2023-2024学年福建省福州高二上册10月期中考试数学试题（含解析）

2023-2024学年福建省福州高二上册10月期中考试数学试题一、单选题（共12小题，每小题5分，共60分）1．△中，满足此条件的△有两解，则边长度的取值范围为A． B． C． D．2．已知为等比数列，下面结论中正确的是A． B．C．若，则 D．若，则3．各项为正的等比数列中，与的等比中项为，则A．1 B．2 C．3 D．44．若，则下列不等式一定成立的是（

）A． B．C． D．5．若某人在点A测得金字塔顶端仰角为30°，此人往金字塔方向走了80米到达点B，测得金字塔顶端的仰角为45°，则金字塔的高度最接近于(忽略人的身高)（

）A．110米 B．112米C．220米 D．224米6．已知内接于单位圆，则长为、、的三条线段A．能构成一个三角形，其面积大于面积的B．能构成一个三角形，其面积等于面积的C．能构成一个三角形，其面积小于面积的D．不一定能构成三角形7．已知条件p：，条件q：，则p是q的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件8．在R上定义运算，若不等式对任意实数x恒成立，则实数a的取值范围为（

）A．(-1，1) B．- C．- D．(0，2)9．设等比数列的公比，前项和为，则A．5 B．7 C．8 D．1510．已知抛物线关于轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点．若点到该抛物线焦点的距离为，则A． B． C． D．11．如图是正方体的平面展开图，则在这个正方体中与的位置关系为A．平行 B．相交成60°角C．异面成60°角 D．异面且垂直12．设等差数列的前n项和为，该数列是单调递增数列，若，则的取值范围是（

）A． B． C． D．二、填空题：（共4小题，每小题4分，共16分）13．已知公差不为的等差数列，其前n项和为，若成等比数列，则的值为．14．某住宅小区计划植树不少于100棵，若第一天植2棵，以后每天植树的棵数是前一天的2倍，则需要的最少天数等于15．设是椭圆的两个焦点，点M在椭圆上，若是直角三角形，则的面积等于．16．下列关于圆锥曲线的命题：其中真命题的序号.（写出所有真命题的序号）．①设、为两个定点，若，则动点的轨迹为双曲线；②设、为两个定点，若动点满足，且，则的最大值为；③方程的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率；④双曲线与椭圆有相同的焦点.三、解答题（共6小题，每题12分，共72分）17．如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝，BC＝1，P为△ABC内一点，∠BPC＝90°.(1)若PB＝，求PA；(2)若∠APB＝150°，求tan∠PBA.18．若抛物线的顶点在原点，开口向上，F为焦点，M为准线与y轴的交点，A为抛物线上一点，且|AM|=，|AF|=3，求此抛物线的标准方程．19．已知命题，若是的必要不充分条件，求的取值范围．20．已知是首项为，公差为的等差数列，是其前项的和，且.(1)求数列的通项及；(2)设是首项为1，公比为3的等比数列.求数列的通项公式及其前项和.21．已知函数，（1）求不等式的解集；（2）若对一切的实数，均有成立，求实数的取值范围.22．设函数.（1）若在上存在单调递增区间，求的取值范围；（2）当时，在上的最小值为，求在该区间上的最大值.1．B【分析】直接由可得解.【详解】只需满足，整理为.故选：B.2．B【详解】设{an}的首项为a1，公比为q，当a1<0，q<0时，可知a1<0，a3<0，a2>0，所以A不正确；当q＝－1时，C选项错误；当q<0时，a3>a1⇒a3q<a1q⇒a4<a2，与D选项矛盾．因此根据基本不等式可知B选项正确．3．C【详解】由等比数列的性质知，所以，故选C．4．A【分析】根据不等式的基本性质可判断A，利用作差法可判断BD的正误，利用反例可判断C的正误.【详解】解：，故，，故，故，故，故A成立.对于B，因为，故，而，故，故B错误.对于C，取，则，故C错误.对于D，因为，故，故，故D错误故选：A．5．A【分析】由等腰直角三角形的性质结合直角三角形的边角关系求出金字塔的高度.【详解】如图，设CD为金字塔，AB＝80米．设CD＝h，则由已知得，解得(米)．从选项来看110最接近.故选：A6．B【分析】根据正弦定理边角互化，可得，再根据相似关系，判断选项.【详解】由正弦定理可知，所以长为、、的三条线段长度为三角形的三边的一半，因此可构成三角形，且两三角形相似，相似比为，所以面积比为，因此其面积等于面积的故选：B7．C【分析】根据充分性和必要性判断即可.【详解】若，则；若，则，所以是的充要条件.故选：C.8．B【分析】根据新定义将问题转化为一般的二次不等式恒成立问题，结合二次函数的图象和性质，利用判别式得到关于实数的一元二次不等式，求解即得到答案.【详解】根据新定义，可得，所以可化为，即恒成立，需，解得.故选：B本题考查不等式恒成立问题，涉及新定义运算，关键是转化，并结合二次函数的图象和性质转化为关于实数的一元二次不等式，属中档题.9．B【分析】根据等比数列求和及通项公式计算即可得解.【详解】由题意得，，故选B.10．B【详解】设抛物线方程为y2=2px(p>0),则焦点坐标为（），准线方程为x=,解得：[点评]本题旨在考查抛物线的定义:|MF|=d,(M为抛物线上任意一点，F为抛物线的焦点，d为点M到准线的距离).11．C【详解】由图可知还原立体图像为：所以可知AB，CD异面，因为CE平行AB，所以∠DCE为所求角，因为三角形CDE为等边三角形，故∠DCE=60°选C12．A【分析】根据题意，由等差数列的前项和，列出不等式，代入计算，即可得到结果.【详解】因为等差数列是单调递增数列，设的公差为，，且，则，，即①，，即，所以②，由①②可得，，所以，所以，所以，即的取值范围是.故选：A13．2【分析】利用等差数列通项公式，求和公式及等比中项，列式求值即可.【详解】若成等比数列故214．6【分析】每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，利用等比数列的求和公式列不等式求解即可.【详解】每天植树的棵数构成以2为首项，2为公比的等比数列，则有，得，因为所以至少等于6，故答案为6.本题主要考查等比数列的定义，等比数列的前项和公式，意在考查对基础知识的掌握情况以及运用所学知识解决实际问题的能力，属于中档题.15．【分析】求出，由无解，可得，即可由求得面积【详解】由椭圆方程可知，是直角三角形，由无解，可得，由椭圆对称性，不妨设，易得，当时，代入椭圆方程解得，所以三角形面积为，故16．②③【分析】利用双曲线的定义可判断①；利用椭圆的方程可判断②；利用双曲线和椭圆离心率的取值范围可判断③；利用双曲线、椭圆的焦点与标准方程之间的关系可判断④.【详解】对于①，因为，当时，动点的轨迹不是双曲线，①错；对于②，设点、，则，故点的轨迹是以点、为左、右焦点的椭圆，且，，，所以，点的轨迹为椭圆，设点，则，所以，，②对；对于③，解方程可得或，所以，方程的两根可分别作椭圆和双曲线的离心率，③对；对于④，双曲线的焦点在轴上，椭圆的焦点在轴上，④错.故②③.17．（1）（2）【详解】试题分析:（1）在三角形中，两边和一角知道，该三角形是确定的，其解是唯一的，利用余弦定理求第三边.（2）利用同角三角函数的基本关系求角的正切值.（3）若是已知两边和一边的对角，该三角形具有不唯一性，通常根据大边对大角进行判断.（4）在三角形中，注意这个隐含条件的使用.试题解析:解：（1）由已知得∠PBC＝60°，所以∠PBA＝30°.在△PBA中，由余弦定理得PA2＝.故PA＝.5分（2）设∠PBA＝α，由已知得PB＝sinα.在△PBA中，由正弦定理得，化简得cosα＝4sinα.所以tanα＝，即tan∠PBA＝.12分考点：（1）在三角形中正余弦定理的应用.（2）求角的三角函数.18．x2=4y或x2=8y【分析】设抛物线的方程为x2=2py（p>0），过A作AB垂直于抛物线的准线，垂足为B．由已知条件推导出点，由此能求出结果【详解】试题解析：设所求抛物线的标准方程为x2=2py（p>0），设．∵|AF|=3，∴，∵|AM|=，∴，∴，代入方程得，，解得p=2或p=4．∴所求抛物线的标准方程为x2=4y或x2=8y考点：抛物线的标准方程19．【分析】先求得中对应的的取值范围，然后根据必要不充分条件列不等式组，从而求得的取值范围.【详解】由得.由，得.由于是的必要不充分条件，所以（且等号不同时成立），解得，所以的取值范围是.20．(1)，(2)【分析】（1）将已知条件转化为等差数列的首项和公差来表示，通过解方程组求得首项和公差值，从而得到通项公式及前项和；（2）整理数列的通项公式，从而得到，结合特点采用分组求和法求和.【详解】（1）因为是首项为，公差为的等差数列，，所以，解得，所以，则；（2）由题意有，又由（1）有，所以.21．（1）；（2）.【分析】（1）由因式分解确定相应二次方程的根，从而可得不等式的解；（2）用分离参数法变形不等式，转化为求函数的最小值，然后由基本不等式得最小值，得结论．【详解】（1）由，∴，，∴，∴解集为，（2）由恒成立，∴∴，而，当且仅当即时取等号，∴的取值范围是．22．（1）；（2）.【分析】（1）求出导函数，由在有变号的解即可得．（2）利用导