2023-2024学年宁夏石嘴山市高二上册期中考试数学模拟试题（含解析）

2023-2024学年宁夏石嘴山市高二上册期中考试数学模拟试题一、单项选择题：本题共八小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求.1．椭圆的焦距为（

）A．4 B．6 C．8 D．102．已知圆与圆相交，则圆C1与圆C2的公共弦所在的直线的方程为A．x+2y+1=0 B．x+2y﹣1=0 C．x﹣2y+1=0 D．x﹣2y﹣1=03．已知A为抛物线C:y2=2px（p>0）上一点，点A到C的焦点的距离为12，到y轴的距离为9，则p=（

）A．2 B．3 C．6 D．94．以双曲线的右焦点为圆心，与双曲线的渐近线相切的圆的方程为（

）A． B．C． D．5．在三棱锥中，E为OA的中点，，若，，，，则（

）A． B． C． D．6．设x，，向量，，，且，，则（

）A． B． C．3 D．7．、是椭圆的左、右焦点，点在椭圆上，，过作的角平分线的垂线，垂足为，则的长为A．1 B．2 C．3 D．48．已知椭圆C：，F是椭圆的右焦点，A是椭圆的右顶点，过原点O的直线l交椭圆C于M，N两点，若直线MF平分线段AN，则椭圆C的离心率为（

）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共四小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求的，全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分.9．已知圆与直线，下列选项正确的是（

）A．圆的圆心坐标为 B．直线过定点C．直线与圆相交且所截最短弦长为 D．直线与圆可以相切10．下列说法正确的是（

）A．直线的倾斜角为B．若直线经过第三象限，则，C．是直线与直线垂直的必要不充分条件D．存在a使得直线与直线平行11．正方体的棱长为1，若动点P在线段，则可能的取值是（

）A． B． C． D．212．已知双曲线的左右两个顶点分别是A1，A2，左右两个焦点分别是F1，F2，P是双曲线上异于A1，A2的任意一点，给出下列命题，其中是真命题的有（

）A． B．直线的斜率之积等于定值C．使为等腰三角形的点有且仅有4个 D．焦点到渐近线的距离等于b三、填空：本题共四小题，每小题5分，共20分.13．与直线垂直，且在y轴上的截距为4的直线的方程是.14．已知为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，则直线AB的斜率为.15．已知两点A(－2,0)，B(0,2)，点C是圆x2＋y2－2x＝0上任意一点，则△ABC的面积最小值是．16．已知空间向量满足，且的夹角为，为空间直角坐标系的原点，点，满足，，则的面积为.四、解答题：本题共六小题，第17题10分，第18-22题每小题12分，共70分.17．已知圆C经过点A（3，1）、B（－1，3），且它的圆心在直线上.(1)求圆C的标准方程；(2)若点D为圆C上任意一点，且点E（3，0），求线段ED中点M的轨迹方程.18．设O为坐标原点，直线与抛物线C：交于A，B两点，若.(1)求抛物线C的方程；(2)若斜率为的直线l过抛物线C的焦点，且与抛物线C交于D，E两点，求的值.19．已知双曲线离心率为，且过点，过双曲线的右焦点且倾斜角为的直线交双曲线于两点，为坐标原点，为左焦点.(1)写出直线的方程；(2)求双曲线的标准方程；(3)求的面积.20．如图，在四棱锥中，底面ABCD，，，，，E为PD的中点，F在线段PC上，且.(1)求证：平面PCD；(2)求CB与平面AEF所成角的正弦值.(3)求点C到平面AEF的距离.21．如图，在三棱柱中，侧面正方形的中心为点M，平面，且，，点E满足.

(1)若，求证面；(2)若平面与平面的夹角的余弦值为，求的值.22．已知椭圆E:的一个焦点为,长轴与短轴的比为2:1.直线与椭圆E交于P､Q两点,其中为直线的斜率.(1)求椭圆E的方程;(2)若以线段PQ为直径的圆过坐标原点O,问:是否存在一个以坐标原点O为圆心的定圆O,不论直线的斜率取何值,定圆O恒与直线相切?如果存在,求出圆O的方程及实数m的取值范围;如果不存在,请说明理由.1．C【分析】将椭圆方程化为标准方程即可得，由焦距定义即可得结果.【详解】根据椭圆方程可得该椭圆的标准方程为，所以，即，可得；即焦距为.故选：C2．B【分析】对两圆的方程作差即可得出两圆的公共弦所在的直线方程．【详解】由题意，因为圆与圆相交，所以两圆的方程作差得6x+12y﹣6=0，即公式弦所在直线方程为x+2y﹣1=0故选：B．3．C【分析】利用抛物线的定义建立方程即可得到答案.【详解】设抛物线的焦点为F，由抛物线的定义知，即，解得.故选：C.【点晴】本题主要考查利用抛物线的定义计算焦半径，考查学生转化与化归思想，是一道容易题.4．C【分析】求出双曲线的右焦点坐标和渐近线方程，进而求出圆的半径，进而可得结果.【详解】，其中，右焦点渐近线方程为：，右焦点到直线的距离为：圆的方程为：故选：C本题考查了双曲线的方程和几何性质，圆的标准方程，考查了运算求解能力，属于一般题目.5．B【分析】由已知结合向量的线性表示，以为基底表示，再由空间向量基本定理可求．【详解】由题意得，，，，，，，．，．故选：B．6．D【分析】根据空间向量的平行、垂直关系可得，进而可求，结合空间向量的模长公式运算求解.【详解】因为，，则，解得，则，，可得，所以.故选：D.7．A【详解】延长交延长线于N,则选:A.涉及两焦点问题，往往利用椭圆定义进行转化研究，而角平分线性质可转化到焦半径问题，两者切入点为椭圆定义.8．B【分析】设出直线l的方程，联立椭圆方程，求出点的坐标，表达出直线的方程及线段AN的中点，将线段AN的中点代入直线中，求出，得到离心率.【详解】由题意得，设直线l的方程为，与联立可得，解得，不妨令点横坐标为正，则，，则，，故直线的方程为，即，其中线段AN的中点为，将其代入中，可得，化简得，,因为，即，故离心率为.故选：B9．ABC【分析】根据圆的方程直接求出圆心判断A，直线恒过定点判断B，利用垂径定理结合圆的性质求出最短弦长判断C，利用直线恒过圆内定点判断D.【详解】对于A，圆的圆心坐标为，正确；对于B，直线方程即，由可得，所以直线过定点，正确；对于C，记圆心，直线过定点，则，当直线与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，此时直线截圆所得的弦长最小，此时弦长为，正确；对于D，因为，所以点在圆内，直线与圆必相交，错误.故选：ABC10．AD【分析】根据斜率与倾斜角的关系可判定A，根据直线与一次函数的关系可判定B，根据直线平行与垂直的充要条件可判定C、D.【详解】对于A项，设直线的倾斜角为，由题意可知其斜率为，故A正确；对于B项，直线过第三象限，可以，，故B错误；对于C项，两直线若垂直，则，反之当时，两直线方程分别为，显然互相垂直，即是直线与直线垂直的充要条件，故C错误；对于D项，两直线若平行，则或，且或，所以当时能使两直线平行，故D正确.故选：AD.11．BC【分析】利用基底法结合数量积公式计算即可.【详解】以为基底，分别记为，易知，设，则.易知BC符合题意.故选：BC12．BDA.由双曲线的定义判断；B.设，利用斜率公式求解判断；C.利用双曲线的对称性判断；D.利用点到直线的距离公式求解判断；【详解】A.因为，故错误；B.设，则，所以，故正确；C.若点P在第一象限，若，为等腰三角形；若，为等腰三角形，由双曲线的对称性知，点有且仅有8个，故错误；D.不妨设焦点坐标为：，渐近线方程为，则焦点到渐近线的距离，故正确；故选：BD本题主要考查双曲线的定义和几何性质，还考查了运算求解的能力，属于中档题.13．【分析】由直线垂直直接确定直线的斜率，再由斜截式写出直线的方程即可.【详解】由题设，与垂直的直线斜率，又在y轴上的截距为4，∴直线的方程为.故14．##0.5【分析】设出点的坐标并代入抛物线的方程，即可求出直线AB的斜率.【详解】由题意，为抛物线上的两点，且线段AB中点的纵坐标为2，

设，线段AB中点为，∴，，∴即∴直线AB的斜率为：故15．【分析】求出圆心到直线AB的距离为d＝，圆上任意一点到直线AB的最小距离为，这个距离就是三角形的高.【详解】直线AB的方程为x－y＋2＝0，圆心到直线AB的距离为d＝,所以，圆上任意一点到直线AB的最小距离为S△ABC＝.＝3－.故答案为3－.与圆有关的题很多情况下是利用数形结合来解决的，联立的时候较少；在求圆上的点到直线或者定点的距离时，一般是转化为圆心到直线或者圆心到定点的距离，再加减半径，分别得到最大值和最小值；涉及到圆的弦长或者切线长时，经常用到垂径定理．16．【分析】根据向量的运算可得、、，代入平面向量夹角公式计算即的值，再计算的值，由三角形面积公式即可求解.【详解】因为，所以，，所以，，所以，即，所以，所以的面积为，故答案为.17．(1)；(2).【分析】（1）首先设出方程，将点坐标代入得到关于参数的方程组，通过解方程组得到参数值，从而确定其方程；（2）首先设出点M的坐标，利用中点公式得到点D坐标，代入圆的方程整理化简得到的中点M的轨迹方程.【详解】（1）由题可设圆C的标准方程为，则，解之得，所以圆C的标准方程为；（2）设M（x，y），D，则，由E(3，0)及M为线段ED的中点得：，解得又点D在圆C：上，所以有，化简得：．故所求的轨迹方程为．18．(1)(2)【分析】（1）根据题意分析可得，代入方程运算求解；（2）根据题意可得，联立方程，利用韦达定理结合抛物线的定义分析求解.【详解】（1）因为与抛物线交于A，B，且，根据对称性可得，，代入得，解得，所以抛物线C的方程.（2）由（1）知抛物线的焦点为，可知直线的方程为，设，，联立方程，消去y得，则，可得，所以.19．(1)(2)(3)【分析】（1）利用已知条件求出双曲线的右焦点，然后利用点斜式求解即可；（2）由（1）条件求出即可；（3）联立直线与双曲线方程，利用韦达定理计算即可.【详解】（1）由题意设双曲线方程为，由题意可得，所以，又直线斜率，∴直线的方程为：（2）由（1）知，所以，故双曲线方程为：；（3）由题意联立，消元整理得：，由，设，，∴，.20．(1)证明见解析(2)(3)【分析】（1）由线面垂直得到线线垂直，进而证明线面垂直，得到，结合三线合一得到，证明出结论；（2）建立空间直角坐标系，写出点的坐标，设，由求出的坐标，进而求出平面AEF的法向量，利用线面角的正弦公式求出答案；（3）在（2）的基础上，利用点到平面距离公式求出答案.【详解】（1）∵面，平面，∴，又∵，，平面，∴面，∵平面，∴又∵E是中点，，∴，∵，平面，∴面PCD；（2）取BC中点G，连接AG，因为，，所以，因为，所以四边形为平行四边形，故，因为，所以，以A为原点，以AG所在直线为x轴，以AD所在直线为y轴，以AP所在直线为z轴建立如图所示坐标系.所以，，，，，设，由得，即，解得，，，∴，，，设平面AEF的法向量为，由，令得，，∴，∵，∴；（3），平面AEF的法向量为，∴，故点C到平面AEF的距离为21．(1)证明见解析(2)或【分析】（1）根据几何体特征，由中位线定理利用线面平行的判定定理即可证明出结论；（2）建立以M为原点的空间直角坐标系，利用空间向量分别求得平面与平面的法向量，再由余弦值即可求得或.【详解】（1）因为，，可得点E是的中点，又因为M是的中点，所以，又面，面，所以面.（2）因为是正方形，所以，且平面，平面，所以两两垂直，以M为原点，，，的方向分别为x，y，z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系，如下图所示：

由题意知，，则，，，，，，设平面的法向量为，则，令，可得，即平面的法向量为，因为，所以，则，，设面的法向量为，则，令，可得法向量为，所以，因为平面与平面所成角的余弦值为，所以，可得，则或22．(1)(2)存在,.的取值范围是（1）根据题意直接计算出得到答案.（2）设直线OP的方程为:点的坐标为,则,联立方程组，设坐标原点O到直线的距离为d,则有，得到，计算得到答案.【详解】(1)由已知得:解得:椭圆E的方程为(2)假设存在定圆O,不论直线的斜率k取何值时,定圆O恒与