广东省深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE1广东省深圳市宝安区2024届高三上学期10月调研数学试题一、单选题1.若集合，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由可得，即，故，故选：D.2.设，是的共轭复数，则复数（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，则，由可得，即，所以，可得，所以．故选：A.3.平面向量，满足，，，则在上投影向量为（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗，其中，所以，解得，则在上投影向量为.故选：C.4.已知圆锥曲线的离心率为，则（）A. B. C. D.〖答案〗D〖解析〗由圆锥曲线的离心率大于1，可知该圆锥曲线为双曲线，且，即，又，所以.故选：D.5.已知函数若在上单调递减，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗C〖解析〗令函数，.要满足条件，必须在上单调递减，在上单调递减，且.易知在上单调递减.，令,即,解得,令,即,解得,可得在上单调递增，在上单调递减，所以.，令,即,解得,令,即,解得,则当时，，当时，，要使，则.所以的取值范围是.故选:C.6.已知过点P与圆相切的两条直线的夹角为，设过点P与圆相切的两条直线的夹角为，则（）A. B. C. D.〖答案〗C〖解析〗由，得，则圆心，半径，由，得，则圆心，半径，设过点的直线与圆切于点，与圆切于点，连接，则，因为过点P与圆相切的两条直线的夹角为，所以，则，所以，在中，，，所以，所以，，因为，所以，即，故选：C7.设数列的前项和为.记命题：“数列为等比数列”，命题：“，，成等比数列”，则是的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件〖答案〗D〖解析〗若数列为等比数列，设公比为，则当时，所以，，显然，所以，，成等比数列，当时，所以，，所以，但是当且当为正偶数时，此时，，则，，不成等比数列，故充分性不成立，若，，成等比数列，当时，，成等比数列，当时，，成等比数列，不妨令，，，，，，显然满足，，成等比数列，但是，，，，，不成等比数列，故必要性不成立，所以是既不充分也不必要条件.故选：D.8.我国人脸识别技术处于世界领先地位.所谓人脸识别，就是利用计算机检测样本之间的相似度，余弦距离是检测相似度的常用方法.假设二维空间中有两个点，，O为坐标原点，余弦相似度为向量，夹角的余弦值，记作，余弦距离为.已知，，，若P，Q的余弦距离为，，则Q，R的余弦距离为（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗由题意得则，又，∴，∴，，，故选：二、多选题9.下列说法正确的有（）A.从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是0.25B.已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则这组数据的方差是5C.数据26，11，14，31，15，17，19，23的50%分位数是18D.若样本数据，，…，的标准差为4，则数据，，…，的标准差为16〖答案〗AC〖解析〗对于A：从40个个体中随机抽取一个容量为10的样本，则每个个体被抽到的概率都是，故A正确；对于B：已知一组数据1，2，m，6，7的平均数为4，则，这组数据的方差为，故B错误；对于C：这组数据从小到大排列为：11，14，15，17，19，23，26，31，共8个，故其50%分位数为第4个数17和第5个数19的平均数，为18，故C正确；对于D：若样本数据，，…，的标准差为4，则方差为16，故数据，，…，的方差为，标准差为8.故D错误.故选：AC.10.星等是衡量天体光度的量.为了衡量星星的明暗程度，古希腊天文学家喜帕恰斯（又名依巴谷）在公元前二世纪首先提出了星等这个概念，例如，1等星的星等值为1，等星的星等值为.已知两个天体的星等值，和它们对应的亮度，满足关系式，关于星等下列结论正确的是（）A.星等值越小，星星就越亮B.1等星的亮度恰好是6等星的100倍C.若星体甲与星体乙的星等值的差小于2.5，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于D.若星体甲与星体乙的星等值的差大于10，则星体甲与星体乙的亮度的比值小于〖答案〗ABD〖解析〗对选项A，若，则，即，，，，所以星等值越小，星星就越亮，故A正确；对选项B，当，时，，则，B正确；对选项C，若，则，即，C错误；对选项D，若，则，即，D正确.故选：ABD.11.已知函数的定义域为，且，，为偶函数，则（）A.为偶函数 B.C. D.〖答案〗BCD〖解析〗对于A，因为的定义域为R，关于原点对称，令，则，故，则，令，则，又不恒为0，故，所以为奇函数，故A错误；对于B，因为为偶函数，所以，所以关于对称，所以，故B正确；对于C，因为为偶函数，所以，令，则，故，令，则，故，又为奇函数，故，所以，即，故C正确；对于D，由选项C可知，所以，故的一个周期为6，因为，所以，对于，令，得，则，令，得，则，令，得，令，得，令，得，所以，又，所以由的周期性可得：，故D正确.故选：BCD.12.如图，圆锥内有一个内切球，球与母线分别切于点.若是边长为2的等边三角形，为圆锥底面圆的中心，为圆的一条直径（与不重合），则下列说法正确的是（）A.球的表面积与圆锥的侧面积之比为B.平面截得圆锥侧面的交线形状为抛物线C.四面体的体积的取值范围是D.若为球面和圆锥侧面的交线上一点，则最大值为〖答案〗ABD〖解析〗对选项A，设圆锥的底面半径为，球的半径为，圆锥的母线长为，因为是边长为2的等边三角形，则，，连接，，，由条件可知，，，且，则，所以，则，即，所以球的表面积，圆锥的侧面积，所以球的表面积与圆锥的侧面积之比为，故选项A正确；因为平面与母线VB平行，所以截得圆锥侧面的交线形状为抛物线，故选项B正确；对选项C，由题意是的中点，所以四面体的体积等于，设点到平面的距离为，当，处于，时，，当，处于弧中点时，最大，为1，所以，如图作交于，由对选项A可知，，则，，所以，从而，所以的面积，所以，因为，所以，故，所以四面体的体积的取值范围是，故选项C不正确；对选项D，由题意得球面和圆锥侧面的交线为以为直径的圆，以为坐标原点，所在直线为轴，为轴，建立空间直角坐标系，则，，设，则，，所以，所以即，所以当时，有最大值，故选项D正确.故选：ABD.二、填空题13.将一些小于10的正整数填入如下的方格中，使得每行和每列中的数的乘积都等于10，共有__________种不同的填法．〖答案〗〖解析〗问题等价于填入数字1，1，2，5，满足每行每列都有一个2和一个5，先填入2，共有种填法，对于其中任一给定的2的填法，5仅有种填法，故共有种填法．故〖答案〗为：14.中国客家博物馆坐落于有“世界客都”之称的广东省梅州市城区，是一间收藏、研究、展示客家历史文化的综合性博物馆，其主馆是一座圆台形建筑，如图.现有一圆台，其上、下底面圆的半径分别为3米和6米，母线长为5米，则该圆台的体积约为______立方米.（结果保留整数）〖答案〗264〖解析〗圆台的上、下底面圆的半径分别为3米和6米，母线长为5米，由题意可得该圆台的高为米，则该圆台的体积为立方米.故〖答案〗为：264.15.先将函数的图象向左平移个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，所得图象与函数的图象关于x轴对称，若函数在上恰有两个零点，且在上单调递增，则的取值范围是________．〖答案〗〖解析〗函数的图象向左平移个单位长度，得到的图象，再将图象上所有点的横坐标变为原来的，纵坐标不变，得到的图象，因为函数的图象与的图象关于x轴对称，所以，因为，所以，又因为在恰有2个零点，且，，所以，解得，令，，得，，令，得在上单调递增，所以，所以，又，解得．综上所述，，故的取值范围是．故〖答案〗为：16.正方体的棱长为2，底面内（含边界）的动点到直线的距离与到平面的距离相等，则三棱锥体积的取值范围为______.〖答案〗〖解析〗根据题意可知，连接，在底面内作于点，如下图所示：由正方体性质可知即为到直线的距离，为到平面的距离，所以；在底面内，由抛物线定义可知点的轨迹是以为焦点，为准线的抛物线的一部分，截取底面，分别以向量为轴的正方向建立平面直角坐标系，如下图所示：又正方形边长为2，易知抛物线过点，，且对称轴为轴，设抛物线方程为，代入两点坐标可得，解得所以的轨迹抛物线方程为，以为坐标原点，分别以为轴的正方向建立空间直角坐标系，如下图所示：则，所以，设，平面的一个法向量为，则，令，解得，即；，则点到平面的距离为，令，易得，所以，易知在三棱锥中，底面是边长为的正三角形，所以，所以三棱锥的体积；即三棱锥体积的取值范围为.故〖答案〗为：四、解答题17.的角的对边分别为的面积为.（1）若，求的周长；（2）设为中点，求到距离的最大值.解：（1）因为，得①，又因为的面积为，所以有②，显然，由①②得，所以，代入得，在中，因为，所以，得，所以的周长为.（2）因为为边上的中点，所以，因为，所以，因为，当且仅当时取等号，所以.设点到直线距离为，因为，所以，即点到直线距离最大值为.18.如图，在四棱锥中，底面ABCD是直角梯形，，，底面ABCD，点E为棱PC的中点，．（1）证明：平面PAD；（2）在棱PC上是否存在点F，使得二面角的余弦值为，若存在，求出的值，若不存在，请说明理由．（1）证明：在PD上找中点G，连接AG，EG，如图：∵G和E分别为PD和PC的中点，∴，且，又∵底面ABCD是直角梯形，，，∴且．即四边形ABEG为平行四边形，∴，∵平面PAD，平面PAD，∴平面PAD；（2）解：因为平面，平面，所以，又，以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，可得，，，，，由F为棱PC上一点，设，，设平面FAD的法向量为，由可得，解得：，令，则，则，取平面ADC的法向量为，则二面角的平面角满足：,解得：，解得：或（舍去），故存在满足条件的点F，此时．19.已知函数.（1）讨论的单调性；（2）证明：当时，.（1）解：因为，所以，当时，，所以的单调减区间是，当时，.令得，令得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是.（2）证明：由（1）可得，当时，取得极大值，也是最大值，所以.设，则，令得，令得，所以的单调递减区间是，单调递增区间是，所以，即.因为，所以，所以，所以，所以命题得证.20.给定数列，若满足且，且对于任意的，都有，则称数列为“指数型数列”．1已知数列的通项公式，证明：为“指数型数列”；2若数列满足：，；①判断数列是否为“指数型数列”，若是给出证明，若不是说明理由；②若数列的前项和为，证明：.（1）证明：对于数列，任意，，所以是指数型数列.（2）①解：数列是“指数型数列”，证明如下：，，所以数列是等比数列，，，故数列“指数型数列”．②证明：由①可得，；故.21.人口老龄化加剧的背景下，我国先后颁布了一系列生育政策，根据不同政策要求，分为两个时期Ⅰ和Ⅱ．根据部分调查数据总结出如下规律：对于同一个家庭，在Ⅰ时期内生孩人，在Ⅱ时期生孩人，（不考虑多胞胎）生男生女的概率相等．服从0-1分布且．分布列如下图：012现已知一个家庭在Ⅰ时期没生孩子，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了1个女孩，则在时期生2个孩子概率为；若在Ⅰ时期生了1个男孩，则在Ⅱ时期生2个孩子概率为，样本点中Ⅰ时期生孩人数与Ⅱ时期生孩人数之比为（针对普遍家庭）．（1）求的期望与方差；（2）由数据组成的样本空间根据分层随机抽样分为两层，样本点之比为，分别为与，，总体样本点与两个分层样本点均值分别为，，，方差分别为，，，证明：，并利用该公式估算题设样本总体的方差．解：（1）由分布列知：，即，事件分别表示Ⅰ时期没生孩子、生了1个女孩、生了1个男孩，事件表示Ⅱ时期生2个孩子，则，又，所以，即，则，综上，分布列如下：012..（2）由题意，，则，，而，上式，又，且，上式.综上，得证.由题设知：，，，，则总体均值，综上，题设样本总体的方差.22.已知椭圆C：的离心率为，两焦点与短轴两顶点围成