河南省濮阳市2023-2024学年高二上学期9月大联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1河南省濮阳市2023-2024学年高二上学期9月大联考数学试题注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在答题卡上.2.回答选择题时，选出每小题〖答案〗后，用铅笔把答题卡上对应题目的〖答案〗标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他〖答案〗标号.回答非选择题时，将〖答案〗写在答题卡上，写在本试卷上无效.3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1.已知空间向量，，且，则（）A.6 B.10 C.8 D.4〖答案〗A〖解析〗因为，所以，解得，则.故选：A.2.如图，设，若，则（）A. B.C. D.〖答案〗A〖解析〗由，得,由，得,所以，故选：A.3.若直线的方向向量为，平面的法向量为，则直线和平面的位置关系是（）A. B.C.或 D.〖答案〗A〖解析〗由，，，所以，即，所以.故选：A.4.已知平行六面体的各棱长均为1，，，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由已知可得，，又，所以，所以．故选：D．5.已知经过点的平面的法向量为，则点到平面的距离为（）A. B.2 C. D.〖答案〗D〖解析〗依题意，，所以点P到平面的距离为.故选：D.6.在平行六面体中，底面是边长为2的正方形，，，则异面直线与所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗在平行六面体中，，，，，则，而，且，于是因此，所以异面直线与所成角的余弦值为.故选：C.7.已知正四面体ABCD，M为BC中点，N为AD中点，则直线BN与直线DM所成角的余弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗B〖解析〗设该正面体的棱长为，因为M为BC中点，N为AD中点，所以，因为M为BC中点，N为AD中点，所以有，，根据异面直线所成角的定义可知直线BN与直线DM所成角的余弦值为，故选：B.8.正方体棱长为2，是棱的中点，是四边形内一点（包含边界），且，当三棱锥的体积最大时，与平面所成角的正弦值为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗如图，以A为坐标原点，AB，AD，所在直线分别为轴，建立空间直角坐标系，则，，，设，，则，由于为定值，要想三棱锥的体积最大，则F到底面ADE的距离最大，其中，所以当时，取得最大值，因为，所以的最大值为，所以，，平面的法向量，所以与平面所成角的正弦值为故选：A.二、多项选择题（共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.）9.已知，，，则下列结论正确的是（）A. B.C.为钝角 D.在方向上的投影向量为〖答案〗BD〖解析〗因为，所以，不垂直，A错，因为，所以，B对，因为，所以，所以不是钝角，C错，因为在方向上投影向量，D对，故选：BD.10.已知，，是空间的三个单位向量，下列说法正确的是（）A.若，，则B.若，，两两共面，则，，共面C.对于空间的任意一个向量，总存在实数，，，使得D.若是空间的一组基底，则也是空间的一组基底〖答案〗AD〖解析〗，，是空间的三个单位向量，由，，则，故A正确；，，两两共面，但是，，不一定共面，，，可能两两垂直，故B错误；由空间向量基本定理，可知只有当，，不共面，才能作为基底，才能得到，故C错误；若是空间的一组基底，则，，不共面，可知也不共面，所以也是空间的一组基底，故D正确．故选：AD.11.在正方体中，分别为线段上的动点，则下列结论正确的是（）A.平面B.直线与平面所成角的正弦值为定值C.平面∥平面 D.点到平面的距离为定值〖答案〗ACD〖解析〗设正方体的棱长为1，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图所示，则，设，，即，所以，设，，即，所以，对于A，因为，所以，所以，，因，平面，所以平面，所以A正确，对于B，因为平面，平面，所以，因为，，平面，所以平面，所以为平面的一个法向量，，设直线与平面所成角为，则不是定值，所以B错误，对于C，由选项A可知平面，所以为平面的一个法向量，因为，所以，所以，因为，平面，所以平面，所以平面∥平面，所以C正确，对于D，因为，所以点到平面的距离为，为定值，所以D正确，故选：ACD.12.如图，已知正方体的棱长为2，点为的中点，点为正方形上的动点，则（）A.满足平面的点的轨迹长度为B.满足的点的轨迹长度为C.存在唯一的点满足D.存在点满足〖答案〗AC〖解析〗对于A，取的中点，的中点，又点为的中点，由正方体的性质知，，，，所以平面平面，又平面，平面，故点的轨迹为线段，故A正确；以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，则，，设，且，，，，对于B，，即，又，，则点的轨迹为线段，,且，故B错误；对于C，显然，只有时，，即，故存在唯一的点满足，故C正确；对于D，点关于平面的对称点的为，三点共线时线段和最短，故，故不存在点满足，故D错误.故选：AC.三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.13.试写出一个点的坐标：__________，使之与点，三点共线．〖答案〗（〖答案〗不唯一）〖解析〗根据题意可得，设，则设，即故，不妨令，则，故．故〖答案〗为：.14.已知､是空间相互垂直的单位向量，且，，则的最小值是___________.〖答案〗3〖解析〗因为互相垂直，所以，，当且仅当时，取得最小值，最小值为9，则的最小值为3.故〖答案〗为：315.已知梯形ABCD和矩形CDEF．在平面图形中，，．现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足面ABCD垂直于面CDEF．设，，若面DBN，则实数的值为______．〖答案〗3〖解析〗易得，又面面CDEF，面ABCD面CDEF，又面，则面CDEF，又面CDEF，则，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，又，同理可，设面DBN的法向量为，则，令，则，又，又面DBN，则，解得.故〖答案〗为：3.16.《九章算术》中的“商功”篇主要讲述了以立体几何为主的各种形体体积的计算，其中堑堵是指底面为直角三角形的直棱柱.在堑堵中，，M是的中点，，N，G分别在棱，AC上，且，，平面MNG与AB交于点H，则___________，___________.〖答案〗①6②-42〖解析〗如图，延长MG，交的延长线于K，连接KN，显然平面，平面，因此，平面MNG与AB的交点H，即为KN与AB交点，在堑堵中，，则，即，又，则，而，于是得，所以，因，，所以.故〖答案〗为：6；-42.四、解答题：本题共6小题，70分，其中第17题10分，其余均12分.17.如图所示，在三棱锥中，，，两两垂直，，，，，，分别为，，的中点，以，，方向上的单位向量为基底，求．解：令，，方向上的单位向量分别为，，，则是单位正交基底．因为，所以，所以的长度为．18.如图所示，已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，连接PA，PB，PC，PD，点E，F，G，H分别为，，，的重心．求证：E，F，G，H四点共面．解：如图，分别连接PE，PF，PG，PH并延长交AB，BC，CD，AD于点M，N，Q，R，连接EG，MQ，EF，EH．由于E，F，G，H分别是所在三角形的重心，所以M，N，Q，R分别为所在边的中点，即，，且；所以顺次连接M，N，Q，R所得的四边形为平行四边形，且有，，，．由于四边形MNQR为平行四边形，可得由于三个向量有公共点E，根据空间向量的共面定理可得向量共面；所以四点共面19.如图，四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD，，E、F分别是PC、AD中点．（1）求直线DE和PF夹角的余弦值；（2）求点E到平面PBF的距离．解：（1）因PD⊥平面ABCD，ABCD为正方形，则PD、DA、DC三线两两互相垂直，如图，以点D为原点，DA为x轴，DC为y轴，DP为z轴建立空间直角坐标系D-xyz，则，则直线DE的方向向量，直线PF的方向向量，，所以直线DE和PF夹角的余弦值为.（2）由（1）知，，，，设平面PBF的法向量，则，令，得，所以点E到平面PBF的距离为.20.如图所示，四棱锥中，底面为菱形，点在底面的投影点恰好是菱形对角线交点，点为侧棱中点，若，，．（1）求证：平面⊥平面；（2）点在线段上，且，求二面角的平面角的正弦值．解：（1）由题，平面，所以，因为底面为菱形，，，所以，在中，，，∴，因此，是中点，可得：，同理：，∵，∴平面，又因为平面，所以平面平面．（2）以，，分别为，，轴建系，则，，，，，，设平面的法向量为，则，即，可取，设平面的法向量为，则，即，可取，所以，设二面角的平面角为，∴．21.如图，直三棱柱中，是边长为的正三角形，为的中点．（1）证明：平面；（2）若直线与平面所成的角的正切值为，求平面与平面夹角的余弦值．解：（1）是正三角形，为的中点，．又是直三棱柱，平面ABC，．又，平面．（2）连接，由（1）知平面，∴直线与平面所成的角为，．是边长为2的正三角形，则，．在直角中，，，．建立如图所示坐标系，则，，，，．，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．，，设平面的法向量为，则，即，解得平面的法向量为．设平面与平面夹角为，则．平面与平面夹角的余弦值为．22.长方形中，，M是中点（图1），将沿折起，使得（图