2023-2024学年河南省信阳市高三第一次教学质量检测数学试题（含解析）

2023-2024学年河南省信阳市高三第一次教学质量检测数学模拟试题本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．考生作答时，将答案答在答题卡上，在本试卷上答题无效．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．注意事项：1．答题前，考生务必将本人的姓名、准考证号等考生信息填写在答题卡上，并用2B铅笔将准考证号填涂在相应位置．2．选择题答案使用2B铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号；非选择题答案使用0.5毫米的黑色墨水签字笔书写，字体工整、笔迹清楚．3．请按照题号在各题的答题区域（黑色线框）内作答，超出答题区域书写的答案无效．4．保持卡面清洁，不折叠，不破损．第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．若集合，，则（

）A．或 B．或C． D．2．已知和均为等差数列，，，，则数列的前50项的和为（

）A．5000 B．5050 C．5100 D．51503．已知函数，则在区间上存在极值的一个充分不必要条件是（

）A． B．C． D．4．已知函数在上单调递增，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．5．某企业在生产中为倡导绿色环保的理念，购人污水过滤系统对污水进行过滤处理，已知在过滤过程中污水中的剩余污染物数量N（mg/L）与时间t（h）的关系为，其中为初始污染物的数量，k为常数．若在某次过滤过程中，前2个小时过滤掉了污染物的30%，则可计算前6小时共能过滤掉污染物的（

）A．49% B．51% C．65.7% D．72.9%6．已知关于的不等式的解集为，其中，则的最小值为（

）A．－4 B．4 C．5 D．87．已知函数，则不等式的解集是（

）A． B． C． D．8．已知是自然对数的底数，若，则有（

）A． B． C． D．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．9．函数的大致图象不可能为（

）A． B． C． D．10．四个实数，2，x，y按照一定顺序可以构成等比数列，则xy的可能取值有（

）A． B． C． D．11．已知，，且，则不正确的是（

）A． B． C． D．12．函数及其导函数的定义域均为R，且是奇函数，设，，则以下结论正确的有（

）A．函数的图象关于直线对称B．若的导函数为，定义域为R，则C．的图象存在对称中心D．设数列为等差数列，若，则第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．若命题“，”为假命题，则实数的取值范围是.14．已知，，则．15．若函数与的图象在一个公共点处的切线相同，则实数．16．已知定义在上的连续函数满足：①在上单调

②③对恒成立

④对恒成立若，，，，记与形成的封闭图形的面积为，，则满足的最小的n的值为．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．等比数列中，．（1）求的通项公式；（2）记为的前项和．若，求．18．已知函数，且满足.（1）求函数的定义域及a的值；（2）若关于x的方程有两个不同的实数解，求t的取值范围.19．已知函数（）．(1)若，求不等式的解集；(2)若，，求的最小值．20．相应国家提出的“大众创业，万众创新”的号召，小王大学毕业后决定利用所学专业进修自主创业.经过市场调研，生产某小型电子产品需投入年固定成本2万元，每生成x万件，需另投入流动成本W（x）万元，在年产量不足4万件时，W（x）=x3+2x.在年产量不小于4万件时，W（x）=7x+-27.每件产品售价6元.通过市场分析，小王生产的商品能当年全部售完.（1）写出年利润P（x）（万元）关于年产量x（万件）的函数解析式.（年利润=年销售收入-固定成本-流动成本）（2）年产量为多少万件时，小王在这一商品的生产中所获利润最大？最大利润是多少？21．已知数列中，(1)证明：数列是等差数列，并求数列的通项公式；(2)设，数列的前项和为，若恒成立，试求实数的取值范围.22．已知函数，其中为非零实数.(1)讨论的单调性；(2)若有两个极值点，且，证明.1．B【分析】分别解对数不等式、一元二次不等式，求集合的并集即可.【详解】因为，或，所以或.故选：B.2．B【分析】由题设易知为等差数列，结合已知求公差，应用等差数列前n项和公式求和即可.【详解】由题设也为等差数列，且公差为、公差的和，又，，故，所以前50项和为.故选：B3．A【分析】根据极值的定义，结合充分不必要条件的性质进行判断即可.【详解】，当时，单调递减，当时，单调递增，因此是函数的极大值点，要想在在区间上存在极值，只需，显然四个选项中，只有能推出，但是推不出，故选：A4．C【分析】根据分段函数每段递增，以及左边一段的最高点不高于右边一段的最低点，列不等式组求解即可.【详解】函数在上单调递增，解得故选：C.5．C【分析】根据给定的函数模型，结合已知数据列出方程求解作答.【详解】依题意，前2个小时过滤后剩余污染物数量为，于是，解得，因此前6小时过滤后剩余污染物数量为，所以前6小时共能过滤掉污染物的.故选：C6．C【分析】根据不等式的解集求出的值和的取值范围，在代入中利用对勾函数的单调性求出它的最小值.【详解】由的解集为，则，且，是方程的两根，由根与系数的关系知，解得，，当且仅当时等号成立，故，设，函数在上单调递增，所以所以的最小值为5.故选：C7．A【分析】构造函数，判断的单调性和奇偶性，由此求得不等式的解集.【详解】，由于，所以的定义域为，，所以是奇函数，当时，为增函数，为增函数，所以是增函数，由是奇函数可知，在上单调递增，由得，即，则，解得，所以不等式的解集是.故选：A给定一个不等式以及函数解析式的题目，要考虑函数的单调性、奇偶性、定义域等基本性质来进行解题.是否要构造函数，构造什么类型的函数，关键是要根据已知函数的结构，选择合适的构造方法.8．A【分析】由条件变形为，令，利用导数法求解.【详解】解：因为，所以，令，则，当时，，当时，，又因为，所以，即，又因为，且递减，所以，故选：A9．BCD【分析】易得函数为偶函数，再结合对数函数的性质即可得解.【详解】函数的定义域为，因为，所以函数为偶函数，当时，为减函数，且过定点，故函数的大致图象不可能为BCD选项.故选：BCD.10．ABD【分析】根据题意，结合等比数列的性质，分情况讨论，即可得到结果.【详解】因为等比数列所有奇数项符号相同，所有偶数项符号也相同，当对应等比数列的第一项与第二项时，则第三，四项分别为，此时，当对应等比数列的第一项与第四项时，此时，当对应等比数列的第三项与第四项时，则第一，二项分别为，此时，当对应等比数列的第三项与第二项时，此时，当对应等比数列的第二项与第三项时，此时，当对应等比数列的第二项与第一项时，则第三，四项分别为，此时，当对应等比数列的第四项与第三项时，则第一，二项分别为，此时，当对应等比数列的第四项与第一项时，此时，故选：ABD11．ACD【分析】由基本不等式及不等式的性质判断A，B；由基本不等式“1”的妙用判断C；通过构造，，由导数得出判断D．【详解】对于A，因为，，所以，即，当且仅当时，等号成立，故A错误；对于B，，由A得，，所以，故B正确；对于C，，当且仅当，即时，等号成立，因为，故C错误；对于D，，，设，，则，所以在上单调递减，即，所以，故D错误；故选：ACD．12．BCD【分析】A.由导数的几何意义及是奇函数得到是偶函数判断；B.由的对称性，为奇函数判断；C.由，结合为奇函数判断；D.由C得到时，，再结合等差数列性质判断.【详解】对A，由导数的几何意义及的对称性，在和处的切线也关于原点对称，其斜率总相等，故是偶函数，对称轴为，A错；对B，由的对称性，在和处的切线关于纵轴对称，其斜率互为相反数，故为奇函数，又定义域为，B对；对C，，由为奇函数知为奇函数，图像关于对称，可以看作由按向右移动4个单位，再向上平移4个单位而得，所以的图象存在对称中心，故C对；对D，由C选项知，当时，，由等差数列性质，同理，…，故，D正确.故选：BCD13．【分析】由原命题是假命题知它的否定命题是真命题，由此求出实数的取值范围．【详解】“，”是假命题，则它的否定命题：“，”是真命题；所以,，恒成立，所以，即实数的取值范围是．故．14．##【分析】由对数与指数的互化可得出，再利用指数幂的运算性质可求得的值.【详解】由可得，所以，.故答案为.15．-1或0【分析】设切点的横坐标为，根据切点在函数图象上和导数的几何意义列方程，解方程即可得到.【详解】设切点的横坐标为，根据切点在函数图象上，所以得到①，由函数得，由函数得，所以得②，解①②得或.故-1或0.16．9【分析】由题意可画出图象，从而可得，再根据对称性以及定义计算得到，从而以此类推得到，，再根据等比数列的前和公式及性质列出不等式，进而求解即可．【详解】由题意可知当时，的函数图象关于对称，当时，的函数图象关于直线对称，其图象如下：

又根据对称性可知与形成的封闭图形的面积为，又，，所以与形成的封闭图形的面积为，即，故以此类推，有，，所以数列是以2为首项，2为公比的等比数列，所以，由，，且数列为正项数列，所以满足的最小的n的值为9．故9．本题主要考查抽象函数性质以及等比数列性质，属中档题．17．（1）或.（2）.【详解】分析：（1）列出方程，解出q可得；（2）求出前n项和，解方程可得m．详解：（1）设的公比为，由题设得．由已知得，解得（舍去），或．故或．（2）若，则．由得，此方程没有正整数解．若，则．由得，解得．综上，．点睛：本题主要考查等比数列的通项公式和前n项和公式，属于基础题．18．（1）定义域为；（2）【分析】（1）根据对数式的真数大于零列出关于的不等式组，从而定义域可求；再根据求解出的值；（2）通过化简将问题转化为二次函数在区间内有两个零点，根据二次函数的零点分布列出满足的不等式组，求解出的取值范围即可.【详解】（1）由，解得.所以函数的定义域为.因为，所以.所以.又，故化简得所求.（2）由（1）可知，其中，所以由题设得关于x的方程在内有两个不同的实数解.（*）设函数，则因为该函数图像的对称轴方程为，所以结合（*）知只需，解得.故所求实数t的取值范围是.本题考查对数型函数与二次函数的零点分布的综合应用，难度一般.解答有关二次函数的零点分布问题，对于对称轴、与的关系、特殊点处函数值的分析是重要突破点.19．(1)(2)【分析】（1）结合指数函数的性质解不等式；（2）用换元法，然后结合二次函数性质求得最小值．【详解】（1）若，则所以，即，所以，所以或，解得或，即不等式的解集为．（2）若，即，解得．所以，令，，所以．当，即时，在上单调递增，所以，即．当，即时，在上单调递减，在上单调递增，所以，即．综上，．20．（1）；（2）当年产量为10万件时，所获利润最大，为5万元.【分析】（1）分别求得当时，，当时，，即可求得函数的关系式；（2）由（1）中的解析式，当时，利用导数求得函数的单调性和最大值，当时，利用基本不等式求得函数的最大值，即可得到答案.【详解】（1）由题意，当时，；当时，，所以年利润关于的函数关系式为.（2）由（1）知，当时，，可得，令，解得，当时，；当时，，所以在上单调递增，在上单调递减，所以；当时，，当且仅当，时取等号.所以当年产量为10万件时，所获利润最大，为5万元.21．(1)证明见解析，(2)【分析】（1）对两边同时除以，即可证明数列是等差数列，再由等差数列的通项公式求出数列的通项公式；（2）由（1）求出，再由裂项相消法求和求出，则，即，求解即可.【详解】（1）两边同时除以，数列是首项，公差为2的等差数列，，.（2），可得，，即，即恒成立..22．(1)当时，在上单调递增；当时，在和上单调递增，在上单调递减；当时，在上单调递减，在上单调递增；(2)证明见解析【分析】(1)求导，得，分、、三种情况讨论