H．证明：E、F、G、H四点共面且四边形EFGH是平行四边形．【答案】证明见解析【分析】根据线面平行的性质定理，分别证得SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，则得SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，从而可证得E、F、G、H四点共面，同理可证得SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，再根据平行四边形的判定定理可得结论【详解】因为SKIPIF1<0∥平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，平面SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以E、F、G、H四点共面，同理可证得SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0∥SKIPIF1<0，所以四边形EFGH是平行四边形．题组C培优拔尖练1．如图，在四棱柱SKIPIF1<0中，点M是线段SKIPIF1<0上的一个动点，E，F分别是SKIPIF1<0的中点.(1)设G为棱SKIPIF1<0上的一点，问：当G在什么位置时，平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0？(2)设三棱锥SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，四棱柱SKIPIF1<0的体积为SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0.【答案】(1)G为SKIPIF1<0中点时，平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；(2)SKIPIF1<0【分析】（1）G为SKIPIF1<0中点时，先证SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，再证SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，即可证得平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，结合SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0得SKIPIF1<0即可求得SKIPIF1<0.（1）G为SKIPIF1<0中点时，平面SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，理由如下：连接SKIPIF1<0，取SKIPIF1<0的中点SKIPIF1<0，连接SKIPIF1<0，因为E，F分别是SKIPIF1<0的中点，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，同理可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0，则SKIPIF1<0SKIPIF1<0平面SKIPIF1<0