江西省南昌市2024届高三上学期摸底测试数学试题(解析版)_第1页
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高级中学名校试卷PAGEPAGE1江西省南昌市2024届高三上学期摸底测试数学试题一、单项选择题1.已知集合,,则()A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗根据幂函数的定义域知,则,根据指数函数的值域知,则,则,且,故BC错误,,则D错误,故选:A.2.复数的虚部是()A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗,故的虚部为.故选:C.3.已知向量,,若,则()A. B.1 C.2或 D.1或〖答案〗D〖解析〗由题意知,故,即或,故选:D4.已知公比为的等比数列的前项和,则()A. B.1 C.2 D.4〖答案〗B〖解析〗由题意可得,即,又,又是公比为的等比数列,故,故,故选:B.5.已知抛物线:的焦点为,是抛物线在第一象限的一点,过作的准线的垂线,垂足为,的中点为,若直线经过点,则直线的斜率为()A.1 B.2 C. D.3〖答案〗C〖解析〗由题意,设,则,又的中点为,故.由抛物线定义可得,故.则,因为直线经过点,即,故,又是抛物线在第一象限的一点,故,解得.故,直线的斜率为.故选:C6.已知函数和的图象与直线交点的横坐标分别为,,则()A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗作出函数和的图象以及直线的图象,如图,由函数和的图象与直线交点的横坐标分别为,,结合图象可知,A错误;由题意知,也即,由于函数和互为反函数,二者图象关于直线对称,而为和的图象与直线的交点,故关于对称,故,B错误;由,故,C错误;因为,故,结合,即得,D正确,故选:D7.已知函数的值域为A,函数的值域为,则“”是“”的()A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗A〖解析〗令,则即为,则,由于,故,等号仅在时取得,故在上单调递增,故,即值域为,即,故“”成立能推出“成立;当,即的值域为时,不妨取,此时,但,即“”推不出“”,故“”是“”充分不必要条件,故选:A8.若函数,,则函数在上平均变化率的取值范围为()A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗当,时,在上平均变化率为,令,,可看做图象上任一点与点连线的斜率,即,当点从点运动到点,斜率逐渐减小,点重合时,表示函数在点处的切线的斜率,,所以,当点位于点时,点连线的斜率最大,,故.故选:B.二、多项选择题9.“未来之星”少儿才艺大赛,选手通过自我介绍和才艺表演,展示仪表形象、表达能力、风度气质等自身的整体形象,评委现场打分.若九位评委对某选手打分分别是,记这组数据的平均分、中位数、标准差、极差分别为,,,,去掉这组数据的一个最高分和一个最低分后,其平均分、中位数、标准差、极差分别为,,,,则下列判断中一定正确的是()A. B. C. D.〖答案〗BCD〖解析〗根据平均数的性质可知不一定成立,例如九个数一个90,其它都是80,显然该等式不成立,因此A不一定正确;根据中位数的定义可知这九个数据从小到大排列,中间的一个数据是中位数,去掉最高和最低不影响中间的数据,所以B一定正确;根据标准差的意义可知去掉最高和最低分,数据有可能会更集中,所以选项C一定正确;因为去掉最高和最低分,极差有可能减小,所以选项D一定正确,故选:BCD10.在下列四棱雉中,底面为平行四边形,,,,,是四棱雉的顶点或棱的中点,则平面的有()A. B.C. D.〖答案〗AB〖解析〗对于A,设P为AB的中点,底面为平行四边形,连接,则,而,故,即四边形为平行四边形,故,而平面,平面,故平面,A正确;对于B,设P为AB的中点,底面为平行四边形,连接,则,而,故,即四边形为平行四边形,故,而平面,平面,故平面,B正确;对于C,设P为AE的中点,底面为平行四边形,连接,设交于H,连接,则,而,故,即四边形为平行四边形,故,又平面,平面,平面平面,假设平面,则,即在平面内过点B有两条直线和MN都平行,这是不可能的,故此时平面不成立,C错误;对于D,设底面为平行四边形,连接交于点H,交于G,则H为FN的中点,连接,由于B为MF的中点,故;又平面,平面,平面平面,假设平面,则,即在平面内过点B有两条直线和MN都平行,这是不可能的,故此时平面不成立,D错误;故选:AB11.是定义在上连续可导函数,其导函数为,下列命题中正确的是()A.若,则B.若,则C.若的图象关于点中心对称,则的图象关于直线轴对称D.若,的图象关于原点对称,则〖答案〗ACD〖解析〗A中,由,根据导数的运算法则,可得,所以A正确;B中,例如函数,可得,此时满足,但,所以B错误;C中,由的图象关于点中心对称,可得,两边同时取导数,可得,即,所以的图象关于直线轴对称,所以C正确;D中,由,令,可得,即,又由的图象关于原点对称,令,可得,所以,所以D正确.故选:ACD.12.已知双曲线:,点为双曲线右支上的一个动点,过点分别作两条渐近线的垂线,垂足分别为,两点,则下列说法正确的是()A.双曲线的离心率为B.存在点,使得四边形为正方形C.直线,的斜率之积为2D.存在点,使得〖答案〗AB〖解析〗对于A,由双曲线:,得,故,A正确;对于B,双曲线:的渐近线为,则四边形为矩形,又双曲线右顶点为,到直线的距离均为,故矩形为正方形,即存在点,即M为双曲线右顶点时,使得四边形为正方形,B正确;对于C,设,不妨设A在第一象限,B在第四象限,由于,故可得的方程为,联立,可得,则,同理,可得的方程为,联立,可得,则,故,而,故,C错误;对于D,由以上分析可知,同理,故,根据双曲线的对称性,不妨假设M在第一象限,则,故,令,将代入,即有,显然不可能,即双曲线上不存在点,使得,D错误,故选:AB.三、填空题13.已知直线与圆相切,则r的值为_______.〖答案〗〖解析〗由直线与圆相切,则,即,故〖答案〗为:.14.展开式中的系数是________.〖答案〗5〖解析〗由题意知项和展开式中的相乘出现项,的通项公式为,分别令可得项的系数为,故展开式中的系数是,故〖答案〗为:515.如图,高度均为3的封闭玻璃圆锥和圆柱容器内装入等体积的水,此时水面高度均为,若,记圆锥的底面半径为,圆柱的底面半径为,则________.〖答案〗##〖解析〗如图,作出圆锥的轴截面,设为水面,O为圆锥底面中心,为水面中心,则,则∽,故,故圆锥内水的体积为,圆柱内水的体积为,由,得,故,故〖答案〗为:.16.已知函数的图象与直线连续的三个公共点从左到右依次为,,,若,则________.〖答案〗〖解析〗令,则函数即为函数,的最小正周期为,最小正周期为,作出函数的大致图象,如图,则函数图象与直线连续的三个公共点,,,等价于的图象与直线连续的三个公共点,,,(连续的三个公共点从左到右排列)由题意不妨设,,位置如图中所示(三点位置可左右平移一个周期),即,关于直线对称,,由于,则,故,而,关于直线对称,故点横坐标为,将点横坐标代入,得,则,故〖答案〗为:四、解答题17.在中,角,,所对的边分别为,,,,.(1)求的面积;(2)若,求的周长.(1)由已知,在中有,故,即,即,而,所以,又,故的面积为.(2)由余弦定理,得,可得,所以,所以,即,所以的周长为3.18.如图,在三棱锥中,,,分别为,的中点,.(1)求证:;(2)若,,求二面角的余弦值.(1)证明:因为,分别为,的中点,所以,因为,所以,因为,,平面,所以平面,又因为平面,所以;(2)解:因为,,则,所以,因为,所以,因为,平面,所以平面,因为,,所以,以为轴,为轴,为轴,建立如图所示的空间直角坐标系,则,,,所以,,设平面的法向量为,则,所以,令,得到,平面法向量为所以,则根据法向量的朝向知二面角的余弦值为.19.如图,第个图形是由棱长为的正方体挖去棱长为的正方体得到的,记其体积为.(1)求证:;(2)求和:.(1)证明:棱长为的正方体的体积为,棱长为的正方体的体积为,所以;(2)解:由(1)可知,则,又,所以,即.20.已知椭圆:经过点,为椭圆的右焦点,为坐标原点,的面积为.(1)求椭圆的标准方程;(2)过点作一条斜率不为0的直线与椭圆相交于,两点(在,之间),直线与椭圆的另一个交点为,求证:点,关于轴对称.(1)解:因为的面积为,则有,解得,又因为在椭圆上,则,解得,所以椭圆的标准方程为;(2)证明:根据椭圆的对称性,欲证,关于轴对称,只需证,即证,设,,直线方程为,由消去得,所以,则因为所以,即,关于轴对称.21.迎“七一”党建知识竞赛,竞赛有两关,某学校代表队有四名队员,这四名队员若有机会参加这两关比赛,通过的概率见下表:队员第一关第二关甲乙丙丁比赛规则是:从四名队员中随机选出两名队员分别参加比赛,每个队员通过第一关可以得60分,且有资格参加第二关比赛,若没有通过,得0分且没有资格参加第二关比赛,若通过第二关可以再得40分,若没有通过,不再加分.两名参赛队员所得总分为该代表队的得分,代表队得分不低于160分,可以获得“党建优秀代表队”称号.假设两名参赛队员不相互影响.(1)求这次比赛中,该校获得“党建优秀代表队”称号的概率;(2)若这次比赛中,选中了甲乙两名队员参赛,记该代表队的得分为,求随机变量的分布列和期望.解:(1)记选出甲乙两名队员参赛为事件,选出甲乙、丙丁各一人参赛为事件,选出丙丁两名队员参赛为事件,活动“党建优秀代表队”称号为事件.则,,..(2)的可能取值为:0,60,100,120,160,200,,,,,,.所以随机变量的分布列为:06010012016

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