江西省南昌市2024届高三上学期摸底测试数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省南昌市2024届高三上学期摸底测试数学试题一、单项选择题1.已知集合，，则（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据幂函数的定义域知，则，根据指数函数的值域知，则，则，且，故BC错误，，则D错误，故选：A.2.复数的虚部是（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，故的虚部为.故选：C.3.已知向量，，若，则（）A. B.1 C.2或 D.1或〖答案〗D〖解析〗由题意知，故，即或，故选：D4.已知公比为的等比数列的前项和，则（）A. B.1 C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗由题意可得，即，又，又是公比为的等比数列，故，故，故选：B.5.已知抛物线：的焦点为，是抛物线在第一象限的一点，过作的准线的垂线，垂足为，的中点为，若直线经过点，则直线的斜率为（）A.1 B.2 C. D.3〖答案〗C〖解析〗由题意，设，则，又的中点为，故.由抛物线定义可得，故.则，因为直线经过点，即，故，又是抛物线在第一象限的一点，故，解得.故，直线的斜率为.故选：C6.已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗作出函数和的图象以及直线的图象，如图，由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为，，结合图象可知，A错误；由题意知，也即，由于函数和互为反函数，二者图象关于直线对称，而为和的图象与直线的交点，故关于对称，故，B错误；由，故，C错误；因为，故，结合，即得，D正确，故选：D7.已知函数的值域为A，函数的值域为，则“”是“”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗令，则即为，则，由于，故，等号仅在时取得，故在上单调递增，故，即值域为，即，故“”成立能推出“成立；当，即的值域为时，不妨取，此时，但，即“”推不出“”，故“”是“”充分不必要条件，故选：A8.若函数，，则函数在上平均变化率的取值范围为（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗当，时，在上平均变化率为，令，，可看做图象上任一点与点连线的斜率，即，当点从点运动到点，斜率逐渐减小，点重合时，表示函数在点处的切线的斜率，，所以，当点位于点时，点连线的斜率最大，，故.故选：B.二、多项选择题9.“未来之星”少儿才艺大赛，选手通过自我介绍和才艺表演，展示仪表形象、表达能力、风度气质等自身的整体形象，评委现场打分.若九位评委对某选手打分分别是，记这组数据的平均分、中位数、标准差、极差分别为，，，，去掉这组数据的一个最高分和一个最低分后，其平均分、中位数、标准差、极差分别为，，，，则下列判断中一定正确的是（）A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗根据平均数的性质可知不一定成立，例如九个数一个90，其它都是80，显然该等式不成立，因此A不一定正确；根据中位数的定义可知这九个数据从小到大排列，中间的一个数据是中位数，去掉最高和最低不影响中间的数据，所以B一定正确；根据标准差的意义可知去掉最高和最低分，数据有可能会更集中，所以选项C一定正确；因为去掉最高和最低分，极差有可能减小，所以选项D一定正确，故选：BCD10.在下列四棱雉中，底面为平行四边形，，，，，是四棱雉的顶点或棱的中点，则平面的有（）A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗对于A，设P为AB的中点，底面为平行四边形，连接，则，而,故，即四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面，A正确；对于B，设P为AB的中点，底面为平行四边形，连接，则，而,故，即四边形为平行四边形，故，而平面，平面，故平面，B正确；对于C，设P为AE的中点，底面为平行四边形，连接，设交于H，连接，则，而,故，即四边形为平行四边形，故，又平面，平面，平面平面，假设平面，则，即在平面内过点B有两条直线和MN都平行，这是不可能的，故此时平面不成立，C错误；对于D，设底面为平行四边形，连接交于点H，交于G，则H为FN的中点，连接，由于B为MF的中点，故；又平面，平面，平面平面，假设平面，则，即在平面内过点B有两条直线和MN都平行，这是不可能的，故此时平面不成立，D错误；故选：AB11.是定义在上连续可导函数，其导函数为，下列命题中正确的是（）A.若，则B.若，则C.若的图象关于点中心对称，则的图象关于直线轴对称D.若，的图象关于原点对称，则〖答案〗ACD〖解析〗A中，由，根据导数的运算法则，可得，所以A正确；B中，例如函数，可得，此时满足，但，所以B错误；C中，由的图象关于点中心对称，可得，两边同时取导数，可得，即，所以的图象关于直线轴对称，所以C正确；D中，由，令，可得，即，又由的图象关于原点对称，令，可得，所以，所以D正确.故选：ACD.12.已知双曲线：，点为双曲线右支上的一个动点，过点分别作两条渐近线的垂线，垂足分别为，两点，则下列说法正确的是（）A.双曲线的离心率为B.存在点，使得四边形为正方形C.直线，的斜率之积为2D.存在点，使得〖答案〗AB〖解析〗对于A，由双曲线：，得，故，A正确；对于B，双曲线：的渐近线为，则四边形为矩形，又双曲线右顶点为，到直线的距离均为，故矩形为正方形，即存在点，即M为双曲线右顶点时，使得四边形为正方形，B正确；对于C，设，不妨设A在第一象限，B在第四象限，由于，故可得的方程为，联立，可得，则，同理，可得的方程为，联立，可得，则，故，而，故，C错误；对于D，由以上分析可知，同理,故，根据双曲线的对称性，不妨假设M在第一象限，则，故，令，将代入，即有，显然不可能，即双曲线上不存在点，使得，D错误，故选：AB.三、填空题13.已知直线与圆相切，则r的值为_______.〖答案〗〖解析〗由直线与圆相切，则，即，故〖答案〗为：.14.展开式中的系数是________.〖答案〗5〖解析〗由题意知项和展开式中的相乘出现项，的通项公式为，分别令可得项的系数为，故展开式中的系数是，故〖答案〗为：515.如图，高度均为3的封闭玻璃圆锥和圆柱容器内装入等体积的水，此时水面高度均为，若，记圆锥的底面半径为，圆柱的底面半径为，则________.〖答案〗##〖解析〗如图，作出圆锥的轴截面，设为水面，O为圆锥底面中心，为水面中心，则，则∽，故，故圆锥内水的体积为，圆柱内水的体积为，由，得，故，故〖答案〗为：.16.已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为，，，若，则________.〖答案〗〖解析〗令，则函数即为函数，的最小正周期为，最小正周期为，作出函数的大致图象，如图，则函数图象与直线连续的三个公共点，，，等价于的图象与直线连续的三个公共点，，，（连续的三个公共点从左到右排列）由题意不妨设，，位置如图中所示（三点位置可左右平移一个周期），即，关于直线对称，，由于，则，故，而，关于直线对称，故点横坐标为，将点横坐标代入，得，则，故〖答案〗为：四、解答题17.在中，角，，所对的边分别为，，，，.（1）求的面积；（2）若，求的周长.（1）由已知，在中有，故，即，即，而，所以，又，故的面积为.（2）由余弦定理，得，可得，所以，所以，即，所以的周长为3.18.如图，在三棱锥中，，，分别为，的中点，.（1）求证：；（2）若，，求二面角的余弦值.（1）证明：因为，分别为，的中点，所以，因为，所以，因为，，平面，所以平面，又因为平面，所以；（2）解：因为，，则，所以，因为，所以，因为，平面，所以平面，因为，，所以，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，，所以，，设平面的法向量为，则，所以，令，得到，平面法向量为所以，则根据法向量的朝向知二面角的余弦值为.19.如图，第个图形是由棱长为的正方体挖去棱长为的正方体得到的，记其体积为.（1）求证：；（2）求和：.（1）证明：棱长为的正方体的体积为，棱长为的正方体的体积为，所以；（2）解：由（1）可知，则，又，所以，即.20.已知椭圆：经过点，为椭圆的右焦点，为坐标原点，的面积为.（1）求椭圆的标准方程；（2）过点作一条斜率不为0的直线与椭圆相交于，两点（在，之间），直线与椭圆的另一个交点为，求证：点，关于轴对称.（1）解：因为的面积为，则有，解得，又因为在椭圆上，则，解得，所以椭圆的标准方程为；（2）证明：根据椭圆的对称性，欲证，关于轴对称，只需证，即证，设，，直线方程为，由消去得，所以，则因为所以，即，关于轴对称.21.迎“七一”党建知识竞赛，竞赛有两关，某学校代表队有四名队员，这四名队员若有机会参加这两关比赛，通过的概率见下表：队员第一关第二关甲乙丙丁比赛规则是：从四名队员中随机选出两名队员分别参加比赛，每个队员通过第一关可以得60分，且有资格参加第二关比赛，若没有通过，得0分且没有资格参加第二关比赛，若通过第二关可以再得40分，若没有通过，不再加分.两名参赛队员所得总分为该代表队的得分，代表队得分不低于160分，可以获得“党建优秀代表队”称号.假设两名参赛队员不相互影响.（1）求这次比赛中，该校获得“党建优秀代表队”称号的概率；（2）若这次比赛中，选中了甲乙两名队员参赛，记该代表队的得分为，求随机变量的分布列和期望.解：（1）记选出甲乙两名队员参赛为事件，选出甲乙、丙丁各一人参赛为事件，选出丙丁两名队员参赛为事件，活动“党建优秀代表队”称号为事件.则，，..（2）的可能取值为：0，60，100，120，160，200，，，，，，.所以随机变量的分布列为：06010012016